No Boletín - Disco con centro acelerado rodando sin deslizar (Ex.Ene/13)

Enunciado

Un disco de radio $R\,$, contenido en todo instante en el plano $OXZ\,$, rueda sin deslizar sobre el eje $OZ\,$. El centro $C\,$ del disco avanza en el sentido negativo del eje $OZ\,$ (ver figura) con una celeridad linealmente creciente con el tiempo $|{\vec {v}}_{C}|=a\,t\,$ (donde $a\,$ es una constante positiva conocida). Para el instante $t\,$, al cual corresponde la posición del disco representada en la figura, se pregunta:

1. ¿Cuánto vale la velocidad angular instantánea ${\vec {\omega }}\,$ del disco?
2. ¿Y la aceleración instantánea ${\vec {a}}_{A}\,$ del punto del disco que se halla en contacto con el eje $OZ\,\,$?

Velocidad angular instantánea

El hecho de que el disco permanezca siempre contenido en el plano $OXZ\,$ implica que su vector velocidad angular ${\vec {\omega }}\,$ es perpendicular a dicho plano (porque si hubiese componentes de velocidad angular paralelas al plano, éstas sacarían al disco del plano). Por tanto:

${\vec {\omega }}=\omega \,{\vec {\jmath }}$

La velocidad del centro $C\,$ del disco constituye un dato del ejercicio, ya que se nos han especificado su módulo, su dirección y su sentido:

${\vec {v}}_{C}=-at\,{\vec {k}}$

Por otra parte, se nos indica que el disco rueda sin deslizar sobre el eje $OZ\,$. La ausencia de deslizamiento implica que el punto de contacto disco-eje tiene velocidad instantánea nula:

${\vec {v}}_{A}={\vec {0}}$

Conocemos, pues, las velocidades de los puntos $C\,$ y $A\,$. Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades, deducimos el valor de la velocidad angular instantánea del disco:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{A}={\vec {0}}\\\\{\vec {v}}_{C}=-at\,{\vec {k}}\end{array}}\right\}\,\,\,\,{\vec {v}}_{C}={\vec {v}}_{A}+\,{\vec {\omega }}\,\times {\overrightarrow {AC}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,-at\,{\vec {k}}=\omega \,{\vec {\jmath }}\,\times R\,{\vec {\imath }}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,-at=-\omega R\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {\omega }}={\frac {at}{R}}\,{\vec {\jmath }}$

Aceleración instantánea del punto A

Al conocer la velocidad angular del disco como función del tiempo, podemos obtener la aceleración angular ${\vec {\alpha }}\,$ mediante derivación temporal:

${\vec {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \!\left(\displaystyle {\frac {at}{R}}\,{\vec {\jmath }}\,\right)}{\mathrm {d} t}}={\frac {a}{R}}\,{\vec {\jmath }}$

Análogamente, conocer la velocidad ${\vec {v}}_{C}\,$ del centro del disco como función del tiempo nos permite obtener la aceleración ${\vec {a}}_{C}\,$ derivando:

${\vec {a}}_{C}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{C}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (-at\,{\vec {k}}\,)}{\mathrm {d} t}}=-a\,{\vec {k}}$

Por último, deducimos la aceleración instantánea ${\vec {a}}_{A}\,$ (del punto del disco que se halla en contacto con el eje $OZ\,\,$) relacionándola con la aceleración ${\vec {a}}_{C}\,$ mediante la ecuación del campo de aceleraciones:

${\vec {a}}_{A}={\vec {a}}_{C}\,+\,{\vec {\alpha }}\,\times \,{\overrightarrow {CA}}\,+\,{\vec {\omega }}\,\times ({\vec {\omega }}\,\times \,{\overrightarrow {CA}})=-a\,{\vec {k}}\,+\,\underbrace {{\frac {a}{R}}\,{\vec {\jmath }}\,\times (-R\,{\vec {\imath }}\,)} _{a\,{\vec {k}}}+\,{\frac {at}{R}}\,{\vec {\jmath }}\,\,\times \underbrace {\left[{\frac {at}{R}}\,{\vec {\jmath }}\,\times (-R\,{\vec {\imath }}\,)\right]} _{at\,{\vec {k}}}={\frac {a^{2}t^{2}}{R}}\,{\vec {\imath }}$

Nota: Nótese que habríamos llegado a un resultado erróneo si hubiésemos tratado de obtener ${\vec {a}}_{A}\,$ mediante la derivación temporal de la velocidad ${\vec {v}}_{A}={\vec {0}}\,$. Pero... ¿por qué no sería correcto hacer esto y, sin embargo, hemos obtenido ${\vec {a}}_{C}\,$ derivando respecto al tiempo ${\vec {v}}_{C}=-at\,{\vec {k}}\,$? La razón es que ${\vec {v}}_{A}={\vec {0}}\,$ es un valor puramente instantáneo de la velocidad del punto $A\,$ del disco, no es la velocidad de dicho punto como función del tiempo. De hecho, ${\vec {v}}_{A}\,$ sólo vale cero en el instante en el que el punto $A\,$ del disco se halla en contacto con el eje $OZ\,$, pero no un segundo antes ni un segundo después. Por el contrario, ${\vec {v}}_{C}=-at\,{\vec {k}}\,$ es la velocidad del centro $C\,$ del disco como una función del tiempo.