No Boletín - Ecuaciones horarias en coordenadas polares (Ex.Jun/13)

Enunciado

El movimiento de una partícula $P\,$, de masa $m\,$, en el plano $OXY\,$ queda descrito en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

$\rho (t)=\rho _{0}\,e^{-\omega t}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=\theta _{0}\,e^{\Omega t}$

siendo $\rho _{0}\,$, $\theta _{0}\,$, $\omega \,$ y $\Omega \,$ constantes conocidas.

1. Evalúe la energía cinética de la partícula $P\,$ en el instante inicial $t=0\,$.
2. Determine (en función del tiempo) la aceleración de la partícula $P\,$ en componentes polares.
3. Determine (en función del tiempo) el momento cinético de la partícula $P\,$ respecto al origen de coordenadas $O\,$.
4. Deduzca razonadamente la relación que debe existir entre las constantes $\omega \,$ y $\Omega \,$ para que el movimiento de la partícula $P\,$ sea un movimiento central con centro en $O\,$.

Energía cinética en el instante inicial

La velocidad de la partícula $P\,$ en componentes polares viene dada por la expresión:

${\vec {v}}={\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

Calculando las primeras derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias, y sustituyéndolas después en dicha expresión, se obtiene:

${\dot {\rho }}=-\omega \rho _{0}e^{-\omega t}$  ;    ${\dot {\theta }}=\Omega \,\theta _{0}\,e^{\Omega t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}=-\omega \rho _{0}\,e^{-\omega t}\,{\vec {u}}_{\rho }+\Omega \,\theta _{0}\rho _{0}\,e^{(\Omega -\omega )t}\,{\vec {u}}_{\theta }$

Haciendo el producto escalar del vector velocidad por sí mismo, obtenemos el cuadrado de la celeridad:

$v^{2}={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=\rho _{0}^{2}\left[\omega ^{2}e^{-2\omega t}+\Omega ^{2}\theta _{0}^{2}\,e^{2(\Omega -\omega )t}\right]$

que, evaluado en el instante inicial $t=0\,$ y multiplicado por el factor $m/2\,$, nos da la energía cinética inicial de la partícula $P\,$:

$K(0)={\frac {1}{2}}m\,v(0)^{2}={\frac {1}{2}}m\rho _{0}^{2}(\omega ^{2}+\Omega ^{2}\theta _{0}^{2})$

Aceleración en componentes polares

La aceleración de la partícula $P\,$ en componentes polares viene dada por la expresión:

${\vec {a}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\theta }}^{2}\right)\,{\vec {u}}_{\rho }+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho \,{\ddot {\theta }}\,\right)\,{\vec {u}}_{\theta }$

Calculando las segundas derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias, y sustituyendo después en la expresión de la aceleración tanto éstas como las derivadas primeras anteriormente determinadas, se obtiene:

${\ddot {\rho }}=\omega ^{2}\!\rho _{0}e^{-\omega t}=$  ;    ${\ddot {\theta }}=\Omega ^{2}\theta _{0}\,e^{\Omega t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}(t)=\rho _{0}\,e^{-\omega t}(\omega ^{2}-\Omega ^{2}\theta _{0}^{2}\,e^{2\Omega t})\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho _{0}\,\theta _{0}(\Omega ^{2}-2\omega \Omega )\,e^{(\Omega -\omega )t}\,{\vec {u}}_{\theta }$

Momento cinético respecto al origen de coordenadas

El momento cinético de la partícula $P\,$ respecto al origen de coordenadas $O\,$ se define como:

${\vec {L}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\times m\,{\vec {v}}$

Sustituyendo ${\overrightarrow {OP}}=\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\,$ y ${\vec {v}}={\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\,$ en la anterior expresión, se obtiene:

${\vec {L}}_{O}=m\rho ^{2}{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}=m\Omega \rho _{0}^{2}\theta _{0}\,e^{(\Omega -2\omega )t}\,{\vec {k}}$

Movimiento central con centro en el origen de coordenadas

Si el movimiento de la partícula $P\,$ es un movimiento central con centro en el punto $O\,$, su momento cinético respecto a dicho punto ha de ser constante (independiente del tiempo). Que la expresión de ${\vec {L}}_{O}\,$ obtenida en el apartado anterior cumpla esta condición exige la nulidad del coeficiente que multiplica al tiempo en la exponencial, y de ahí se deduce la relación necesaria entre $\omega \,$ y $\Omega \,$:

${\vec {L}}_{O}={\overrightarrow {\mathrm {cte} }}\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,m\Omega \rho _{0}^{2}\theta _{0}\,e^{(\Omega -2\omega )t}\,{\vec {k}}={\overrightarrow {\mathrm {cte} }}\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,e^{(\Omega -2\omega )t}=\mathrm {cte} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\Omega -2\omega =0\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\Omega =2\omega$