No Boletín - Cuestión sobre MHI (Ex.Ene/13)

Enunciado

Dado un sólido rígido con movimiento helicoidal instantáneo (MHI), se han medido las velocidades de dos puntos del mismo:

$A(0,0,0)\,\mathrm {m} \,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,{\vec {v}}_{A}=({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,)\,\mathrm {m/s} \,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B(1,1,1)\,\mathrm {m} \,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,{\vec {v}}_{B}=({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,)\,\mathrm {m/s}$

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

(a) Esas velocidades no son compatibles con un MHI.

(b) $A\,$ y $B\,$ pertenecen al eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD).

(c) Esas velocidades no son compatibles con la rigidez.

(d) El valor absoluto de la velocidad de deslizamiento es $|v_{d}|=\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,\mathrm {m/s} \,$.

Nota: Sólo una de las cuatro afirmaciones es correcta.

Equiproyectividad. Descartando (c)

Lo primero que observamos al leer el enunciado es que las velocidades de los dos puntos $A\,$ y $B\,$ son iguales entre sí.

Y dos velocidades iguales cumplen trivialmente la condición de equiproyectividad:

${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {v}}_{A}\cdot {\overrightarrow {AB}}={\vec {v}}_{B}\cdot {\overrightarrow {AB}}$

Así que la afirmación (c), que dice "Esas velocidades no son compatibles con la rigidez", es FALSA.

Cálculo del segundo invariante. Descartando (a)

Antes de seguir, cabe señalar que dos puntos con velocidades iguales son compatibles con un movimiento de traslación instantánea (campo de velocidades uniforme), pero nosotros vamos a descartar esa posibilidad porque el propio enunciado nos dice que se trata de un movimiento helicoidal instantáneo (MHI).

Al tratarse de un MHI, sabemos que el campo de velocidades no es uniforme (la velocidad angular es no nula). Por tanto, el hecho observado de que las velocidades de los puntos $A\,$ y $B\,$ sean iguales implica que el vector velocidad angular es paralelo al vector ${\overrightarrow {AB}}\,$:

${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}\parallel {\overrightarrow {AB}}={\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

Así pues, llegados a este momento, si bien no conocemos el módulo ni el sentido del vector velocidad angular ${\vec {\omega }}\,$, sí que conocemos su dirección (por ser la misma que la del vector ${\overrightarrow {AB}}\,$). Y esto ya nos permite calcular (salvo signo) la velocidad de deslizamiento (segundo invariante):

$v_{d}={\vec {v}}_{A}\,\cdot \,{\frac {\vec {\omega }}{|{\vec {\omega }}|}}={\vec {v}}_{A}\,\cdot \,{\frac {\left(\pm \,{\overrightarrow {AB}}\right)}{|{\overrightarrow {AB}}\,|}}=\pm \,({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,)\,\cdot \,{\frac {({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\,)}{|{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}|}}=\pm {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,\mathrm {m/s}$

Comprobamos, por tanto, que el segundo invariante es distinto de cero, tal como corresponde a un MHI. Esto nos permite decir que es FALSA la afirmación (a), la cual dice "Esas velocidades no son compatibles con un MHI". Si, por el contrario, hubiésemos obtenido un segundo invariante nulo, entonces la afirmación (a) habría sido correcta porque no estaríamos ante un MHI sino ante una rotación instantánea.

Valor absoluto de la velocidad de deslizamiento. Eligiendo (d)

Tomando valor absoluto del segundo invariante, se obtiene:

$|v_{d}|={\frac {2}{\sqrt {3}}}\,\mathrm {m/s}$

Llegamos, pues, a la conclusión de que la afirmación (d), que dice "El valor absoluto de la velocidad de deslizamiento es $|v_{d}|=\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,\mathrm {m/s} \,$" es la afirmación CORRECTA que buscábamos.

Los puntos A y B no están en el EIRMD. Descartando (b)

Aun habiendo encontrado ya la afirmación correcta, para quedarnos tranquilos del todo, comprobaremos que es FALSA la afirmación (b), la cual dice "$A\,$ y $B\,$ pertenecen al eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD)". Si fuese verdad que los puntos $A\,$ y $B\,$ perteneciesen al EIRMD, la velocidad de esos dos puntos sería paralela al vector velocidad angular y, por tanto, paralela al vector ${\overrightarrow {AB}}\,$. Sin embargo, comprobamos a continuación que tal paralelismo entre ${\vec {v}}_{A}\,$ y ${\overrightarrow {AB}}\,$ no existe (su producto vectorial es distinto de cero) y, por tanto, $A\,$ y $B\,$ no pertenecen al EIRMD:

${\vec {v}}_{A}\times {\overrightarrow {AB}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\1&1&0\\1&1&1\end{array}}\right|=({\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}\,)\neq {\vec {0}}$