No Boletín - Dos partículas con distancia mutua constante II (Ex.Feb/17)

Enunciado

Las partículas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y $B\,$ se mueven a lo largo de los ejes $OX\,$ y $OY\,$, respectivamente, en los sentidos de avance que se indican en la figura, y de tal modo que su distancia mutua permanece constante en el tiempo:

$|{\overrightarrow {BA}}\,(t)|\equiv |{\vec {r}}_{A}(t)-{\vec {r}}_{B}(t)|=\mathrm {cte}$

En cierto instante, las celeridades de las partículas son $v_{A}=6\,\mathrm {m} \mathrm {/} \mathrm {s} \,$ y $v_{B}=9\,\mathrm {m} \mathrm {/} \mathrm {s} \,$, respectivamente, y la posición de la primera partícula es $A(6,0,0)\,\mathrm {m} \,$.

¿Cuál es la posición de la segunda partícula en dicho instante?

Solución

Dos partículas obligadas a mantener su distancia mutua constante a lo largo del tiempo constituyen el sólido rígido más simple de todos los posibles. Y, por tanto, sus velocidades habrán de satisfacer permanentemente la condición de equiproyectividad:

${\vec {v}}_{B}(t)\cdot {\overrightarrow {BA}}\,(t)={\vec {v}}_{A}(t)\cdot {\overrightarrow {BA}}\,(t)$

Particularizando esta condición para el instante considerado en el enunciado, vamos a ser capaces de responder la pregunta planteada.

El vector ${\overrightarrow {BA}}\,$ se calcula restándole las coordenadas del punto $B(0,y_{B},0)\,\mathrm {m} \,$ a las coordenadas del punto $A(6,0,0)\,\mathrm {m} \,$:

${\overrightarrow {BA}}={\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OB}}=(6\,{\vec {\imath }}-y_{B}\,{\vec {\jmath }}\,)\,\,\mathrm {m}$

donde $y_{B}\,$ es la incógnita a determinar.

Por otra parte, conocemos las velocidades de ambas partículas en el instantes de interés:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{A}=6\,\vec{\imath}\,\,\,\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}_{B}=-\,9\,\vec{\jmath}\,\,\,\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s} }

Exigiendo la equiproyectividad de velocidades en dicho instante, comprobamos que se puede obtener fácilmente la posición del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\vec{v}_{B}\,\cdot\,\overrightarrow{BA}=\vec{v}_{A}\,\cdot\,\overrightarrow{BA}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, -\,9\,\vec{\jmath}\,\,\cdot\,(6\,\vec{\imath}\,-\,y_B\,\vec{\jmath}\,)=6\,\vec{\imath}\,\,\cdot\,(6\,\vec{\imath}\,-\,y_B\,\vec{\jmath}\,) \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, 9\,y_B=36\,\,\,\,\,\Longrightarrow}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,y_B=4\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, B(0,4,0)\,\mathrm{m} }