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No Boletín - Dos partículas con distancia mutua constante II (Ex.Feb/17)

De Laplace

1 Enunciado

Las partículas A\, y B\, se mueven a lo largo de los ejes OX\, y OY\,, respectivamente, en los sentidos de avance que se indican en la figura, y de tal modo que su distancia mutua permanece constante en el tiempo:


|\overrightarrow{BA}\,(t)|\equiv|\vec{r}_A(t)-\vec{r}_B(t)|=\mathrm{cte}

En cierto instante, las celeridades de las partículas son v_A=6\,\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\, y v_B=9\,\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\,, respectivamente, y la posición de la primera partícula es A(6,0,0)\,\mathrm{m}\,.

¿Cuál es la posición de la segunda partícula en dicho instante?

2 Solución

Dos partículas obligadas a mantener su distancia mutua constante a lo largo del tiempo constituyen el sólido rígido más simple de todos los posibles. Y, por tanto, sus velocidades habrán de satisfacer permanentemente la condición de equiproyectividad:


\vec{v}_{B}(t)\cdot\overrightarrow{BA}\,(t)=\vec{v}_{A}(t)\cdot\overrightarrow{BA}\,(t)

Particularizando esta condición para el instante considerado en el enunciado, vamos a ser capaces de responder la pregunta planteada.

El vector \overrightarrow{BA}\, se calcula restándole las coordenadas del punto B(0,y_B,0)\,\mathrm{m}\, a las coordenadas del punto A(6,0,0)\,\mathrm{m}\,:


\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(6\,\vec{\imath}-y_B\,\vec{\jmath}\,)\,\,\mathrm{m}

donde y_B\, es la incógnita a determinar.

Por otra parte, conocemos las velocidades de ambas partículas en el instantes de interés:


\vec{v}_{A}=6\,\vec{\imath}\,\,\,\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}_{B}=-\,9\,\vec{\jmath}\,\,\,\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}

Exigiendo la equiproyectividad de velocidades en dicho instante, comprobamos que se puede obtener fácilmente la posición del punto B\,:


\vec{v}_{B}\,\cdot\,\overrightarrow{BA}=\vec{v}_{A}\,\cdot\,\overrightarrow{BA}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
-\,9\,\vec{\jmath}\,\,\cdot\,(6\,\vec{\imath}\,-\,y_B\,\vec{\jmath}\,)=6\,\vec{\imath}\,\,\cdot\,(6\,\vec{\imath}\,-\,y_B\,\vec{\jmath}\,)
\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, 9\,y_B=36\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,y_B=4\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,
B(0,4,0)\,\mathrm{m}

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