Enunciado
De una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_1}
se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?
Si a esta fuerza se le suma otra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}}
, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?
Solución
La fuerza tendrá en general una componente en cada una de las tres direcciones del espacio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_1=F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}+F_z\vec{k}}
Para obtener cada una de ellas, multiplicamos por el vector unitario correspondiente. Así
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_x = \vec{F}_1\cdot\vec{\imath}}
Por otro lado, de la definición de producto escalar
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_x = \vec{F}_1\cdot\vec{\imath}=|\vec{F}_1||\vec{\imath}|\cos(60^\circ) = (10\,\mathrm{N})\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=5\,\mathrm{N}}
Análogamente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_y = \vec{F}_1\cdot\vec{\jmath}=|\vec{F}_1||\vec{\jmath}|\cos(60^\circ) = (10\,\mathrm{N})\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=5\,\mathrm{N}}
La tercera componente la hallamos a partir de estas dos y del módulo de la fuerza
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{F}_1|=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}\qquad\rightarrow\qquad F_z = \pm\sqrt{|\vec{F}_1|^2-F_x^2-F_y^2}}
Tenemos dos soluciones porque la tercera componente puede ir en la dirección del semieje OZ positivo o en la del negativo. Sustituyendo los valores numéricos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_z =\pm\sqrt{100-25-25}\,\mathrm{N}=\pm 5\sqrt{2}\,\mathrm{N}=\pm 7.1\,\mathrm{N}}
Nótese que en el resultado final redondeamos a la cantidad de cifras significativas del dato de entrada (dos cifras).
Reuniendo los tres resultados, obtenemos las soluciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_1 = \left(5\vec{\imath}+5\vec{\jmath}\pm 7.1\vec{k}\right)\mathrm{N}}
Cuando a esta fuerza le sumamos la segunda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_2 = \left(-10\,\vec{\imath}-10\,\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{N}}
obtenemos la resultante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2 = \left(-5\vec{\imath}-5\vec{\jmath}\pm 7.1\vec{k}\right)\mathrm{N}}
El módulo de esta fuerza vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{F}|=\sqrt{(-5)^2+(-5)^2+(5\sqrt{2})^2}\,\mathrm{N}=10\,\mathrm{N}}
(a la hora de hacer cálculos intermedios interesa usar las soluciones exactas, y solo redondear en los resultados finales).
El ángulo que forma la fuerza con el eje OX positivo lo obtenemos a partir de sus coseno
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\alpha_1) = \frac{\vec{F}\cdot\vec{\imath}}{|\vec{F}||\vec{\imath}|} = -0.5\qquad \Rightarrow\qquad \alpha_1 = \frac{2\pi}{3}=120^\circ}
Análogamente para el eje OY
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\alpha_2) = \frac{\vec{F}\cdot\vec{\jmath}}{|\vec{F}||\vec{\jmath}|} = -0.5\qquad \Rightarrow\qquad \alpha_2 = \frac{2\pi}{3}=120^\circ}
Para el eje OZ operamos del mismo modo y tenemos dos posibilidades
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\alpha_3) = \frac{\vec{F}\cdot\vec{k}}{|\vec{F}||\vec{k}|} = \pm 0.7\qquad \Rightarrow\qquad \alpha_3 = \begin{cases}\pi/4 =45^\circ & \\ 3\pi/4 = 135^\circ & \end{cases}}
