No Boletín - Cálculo de primer y segundo invariante (Ex.Ene/12)

Enunciado

Las posiciones y velocidades instantáneas de tres puntos de un sólido rígido vienen dadas por:

Punto	${\vec {r}}$ (m)	${\vec {v}}$ (m/s)
A	${\vec {\imath }}$	$3\,{\vec {\imath }}+3\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$
B	${\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$	$2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}}$
C	$2\,{\vec {k}}$	$3\,{\vec {\imath }}+{\vec {k}}$

1. Calcule la velocidad angular del sólido rígido (primer invariante).
2. Calcule la velocidad de deslizamiento del sólido rígido (segundo invariante).

Cálculo de la velocidad angular

Podemos deducir el vector velocidad angular $\,{\vec {\omega }}=\omega _{x}\,{\vec {\imath }}+\omega _{y}\,{\vec {\jmath }}+\omega _{z}\,{\vec {k}}\,\,$ del sólido, componente a componente, exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades en la relación entre las velocidades conocidas.

Por ejemplo, la relación entre ${\vec {v}}_{B}\,$ y ${\vec {v}}_{A}\,$ debe satisfacer la ecuación:

${\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,(2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}}\,)=(3\,{\vec {\imath }}+3\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\\omega _{x}&\omega _{y}&\omega _{z}\\-1&1&1\end{array}}\right|$

E igualando componentes homólogas:

$\left.{\begin{array}{rcl}2&=&3+\omega _{y}-\omega _{z}\\1&=&3-\omega _{z}-\omega _{x}\\2&=&1+\omega _{x}+\omega _{y}\end{array}}\right\}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\omega _{y}=\omega _{z}-1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega _{x}=2-\omega _{z}$

Y relacionando de forma análoga ${\vec {v}}_{C}\,$ y ${\vec {v}}_{A}\,$, podemos culminar la deducción de ${\vec {\omega }}\,$:

${\vec {v}}_{C}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AC}}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,(3\,{\vec {\imath }}+{\vec {k}}\,)=(3\,{\vec {\imath }}+3\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2-\omega _{z}&\omega _{z}-1&\omega _{z}\\-1&0&2\end{array}}\right|$

E igualando componentes homólogas:

$\left.{\begin{array}{rcl}3&=&3+2\omega _{z}-2\\0&=&3-\omega _{z}-4+2\omega _{z}\\1&=&1+\omega _{z}-1\end{array}}\right\}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\omega _{z}=1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega _{y}=0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega _{x}=1$

Por tanto, el vector velocidad angular (primer invariante) es:

${\vec {\omega }}=({\vec {\imath }}+{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {rad/s}$

Cálculo de la velocidad de deslizamiento

Y la velocidad de deslizamiento $v_{d}\,$ (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:

$v_{d}={\frac {{\vec {v}}_{C}\cdot {\vec {\omega }}}{|{\vec {\omega }}|}}={\frac {(3\,{\vec {\imath }}+{\vec {k}}\,)\cdot ({\vec {\imath }}+{\vec {k}}\,)}{|{\vec {\imath }}+{\vec {k}}\,|}}={\frac {4}{\sqrt {2}}}=2{\sqrt {2}}\,\,\mathrm {m/s}$