No Boletín - Automóviles con m.r.u. y m.r.u.a. (Ex.Nov/12)

Enunciado

Un automóvil A recorre el eje OX con una velocidad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{v}_A=72\,\vec{\imath} \,} km/h, hallándose en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,x=0\,\,} en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,t=0\,} . En ese mismo instante un segundo automóvil B, que se encontraba en reposo en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,x=d>0\,} , comienza a moverse con una aceleración constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{a}_B=0.8\,\vec{\imath}\,} m/sError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ^2} .

¿Cuál era la distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,d\,\,} que separaba a ambos automóviles en el instante inicial si observamos que A logra alcanzar a B por un momento pero no llega a adelantarlo?

Discusión de tres casos dependiendo de la ventaja inicial

Al tratarse de movimientos unidimensionales (sobre el eje OX), prescindiremos del carácter vectorial de las magnitudes cinemáticas. Razonaremos con las posiciones, velocidades y aceleraciones escalares de ambos automóviles, dando por sobrentendido que nos referimos a las componentes-x de las correspondientes magnitudes vectoriales.

El automóvil A realiza un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.), mientras que el automóvil B realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.). Por tanto, sus aceleraciones, velocidades y posiciones instantáneas vienen dadas por las correspondientes fórmulas elementales deducidas en clase para estos movimientos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{l} a_A(t)=0 \\ v_A(t)=v_A\,\,\mathrm{(cte)} \\ x_A(t)=x_A(0)+v_At=v_At \end{array}\right. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \left\{\begin{array}{l} a_B(t)=a_B\,\,\mathrm{(cte)} \\ v_B(t)=v_B(0)+a_Bt=a_Bt \\ x_B(t)=x_B(0)+v_B(0)t+\frac{1}{2}a_Bt^2=d+\frac{1}{2}a_Bt^2 \end{array}\right. }

donde se han sustituido las condiciones iniciales dadas (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_A(0)=0\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_B(0)=d\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_B(0)=0\,} ).

Analicemos el problema. Ambos automóviles viajan en el sentido positivo del eje OX. El automóvil B sale con una ventaja Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,d\,} y además está acelerando, pero inicialmente es más lento que el A puesto que ha partido del reposo. Por tanto, es posible que A tenga opciones de alcanzar e incluso adelantar a B. Eso sí, sabemos que, si A llega a adelantar a B, posteriormente B adelantará a A (porque la velocidad de B es creciente en el tiempo, mientras que la de A es constante). Dado que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,v_A=72\,\mathrm{km/h}=20\,\mathrm{m/s}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,a_B=0.8\,\mathrm{m/s}^2\,} son datos conocidos, el que A logre o no alcanzar (o incluso adelantar) a B va a depender del valor de la ventaja inicial $\,d\,$ con que B sale respecto a A.

En resumen, tenemos tres situaciones posibles:

Caso 1:

La ventaja inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,d\,} es lo suficientemente grande como para que A no llegue a alcanzar a B. En este caso, si igualamos las coordenadas-x de A y B, obtendremos que no existe solución en el tiempo (es decir, no hay ningún valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,t\,} para el cual Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,x_A=x_B\,} ).

Caso 2:

La ventaja inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,d\,} tiene exactamente el valor necesario para que A alcance a B por un instante pero no llegue a adelantarlo. En este caso, igualando las posiciones de A y B, obtendremos una única solución en el tiempo.

Caso 3:

La ventaja inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,d\,} es lo suficientemente pequeña como para que A logre adelantar a B (más tarde, B adelantará a A). En este supuesto, al igualar las posiciones de A y B, obtendremos dos soluciones en el tiempo, correspondientes -respectivamente- a los dos instantes de adelantamiento.

Ahora, procedamos matemáticamente. Igualemos las posiciones de A y B, llamando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,t_{*}\,} al instante (o instantes) en que tal coincidencia de automóviles se produce:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_A(t_{*})=x_B(t_{*})\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, v_At_{*}=d+\frac{1}{2}a_Bt_{*}^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \frac{1}{2}a_Bt_{*}^2-v_At_{*}+d=0 }

Resolvamos la ecuación de segundo grado para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,t_{*}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_{^*}=\frac{v_A\pm\sqrt{v_A^2-2a_Bd}}{a_B} }

Comprobamos que, según que el discriminante sea menor, igual o mayor que cero, aparecen las tres situaciones ya comentadas:

Caso 1

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d>\frac{v_A^2}{2a_B} \,\,\,\longrightarrow\,\,\,v_A^2-2a_Bd<0 \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, } No hay solución en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,t_{*}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_B\,} nunca coinciden

Caso 2

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d=\frac{v_A^2}{2a_B} \,\,\,\longrightarrow\,\,\,v_A^2-2a_Bd=0 \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,} Hay una solución en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,t_{*}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_B\,} coinciden en un instante

Caso 3

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d<\frac{v_A^2}{2a_B} \,\,\,\longrightarrow\,\,\,v_A^2-2a_Bd>0 \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,} Hay dos soluciones en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,t_{*}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_A\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_B\,} coinciden en dos instantes

Solución del ejercicio (Caso 2)

Si, tal como plantea el enunciado de este ejercicio, observamos que A logra alcanzar a B por un momento pero no llega a adelantarlo, es que estamos en el Caso 2. Por tanto, la distancia inicial entre ambos automóviles es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d=\frac{v_A^2}{2a_B}=\frac{(20^2)\,\mathrm{m}^2\mathrm{/s}^2}{(2\times 0.8)\,\mathrm{m/s}^2}=250\,\mathrm{m} }

Otra forma más corta de razonar

Veamos otro modo de llegar a la solución. Si A alcanza a B, podemos estar seguros de que la velocidad de A en el instante del alcance es mayor o igual que la de B (no puede ser menor, porque A venía detrás y en tal caso no habría alcanzado a B). Pero como sabemos (por el enunciado) que A no adelanta a B sino que sólo lo alcanza por un momento, la única opción posible es que las velocidades de A y B sean iguales en el instante del alcance. Esto nos permite determinar el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,t_{*}\,} en el que A alcanza a B:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_A(t_{*})=v_B(t_{*})\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_A=a_Bt_{*}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, t_{*}=\frac{v_A}{a_B} }

Y exigiendo que las posiciones de A y B coincidan precisamente en dicho instante, podemos calcular el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,d\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_A(t_{*})=x_B(t_{*})\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_At_{*}=d+\frac{1}{2}a_Bt_{*}^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, d=v_At_{*}-\frac{1}{2}a_Bt_{*}^2=\frac{v_A^2}{a_B}-\frac{v_A^2}{2a_B}=\frac{v_A^2}{2a_B}=250\,\mathrm{m} }