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No Boletín - Ecuaciones horarias en coordenadas polares (Ex.Jun/13)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El movimiento de una partícula P\,, de masa m\,, en el plano OXY\, queda descrito en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:


\rho(t)=\rho_{ 0}\,e^{-\omega t}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta(t)=\theta_0\,e^{\Omega t}

siendo \rho_{0}\,, \theta_0\,, \omega\, y \Omega\, constantes conocidas.

  1. Evalúe la energía cinética de la partícula P\, en el instante inicial t=0\,.
  2. Determine (en función del tiempo) la aceleración de la partícula P\, en componentes polares.
  3. Determine (en función del tiempo) el momento cinético de la partícula P\, respecto al origen de coordenadas O\,.
  4. Deduzca razonadamente la relación que debe existir entre las constantes \omega\, y \Omega\, para que el movimiento de la partícula P\, sea un movimiento central con centro en O\,.

2 Energía cinética en el instante inicial

La velocidad de la partícula P\, en componentes polares viene dada por la expresión:

\vec{v} = \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}

Calculando las primeras derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias, y sustituyéndolas después en dicha expresión, se obtiene:

\dot{\rho}=-\omega\rho_0 e^{-\omega t}    ;        \dot{\theta}=\Omega\,\theta_0\,e^{\Omega t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v} = -\omega\rho_0\, e^{-\omega t}\,\vec{u}_{\rho}+\Omega\,\theta_0\rho_0\,e^{(\Omega-\omega) t}\,\vec{u}_{\theta}

Haciendo el producto escalar del vector velocidad por sí mismo, obtenemos el cuadrado de la celeridad:

v^2 = \vec{v}\cdot\vec{v} = \rho_0^2\left[\omega^2 e^{-2\omega t}+\Omega^2\theta_0^2\,e^{2(\Omega-\omega) t}\right]

que, evaluado en el instante inicial t=0\, y multiplicado por el factor m/2\,, nos da la energía cinética inicial de la partícula P\,:


K(0)=\frac{1}{2}m\,v(0)^2=\frac{1}{2}m\rho_0^2(\omega^2+\Omega^2\theta_0^2)

3 Aceleración en componentes polares

La aceleración de la partícula P\, en componentes polares viene dada por la expresión:

\vec{a} = \left(\ddot{\rho}-\rho\,{\dot{\theta}}^2\right)\,\vec{u}_{\rho}+\left(2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,\right)\,\vec{u}_{\theta}

Calculando las segundas derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias, y sustituyendo después en la expresión de la aceleración tanto éstas como las derivadas primeras anteriormente determinadas, se obtiene:

\ddot{\rho}=\omega^{2}\! \rho_0 e^{-\omega t}=    ;        \ddot{\theta}=\Omega^2\theta_0\,e^{\Omega t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}(t) = \rho_0\,e^{-\omega t}(\omega^2-\Omega^2\theta_0^2\,e^{2\Omega t})\,\vec{u}_{\rho}+\rho_0\,\theta_0(\Omega^2-2\omega\Omega)\,e^{(\Omega-\omega) t}\,\vec{u}_{\theta}

4 Momento cinético respecto al origen de coordenadas

El momento cinético de la partícula P\, respecto al origen de coordenadas O\, se define como:


\vec{L}_O=\overrightarrow{OP}\times m\,\vec{v}

Sustituyendo \overrightarrow{OP}=\rho\,\vec{u}_{\rho}\, y \vec{v} = \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}\, en la anterior expresión, se obtiene:


\vec{L}_O=m\rho^2\dot{\theta}\,\vec{k}=m\Omega\rho_0^2\theta_0\,e^{(\Omega-2\omega) t}\,\vec{k}

5 Movimiento central con centro en el origen de coordenadas

Si el movimiento de la partícula P\, es un movimiento central con centro en el punto O\,, su momento cinético respecto a dicho punto ha de ser constante (independiente del tiempo). Que la expresión de \vec{L}_O\, obtenida en el apartado anterior cumpla esta condición exige la nulidad del coeficiente que multiplica al tiempo en la exponencial, y de ahí se deduce la relación necesaria entre \omega\, y \Omega\,:


\vec{L}_O=\overrightarrow{\mathrm{cte}}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, m\Omega\rho_0^2\theta_0\,e^{(\Omega-2\omega) t}\,\vec{k}=\overrightarrow{\mathrm{cte}}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, e^{(\Omega-2\omega) t}=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,
\Omega-2\omega=0\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, \Omega=2\omega

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