No Boletín - Cálculo de la altura de un paralelepípedo (Ex.Jun/13)

Enunciado

Sea el paralelepípedo que tiene como aristas a los tres vectores siguientes: ${\overrightarrow {OA}}=(2{\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\,\mathrm {m} \,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow {OB}}=({\vec {\imath }}-{\vec {k}})\,\mathrm {m} \,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow {OC}}=({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+4\,{\vec {k}})\,\mathrm {m}$

¿Cuánto mide la altura de este paralelepípedo si se considera que su base es la cara que tiene como lados a ${\overrightarrow {OA}}\,$ y ${\overrightarrow {OB}}\,$?

Solución

El volumen $V\,$ de un paralelepípedo se calcula como el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que definen sus aristas:

$V=\left|{\overrightarrow {OA}}\cdot \left({\overrightarrow {OB}}\times {\overrightarrow {OC}}\right)\right|=|18|\,\mathrm {m} ^{3}=18\,\mathrm {m} ^{3}$

Por otra parte, si la base del paralelepípedo es la cara que tiene como lados a ${\overrightarrow {OA}}\,$ y ${\overrightarrow {OB}}\,$, se sabe que el área $S\,$ de dicho paralelogramo viene dada por el módulo del producto vectorial de esos dos vectores:

$S=\left|{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}\right|=|3{\vec {\imath }}+3{\vec {\jmath }}+3{\vec {k}}|\,\mathrm {m} ^{2}=3{\sqrt {3}}\,\mathrm {m} ^{2}$

Finalmente, calculamos la altura $h\,$ del paralelepípedo como el cociente entre su volumen $V\,$ y el área $S\,$ de su base:

$h={\frac {V}{S}}={\frac {18\,\mathrm {m} ^{3}}{3{\sqrt {3}}\,\mathrm {m} ^{2}}}=2{\sqrt {3}}\,\mathrm {m}$

Veamos ahora un procedimiento alternativo para hallar la altura. Se calcula un vector ${\vec {N}}\,$ normal a la base del paralelepípedo, y dividiéndolo por su módulo (normalización) se obtiene un vector unitario ${\vec {u}}_{N}\,$ en su misma dirección:

${\vec {N}}={\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {u}}_{N}={\frac {\vec {N}}{|{\vec {N}}|}}={\frac {{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}}{|{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}|}}\,$

A continuación, se observa por inspección geométrica que la altura del paralelepípedo coincide con el valor absoluto de la proyección del vector-arista ${\overrightarrow {OC}}\,$ sobre la dirección normal a la base. Así que dicha altura $h\,$ se puede calcular como el valor absoluto del producto escalar del vector ${\overrightarrow {OC}}\,$ por el vector unitario ${\vec {u}}_{N}\,$:

$h=\left|\mathrm {proy} _{\parallel {\vec {N}}}\left[{\overrightarrow {OC}}\right]\right|=\left|{\overrightarrow {OC}}\cdot {\vec {u}}_{N}\right|=\left|{\overrightarrow {OC}}\cdot {\frac {{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}}{|{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}|}}\right|={\frac {|{\overrightarrow {OC}}\cdot ({\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}})|}{|{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}|}}={\frac {|{\overrightarrow {OA}}\cdot ({\overrightarrow {OB}}\times {\overrightarrow {OC}})|}{|{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}|}}={\frac {V}{S}}$

expresión que, como puede comprobarse, es equivalente (por permutabilidad cíclica del producto mixto) a la del procedimiento anterior.