No Boletín - Equivalencia entre dobles productos vectoriales (Ex.Sep/14)

Enunciado

Si ${\vec {a}}\,$, ${\vec {b}}\,$ y ${\vec {c}}\,$ son tres vectores libres arbitrarios, ¿cuál de los siguientes dobles productos vectoriales es equivalente a ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}}\,)\,$?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) ${\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}}\,)$

(2) $({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\times {\vec {c}}$

(3) $({\vec {c}}\times {\vec {b}}\,)\times {\vec {a}}$

(4) ${\vec {a}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {b}}\,)$

Solución

La respuesta correcta es la (3), ya que existe equivalencia por doble aplicación de la propiedad anticonmutativa del producto vectorial:

$({\vec {c}}\times {\vec {b}}\,)\times {\vec {a}}=-\,{\vec {a}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {b}}\,)=-\,{\vec {a}}\times [-\,({\vec {b}}\times {\vec {c}}\,)]={\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}}\,)$

Podemos comprobar que ninguna de las otras opciones es correcta.

La opción (4) es incorrecta porque, aplicando una vez la propiedad anticonmutativa del producto vectorial, comprobamos que equivale a la opción correcta (3) cambiada de signo:

${\vec {a}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {b}}\,)=-\,({\vec {c}}\times {\vec {b}}\,)\times {\vec {a}}=-\,{\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}}\,)$

La opción (1) es incorrecta porque, desarrollando el doble producto vectorial, se obtiene la siguiente combinación lineal de vectores:

${\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}}\,)=(\,{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}\,)\,{\vec {c}}-(\,{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\,)\,{\vec {a}}$

que es completamente distinta de la combinación lineal de vectores que se obtiene al desarrollar el doble producto vectorial del enunciado:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}}\,)=(\,{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\,)\,{\vec {b}}-(\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\,)\,{\vec {c}}$

Por último, la opción (2) también es incorrecta porque, tal como se ha visto en la teoría, el producto vectorial de vectores no cumple la propiedad asociativa. En efecto, se observa que el doble producto vectorial de la opción (2) sólo difiere del doble producto vectorial del enunciado en la posición de los paréntesis y, por tanto, para que ambas expresiones fueran equivalentes sería necesario que el producto vectorial de vectores fuera asociativo:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,)\times {\vec {c}}\neq {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}}\,)$