No Boletín - Cálculo de la altura de un paralelepípedo (Ex.Jun/13)

Enunciado

Sea el paralelepípedo que tiene como aristas a los tres vectores siguientes: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=(2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k})\,\mathrm{m}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \overrightarrow{OB}=(\vec{\imath}-\vec{k})\,\mathrm{m}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \overrightarrow{OC}=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+4\,\vec{k})\,\mathrm{m} }

¿Cuánto mide la altura de este paralelepípedo si se considera que su base es la cara que tiene como lados a ${\overrightarrow {OA}}\,$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}\,} ?

Solución

El volumen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V\,} de un paralelepípedo se calcula como el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que definen sus aristas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V = \left|\overrightarrow{OA}\cdot\left(\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC}\right)\right| = |18| \,\mathrm{m}^3 = 18\,\mathrm{m}^3}

Por otra parte, si la base del paralelepípedo es la cara que tiene como lados a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}\,} , se sabe que el área Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S\,} de dicho paralelogramo viene dada por el módulo del producto vectorial de esos dos vectores:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S = \left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|=|3\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+3\vec{k}|\,\mathrm{m}^2=3\sqrt{3}\,\mathrm{m}^2}

Finalmente, calculamos la altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h\,} del paralelepípedo como el cociente entre su volumen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V\,} y el área Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S\,} de su base:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h = \frac{V}{S}=\frac{18\,\mathrm{m}^3}{3\sqrt{3}\,\mathrm{m}^2}=2\sqrt{3}\,\mathrm{m}}

Veamos ahora un procedimiento alternativo para hallar la altura. Se calcula un vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}\,} normal a la base del paralelepípedo, y dividiéndolo por su módulo (normalización) se obtiene un vector unitario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_N\,} en su misma dirección:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{u}_N=\frac{\vec{N}}{|\vec{N}|}=\frac{\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|}\,}

A continuación, se observa por inspección geométrica que la altura del paralelepípedo coincide con el valor absoluto de la proyección del vector-arista Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}\,} sobre la dirección normal a la base. Así que dicha altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h\,} se puede calcular como el valor absoluto del producto escalar del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}\,} por el vector unitario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_N\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h=\left|\mathrm{proy}_{\parallel\vec{N}}\left[\overrightarrow{OC}\right]\right|=\left|\overrightarrow{OC}\cdot\vec{u}_N\right|=\left|\overrightarrow{OC}\cdot\frac{\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|}\right|=\frac{|\overrightarrow{OC}\cdot(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})|}{|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|}=\frac{|\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC})|}{|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|}=\frac{V}{S}}

expresión que, como puede comprobarse, es equivalente (por permutabilidad cíclica del producto mixto) a la del procedimiento anterior.