No Boletín - Expresión que carece de sentido II (Ex.Oct/14)

Enunciado

Si $\,{\vec {a}}$, ${\vec {b}}$, ${\vec {c}}\,$ y $\,{\vec {d}}\,$ son vectores libres, ¿cuál de las siguientes expresiones carece de sentido en el álgebra vectorial?

(NOTA: sólo una de las cuatro expresiones carece de sentido).

(1) $({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {d}}\,)$

(2) $({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\,)+({\vec {c}}\times {\vec {d}}\,)$

(3) $({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\,)({\vec {c}}\times {\vec {d}}\,)$

(4) $({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\times ({\vec {c}}\times {\vec {d}}\,)$

Solución

La expresión (2) es la única que carece de sentido. El producto escalar de ${\vec {a}}\,$ y ${\vec {b}}\,$ da como resultado un escalar, y por eso no tiene sentido que $({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\,)\,$ aparezca sumado con el vector $({\vec {c}}\times {\vec {d}}\,)\,$. No existe la operación suma de un escalar y un vector.

Las demás expresiones tienen sentido en el álgebra vectorial. La expresión (1) es el producto escalar de dos vectores (cada uno de estos dos vectores proviene a su vez del producto vectorial de dos vectores). La expresión (3) es el producto de un escalar por un vector (el escalar proviene del producto escalar de dos vectores, y el vector proviene del producto vectorial de dos vectores). La expresión (4) es el producto vectorial de dos vectores (cada uno de los cuales proviene a su vez del producto vectorial de otros dos vectores).