No Boletín - Dos partículas con distancia mutua constante II (Ex.Feb/17)

Enunciado

Las partículas $A\,$ y $B\,$ se mueven a lo largo de los ejes $OX\,$ y $OY\,$, respectivamente, en los sentidos de avance que se indican en la figura, y de tal modo que su distancia mutua permanece constante en el tiempo:

$|{\overrightarrow {BA}}\,(t)|\equiv |{\vec {r}}_{A}(t)-{\vec {r}}_{B}(t)|=\mathrm {cte}$

En cierto instante, las celeridades de las partículas son $v_{A}=6\,\mathrm {m} \mathrm {/} \mathrm {s} \,$ y $v_{B}=9\,\mathrm {m} \mathrm {/} \mathrm {s} \,$, respectivamente, y la posición de la primera partícula es $A(6,0,0)\,\mathrm {m} \,$.

¿Cuál es la posición de la segunda partícula en dicho instante?

Solución

Dos partículas obligadas a mantener su distancia mutua constante a lo largo del tiempo constituyen el sólido rígido más simple de todos los posibles. Y, por tanto, sus velocidades habrán de satisfacer permanentemente la condición de equiproyectividad:

${\vec {v}}_{B}(t)\cdot {\overrightarrow {BA}}\,(t)={\vec {v}}_{A}(t)\cdot {\overrightarrow {BA}}\,(t)$

Particularizando esta condición para el instante considerado en el enunciado, vamos a ser capaces de responder la pregunta planteada.

El vector ${\overrightarrow {BA}}\,$ se calcula restándole las coordenadas del punto $B(0,y_{B},0)\,\mathrm {m} \,$ a las coordenadas del punto $A(6,0,0)\,\mathrm {m} \,$:

${\overrightarrow {BA}}={\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OB}}=(6\,{\vec {\imath }}-y_{B}\,{\vec {\jmath }}\,)\,\,\mathrm {m}$

donde $y_{B}\,$ es la incógnita a determinar.

Por otra parte, conocemos las velocidades de ambas partículas en el instantes de interés:

${\vec {v}}_{A}=6\,{\vec {\imath }}\,\,\,\mathrm {m} \mathrm {/} \mathrm {s} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{B}=-\,9\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\mathrm {m} \mathrm {/} \mathrm {s}$

Exigiendo la equiproyectividad de velocidades en dicho instante, comprobamos que se puede obtener fácilmente la posición del punto $B\,$:

$\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{B}\,\cdot \,{\overrightarrow {BA}}={\vec {v}}_{A}\,\cdot \,{\overrightarrow {BA}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,-\,9\,{\vec {\jmath }}\,\,\cdot \,(6\,{\vec {\imath }}\,-\,y_{B}\,{\vec {\jmath }}\,)=6\,{\vec {\imath }}\,\,\cdot \,(6\,{\vec {\imath }}\,-\,y_{B}\,{\vec {\jmath }}\,)\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,9\,y_{B}=36\,\,\,\,\,\Longrightarrow$

$\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,y_{B}=4\,\mathrm {m} \,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,B(0,4,0)\,\mathrm {m}$