No Boletín - Disco con centro acelerado rodando sin deslizar (Ex.Ene/13)

Enunciado

Un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} , contenido en todo instante en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXZ\,} , rueda sin deslizar sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ\,} . El centro $C\,$ del disco avanza en el sentido negativo del eje $OZ\,$ (ver figura) con una celeridad linealmente creciente con el tiempo $|{\vec {v}}_{C}|=a\,t\,$ (donde $a\,$ es una constante positiva conocida). Para el instante $t\,$, al cual corresponde la posición del disco representada en la figura, se pregunta:

1. ¿Cuánto vale la velocidad angular instantánea ${\vec {\omega }}\,$ del disco?
2. ¿Y la aceleración instantánea ${\vec {a}}_{A}\,$ del punto del disco que se halla en contacto con el eje $OZ\,\,$?

Velocidad angular instantánea

El hecho de que el disco permanezca siempre contenido en el plano $OXZ\,$ implica que su vector velocidad angular ${\vec {\omega }}\,$ es perpendicular a dicho plano (porque si hubiese componentes de velocidad angular paralelas al plano, éstas sacarían al disco del plano). Por tanto:

${\vec {\omega }}=\omega \,{\vec {\jmath }}$

La velocidad del centro $C\,$ del disco constituye un dato del ejercicio, ya que se nos han especificado su módulo, su dirección y su sentido:

${\vec {v}}_{C}=-at\,{\vec {k}}$

Por otra parte, se nos indica que el disco rueda sin deslizar sobre el eje $OZ\,$. La ausencia de deslizamiento implica que el punto de contacto disco-eje tiene velocidad instantánea nula:

${\vec {v}}_{A}={\vec {0}}$

Conocemos, pues, las velocidades de los puntos $C\,$ y $A\,$. Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades, deducimos el valor de la velocidad angular instantánea del disco:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{A}={\vec {0}}\\\\{\vec {v}}_{C}=-at\,{\vec {k}}\end{array}}\right\}\,\,\,\,{\vec {v}}_{C}={\vec {v}}_{A}+\,{\vec {\omega }}\,\times {\overrightarrow {AC}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,-at\,{\vec {k}}=\omega \,{\vec {\jmath }}\,\times R\,{\vec {\imath }}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,-at=-\omega R\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {\omega }}={\frac {at}{R}}\,{\vec {\jmath }}$

Aceleración instantánea del punto A

Al conocer la velocidad angular del disco como función del tiempo, podemos obtener la aceleración angular ${\vec {\alpha }}\,$ mediante derivación temporal:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\!\left(\displaystyle\frac{at}{R}\,\vec{\jmath}\,\right)}{\mathrm{d}t}=\frac{a}{R}\,\vec{\jmath} }

Análogamente, conocer la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_C\,} del centro del disco como función del tiempo nos permite obtener la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_C\,} derivando:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_C=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_C}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(-at\,\vec{k}\,)}{\mathrm{d}t}=-a\,\vec{k} }

Por último, deducimos la aceleración instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{A}\,} (del punto del disco que se halla en contacto con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ\,\,} ) relacionándola con la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_C\,} mediante la ecuación del campo de aceleraciones:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_A=\vec{a}_C\,+\,\vec{\alpha}\,\times\,\overrightarrow{CA}\,+\,\vec{\omega}\,\times(\vec{\omega}\,\times\,\overrightarrow{CA})=-a\,\vec{k}\,+\,\underbrace{\frac{a}{R}\,\vec{\jmath}\,\times(-R\,\vec{\imath}\,)}_{a\,\vec{k}}+\,\frac{at}{R}\,\vec{\jmath}\,\,\times\underbrace{\left[\frac{at}{R}\,\vec{\jmath}\,\times(-R\,\vec{\imath}\,)\right]}_{at\,\vec{k}}=\frac{a^2t^2}{R}\,\vec{\imath} }

Nota: Nótese que habríamos llegado a un resultado erróneo si hubiésemos tratado de obtener Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_A\,} mediante la derivación temporal de la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_A=\vec{0}\,} . Pero... ¿por qué no sería correcto hacer esto y, sin embargo, hemos obtenido Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_C\,} derivando respecto al tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_C=-at\,\vec{k}\,} ? La razón es que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_A=\vec{0}\,} es un valor puramente instantáneo de la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} del disco, no es la velocidad de dicho punto como función del tiempo. De hecho, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_A\,} sólo vale cero en el instante en el que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} del disco se halla en contacto con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ\,} , pero no un segundo antes ni un segundo después. Por el contrario, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_C=-at\,\vec{k}\,} es la velocidad del centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,} del disco como una función del tiempo.