No Boletín - Cálculo de primer y segundo invariante (Ex.Ene/12)

Enunciado

Las posiciones y velocidades instantáneas de tres puntos de un sólido rígido vienen dadas por:

Punto	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}} (m)	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}} (m/s)
A	${\vec {\imath }}$	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}+\vec{k}}
B	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}+\vec{k}}	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}}
C	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\,\vec{k}}	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3\,\vec{\imath}+\vec{k}}

1. Calcule la velocidad angular del sólido rígido (primer invariante).
2. Calcule la velocidad de deslizamiento del sólido rígido (segundo invariante).

Cálculo de la velocidad angular

Podemos deducir el vector velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,\,} del sólido, componente a componente, exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades en la relación entre las velocidades conocidas.

Por ejemplo, la relación entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_B\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_A\,} debe satisfacer la ecuación:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)=(3\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right| }

E igualando componentes homólogas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{rcl} 2 & = & 3+\omega_y-\omega_z \\ 1 & = & 3-\omega_z-\omega_x \\ 2 & = & 1+\omega_x+\omega_y \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_y=\omega_z-1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_x=2-\omega_z }

Y relacionando de forma análoga Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_C\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_A\,} , podemos culminar la deducción de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_C=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)=(3\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2-\omega_z & \omega_z-1 & \omega_z \\ -1 & 0 & 2 \end{array}\right| }

E igualando componentes homólogas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{rcl} 3 & = & 3+2\omega_z-2 \\ 0 & = & 3-\omega_z-4+2\omega_z \\ 1 & = & 1+\omega_z-1 \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_z=1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_y=0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_x=1 }

Por tanto, el vector velocidad angular (primer invariante) es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=(\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s} }

Cálculo de la velocidad de deslizamiento

Y la velocidad de deslizamiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d\,} (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_d=\frac{\vec{v}_C\cdot\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}=\frac{(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\cdot(\vec{\imath}+\vec{k}\,)}{|\vec{\imath}+\vec{k}\,|}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,\,\mathrm{m/s} }