No Boletín - Cuestión sobre MHI (Ex.Ene/13)

Enunciado

Dado un sólido rígido con movimiento helicoidal instantáneo (MHI), se han medido las velocidades de dos puntos del mismo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A(0,0,0)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\vec{v}_A=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m/s}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, B(1,1,1)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, \vec{v}_B=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m/s} }

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

(a) Esas velocidades no son compatibles con un MHI.

(b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} pertenecen al eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD).

(c) Esas velocidades no son compatibles con la rigidez.

(d) El valor absoluto de la velocidad de deslizamiento es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |v_d|=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\,\mathrm{m/s}\,} .

Nota: Sólo una de las cuatro afirmaciones es correcta.

Equiproyectividad. Descartando (c)

Lo primero que observamos al leer el enunciado es que las velocidades de los dos puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} son iguales entre sí.

Y dos velocidades iguales cumplen trivialmente la condición de equiproyectividad:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_A=\vec{v}_B\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AB}=\vec{v}_B\cdot\overrightarrow{AB} }

Así que la afirmación (c), que dice "Esas velocidades no son compatibles con la rigidez", es FALSA.

Cálculo del segundo invariante. Descartando (a)

Antes de seguir, cabe señalar que dos puntos con velocidades iguales son compatibles con un movimiento de traslación instantánea (campo de velocidades uniforme), pero nosotros vamos a descartar esa posibilidad porque el propio enunciado nos dice que se trata de un movimiento helicoidal instantáneo (MHI).

Al tratarse de un MHI, sabemos que el campo de velocidades no es uniforme (la velocidad angular es no nula). Por tanto, el hecho observado de que las velocidades de los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} sean iguales implica que el vector velocidad angular es paralelo al vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_A=\vec{v}_B\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}\parallel\overrightarrow{AB}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k} }

Así pues, llegados a este momento, si bien no conocemos el módulo ni el sentido del vector velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\,} , sí que conocemos su dirección (por ser la misma que la del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}\,} ). Y esto ya nos permite calcular (salvo signo) la velocidad de deslizamiento (segundo invariante):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d=\vec{v}_A\,\cdot\,\frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}=\vec{v}_A\,\cdot\,\frac{\left(\pm\,\overrightarrow{AB}\right)}{|\overrightarrow{AB}\,|}=\pm\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)\,\cdot\,\frac{(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)}{|\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}|}=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\,\mathrm{m/s} }

Comprobamos, por tanto, que el segundo invariante es distinto de cero, tal como corresponde a un MHI. Esto nos permite decir que es FALSA la afirmación (a), la cual dice "Esas velocidades no son compatibles con un MHI". Si, por el contrario, hubiésemos obtenido un segundo invariante nulo, entonces la afirmación (a) habría sido correcta porque no estaríamos ante un MHI sino ante una rotación instantánea.

Valor absoluto de la velocidad de deslizamiento. Eligiendo (d)

Tomando valor absoluto del segundo invariante, se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |v_d|=\frac{2}{\sqrt{3}}\,\mathrm{m/s} }

Llegamos, pues, a la conclusión de que la afirmación (d), que dice "El valor absoluto de la velocidad de deslizamiento es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |v_d|=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\,\mathrm{m/s}\,} " es la afirmación CORRECTA que buscábamos.

Los puntos A y B no están en el EIRMD. Descartando (b)

Aun habiendo encontrado ya la afirmación correcta, para quedarnos tranquilos del todo, comprobaremos que es FALSA la afirmación (b), la cual dice "Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} pertenecen al eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD)". Si fuese verdad que los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} perteneciesen al EIRMD, la velocidad de esos dos puntos sería paralela al vector velocidad angular y, por tanto, paralela al vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}\,} . Sin embargo, comprobamos a continuación que tal paralelismo entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}\,} no existe (su producto vectorial es distinto de cero) y, por tanto, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\,} no pertenecen al EIRMD:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_A\times\overrightarrow{AB}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\,)\neq\vec{0} }