No Boletín - Campo de aceleraciones de una traslación instantánea (Ex.Ene/15)

Enunciado

¿Cómo es necesariamente el campo de aceleraciones de un sólido rígido que está realizando una traslación instantánea?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta)

$\mathrm {(a)} \,\,\,\,\mathrm {Equiproyectivo} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,\,\mathrm {Uniforme} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,\,\mathrm {No} \,\,\mathrm {uniforme} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,\,\mathrm {Nulo}$

Solución

Si $P\,$ y $Q\,$ son dos puntos cualesquiera de un sólido rígido, la ecuación del campo de aceleraciones del sólido rígido establece que:

${\vec {a}}_{P}={\vec {a}}_{Q}+{\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {QP}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {QP}})$

donde ${\vec {a}}_{P}\,$ y ${\vec {a}}_{Q}\,$ son las aceleraciones de $P\,$ y $Q\,$; y ${\vec {\omega }}\,$ y ${\vec {\alpha }}\,$ son, respectivamente, la velocidad angular y la aceleración angular del sólido.

Que el sólido esté realizando una traslación instantánea implica que ${\vec {\omega }}\,$ tiene valor nulo en ese instante. Sin embargo, estar en traslación instantánea no implica nada sobre el valor de ${\vec {\alpha }}\,$ (derivada temporal de ${\vec {\omega }}\,$), ya que la nulidad de ${\vec {\omega }}\,$ en un instante concreto no implica nada sobre su variación en el tiempo.

Reescribiendo la ecuación del campo de aceleraciones del sólido para ese instante de velocidad angular nula, se obtiene:

$\mathrm {traslac.} \,\,\mathrm {instant.} \,\,\,\Rightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}_{P}={\vec {a}}_{Q}+{\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {QP}}$

Y multiplicando escalarmente la ecuación obtenida por el vector ${\overrightarrow {QP}}$, se llega a:

${\vec {a}}_{P}\cdot {\overrightarrow {QP}}={\vec {a}}_{Q}\cdot {\overrightarrow {QP}}+\underbrace {({\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {QP}})\cdot {\overrightarrow {QP}}} _{=0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}_{P}\cdot {\overrightarrow {QP}}={\vec {a}}_{Q}\cdot {\overrightarrow {QP}}$

que es precisamente la condición de equiproyectividad de un campo vectorial. Por tanto, la respuesta correcta a la presente cuestión es la (a): "El campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea es necesariamente equiproyectivo".

Comprobamos a continuación que las otras tres respuestas son incorrectas por culpa del adverbio "necesariamente". El campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea puede ser uniforme (${\vec {a}}_{P}={\vec {a}}_{Q}\,$), pero ello exige que también ${\vec {\alpha }}\,$ sea nula. Así ocurre, por ejemplo, si la traslación instantánea forma parte de una traslación permanente (${\vec {\omega }}\,$ es nula de forma constante y, por tanto, su derivada temporal ${\vec {\alpha }}\,$ también es nula). Y el campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea es no uniforme (${\vec {a}}_{P}\neq {\vec {a}}_{Q}\,$) en caso contrario, es decir, si ${\vec {\alpha }}\,$ es no nula. Así pues, vemos que el campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea puede ser uniforme y puede ser no uniforme, pero no es necesariamente ni una cosa ni otra. Y algo análogo ocurre con la cuestión de la nulidad: el campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea puede ser nulo (por ejemplo, si la traslación instantánea forma parte de una traslación permanente en la que todos los puntos del sólido realizan movimientos rectilíneos y uniformes), pero no es necesariamente nulo.