No Boletín - Cuestión sobre EIRMD II (Ex.Sep/14)

Enunciado

El campo de velocidades de un sólido rígido en movimiento helicoidal instantáneo (respecto a un triedro OXYZ de referencia) está definido mediante la siguiente reducción cinemática:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=(\,2\,\vec{\imath}\,-\,\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, A(2,2,2)\,\mathrm{m} \,\longrightarrow\, \vec{v}_A=(\,5\,\vec{\imath}\,-\,15\,\vec{\jmath}\,+\,5\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} }

¿Por cuál de los siguientes puntos pasa el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento?

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{(a)}\,\,\,\,I\mathrm{(1,0,-3)}\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(b)}\,\,\,\,I\mathrm{(2,-1,-3)}\,\mbox{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(c)}\,\,\,\,I\mathrm{(-1,-2,-5)}\,\mbox{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(d)}\,\,\,\,I\mathrm{(2,2,2)}\,\mbox{m} }

Primer método: cálculo de la velocidad del punto $I\,$

Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, calculamos la velocidad ${\vec {v}}_{I}\,$ del punto $I\,$ en cada una de las opciones:

${\begin{array}{lll}\mathrm {(a)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {AI}}=(-{\vec {\imath }}-2\,{\vec {\jmath }}-5\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} &\longrightarrow \,\,&{\vec {v}}_{I}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AI}}=(5\,{\vec {\imath }}-15\,{\vec {\jmath }}+5\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&-1&0\\-1&-2&-5\end{array}}\right|=\\&&=(10\,{\vec {\imath }}-5\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\\mathrm {(b)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {AI}}=(-3\,{\vec {\jmath }}-5\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} &\longrightarrow \,\,&{\vec {v}}_{I}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AI}}=(5\,{\vec {\imath }}-15\,{\vec {\jmath }}+5\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&-1&0\\0&-3&-5\end{array}}\right|=\\&&=(10\,{\vec {\imath }}-5\,{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\\mathrm {(c)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {AI}}=(-3\,{\vec {\imath }}-4\,{\vec {\jmath }}-7\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} &\longrightarrow \,\,&{\vec {v}}_{I}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AI}}=(5\,{\vec {\imath }}-15\,{\vec {\jmath }}+5\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&-1&0\\-3&-4&-7\end{array}}\right|=\\&&=(12\,{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}-6\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\\mathrm {(d)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {AI}}={\vec {0}}\,\,\mathrm {m} &\longrightarrow \,\,&{\vec {v}}_{I}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AI}}=(5\,{\vec {\imath }}-15\,{\vec {\jmath }}+5\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&-1&0\\0&0&0\end{array}}\right|=\\&&=(5\,{\vec {\imath }}-15\,{\vec {\jmath }}+5\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\end{array}}$

Si el punto $I\,$ pertenece al eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD), la velocidad ${\vec {v}}_{I}\,$ de dicho punto es necesariamente paralela al vector velocidad angular ${\vec {\omega }}\,$. Comprobamos que tal cosa sólo ocurre en la opción (a), la cual es por tanto la respuesta correcta:

${\begin{array}{lllll}\mathrm {(a)} \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{I}=(10\,{\vec {\imath }}-5\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} &\rightarrow \,\,\,&{\vec {v}}_{I}\times {\vec {\omega }}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\10&-5&0\\2&-1&0\end{array}}\right|={\vec {0}}&\,\rightarrow \,&{\vec {v}}_{I}\parallel {\vec {\omega }}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,I\in \mathrm {EIRMD} \\\\\mathrm {(b)} \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{I}=(10\,{\vec {\imath }}-5\,{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} &\rightarrow \,\,\,&{\vec {v}}_{I}\times {\vec {\omega }}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\10&-5&-1\\2&-1&0\end{array}}\right|\neq {\vec {0}}&\,\rightarrow \,&{\vec {v}}_{I}\not \,\parallel {\vec {\omega }}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,I\not \in \mathrm {EIRMD} \\\\\mathrm {(c)} \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{I}=(12\,{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}-6\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} &\rightarrow \,\,\,&{\vec {v}}_{I}\times {\vec {\omega }}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\12&-1&-6\\2&-1&0\end{array}}\right|\neq {\vec {0}}&\,\rightarrow \,&{\vec {v}}_{I}\not \,\parallel {\vec {\omega }}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,I\not \in \mathrm {EIRMD} \\\\\mathrm {(d)} \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{I}=(5\,{\vec {\imath }}-15\,{\vec {\jmath }}+5\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} &\rightarrow \,\,\,&{\vec {v}}_{I}\times {\vec {\omega }}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\5&-15&5\\2&-1&0\end{array}}\right|\neq {\vec {0}}&\,\rightarrow \,&{\vec {v}}_{I}\not \,\parallel {\vec {\omega }}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,I\not \in \mathrm {EIRMD} \end{array}}$

Segundo método: determinación del EIRMD

Partiendo del conocimiento de la reducción cinemática $\{{\vec {\omega }},{\vec {v}}_{A}\}\,$, es posible determinar el EIRMD del movimiento helicoidal instantáneo. En efecto: aplicando la ecuación vectorial del EIRMD, obtenemos la posición (relativa a $A\,$) de un punto genérico $I\,$ del EIRMD:

${\overrightarrow {AI}}={\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{A}}{|\,{\vec {\omega }}\,|^{2}}}\,+\,\lambda \,{\vec {\omega }}={\frac {1}{5}}\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&-1&0\\5&-15&5\end{array}}\right|\,+\,\lambda \,(2\,{\vec {\imath }}\,-\,{\vec {\jmath }}\,)=[\,(-1\,+\,2\lambda )\,{\vec {\imath }}\,-\,(2\,+\,\lambda )\,{\vec {\jmath }}\,-\,5\,{\vec {k}}\,]\,\mathrm {m}$

Y conocidas las coordenadas del punto $A(2,2,2)\,\mathrm {m} \,$ en el triedro OXYZ de referencia, es fácil determinar las coordenadas en dicho triedro de un punto genérico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\,} del EIRMD:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l} \overrightarrow{OA}=(2\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m} \\ \\ \overrightarrow{AI}=[\,(-1+2\lambda)\,\vec{\imath}\,-(2+\lambda)\,\vec{\jmath}\,-5\,\vec{k}\,]\,\mathrm{m} \end{array}\right\}\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}\,+\,\overrightarrow{AI}=[\,(1+\,2\lambda)\,\vec{\imath}\,-\,\lambda\,\vec{\jmath}\,-\,3\,\vec{k}\,]\,\mathrm{m}}

Comparando esta terna Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} -paramétrica de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I(1+\,2\lambda,-\lambda,-3)\,\mathrm{m}\,} con las cuatro ternas propuestas en el enunciado, deducimos de inmediato que la única que corresponde a un punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\in\mathrm{EIRMD}\,} es la de la respuesta (a), siendo concretamente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,I(1,0,-3)\,\mathrm{m}\,} el punto obtenido para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=0\,} .