No Boletín - Automóviles con m.r.u. y m.r.u.a. (Ex.Nov/12)

Enunciado

Un automóvil A recorre el eje OX con una velocidad constante $\,{\vec {v}}_{A}=72\,{\vec {\imath }}\,$ km/h, hallándose en el punto $\,x=0\,\,$ en el instante $\,t=0\,$. En ese mismo instante un segundo automóvil B, que se encontraba en reposo en el punto $\,x=d>0\,$, comienza a moverse con una aceleración constante $\,{\vec {a}}_{B}=0.8\,{\vec {\imath }}\,$ m/s$^{2}$.

¿Cuál era la distancia $\,d\,\,$ que separaba a ambos automóviles en el instante inicial si observamos que A logra alcanzar a B por un momento pero no llega a adelantarlo?

Discusión de tres casos dependiendo de la ventaja inicial

Al tratarse de movimientos unidimensionales (sobre el eje OX), prescindiremos del carácter vectorial de las magnitudes cinemáticas. Razonaremos con las posiciones, velocidades y aceleraciones escalares de ambos automóviles, dando por sobrentendido que nos referimos a las componentes-x de las correspondientes magnitudes vectoriales.

El automóvil A realiza un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.), mientras que el automóvil B realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.). Por tanto, sus aceleraciones, velocidades y posiciones instantáneas vienen dadas por las correspondientes fórmulas elementales deducidas en clase para estos movimientos:

$\left\{{\begin{array}{l}a_{A}(t)=0\\v_{A}(t)=v_{A}\,\,\mathrm {(cte)} \\x_{A}(t)=x_{A}(0)+v_{A}t=v_{A}t\end{array}}\right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{{\begin{array}{l}a_{B}(t)=a_{B}\,\,\mathrm {(cte)} \\v_{B}(t)=v_{B}(0)+a_{B}t=a_{B}t\\x_{B}(t)=x_{B}(0)+v_{B}(0)t+{\frac {1}{2}}a_{B}t^{2}=d+{\frac {1}{2}}a_{B}t^{2}\end{array}}\right.$

donde se han sustituido las condiciones iniciales dadas ($x_{A}(0)=0\,$, $x_{B}(0)=d\,$, $v_{B}(0)=0\,$).

Analicemos el problema. Ambos automóviles viajan en el sentido positivo del eje OX. El automóvil B sale con una ventaja $\,d\,$ y además está acelerando, pero inicialmente es más lento que el A puesto que ha partido del reposo. Por tanto, es posible que A tenga opciones de alcanzar e incluso adelantar a B. Eso sí, sabemos que, si A llega a adelantar a B, posteriormente B adelantará a A (porque la velocidad de B es creciente en el tiempo, mientras que la de A es constante). Dado que $\,v_{A}=72\,\mathrm {km/h} =20\,\mathrm {m/s} \,$ y $\,a_{B}=0.8\,\mathrm {m/s} ^{2}\,$ son datos conocidos, el que A logre o no alcanzar (o incluso adelantar) a B va a depender del valor de la ventaja inicial $\,d\,$ con que B sale respecto a A.

En resumen, tenemos tres situaciones posibles:

Caso 1:

La ventaja inicial $\,d\,$ es lo suficientemente grande como para que A no llegue a alcanzar a B. En este caso, si igualamos las coordenadas-x de A y B, obtendremos que no existe solución en el tiempo (es decir, no hay ningún valor de $\,t\,$ para el cual $\,x_{A}=x_{B}\,$).

Caso 2:

La ventaja inicial $\,d\,$ tiene exactamente el valor necesario para que A alcance a B por un instante pero no llegue a adelantarlo. En este caso, igualando las posiciones de A y B, obtendremos una única solución en el tiempo.

Caso 3:

La ventaja inicial $\,d\,$ es lo suficientemente pequeña como para que A logre adelantar a B (más tarde, B adelantará a A). En este supuesto, al igualar las posiciones de A y B, obtendremos dos soluciones en el tiempo, correspondientes -respectivamente- a los dos instantes de adelantamiento.

Ahora, procedamos matemáticamente. Igualemos las posiciones de A y B, llamando $\,t_{*}\,$ al instante (o instantes) en que tal coincidencia de automóviles se produce:

$x_{A}(t_{*})=x_{B}(t_{*})\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,v_{A}t_{*}=d+{\frac {1}{2}}a_{B}t_{*}^{2}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}a_{B}t_{*}^{2}-v_{A}t_{*}+d=0$

Resolvamos la ecuación de segundo grado para $\,t_{*}\,$:

$t_{^{*}}={\frac {v_{A}\pm {\sqrt {v_{A}^{2}-2a_{B}d}}}{a_{B}}}$

Comprobamos que, según que el discriminante sea menor, igual o mayor que cero, aparecen las tres situaciones ya comentadas:

Caso 1

$d>{\frac {v_{A}^{2}}{2a_{B}}}\,\,\,\longrightarrow \,\,\,v_{A}^{2}-2a_{B}d<0\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,$ No hay solución en $\,t_{*}\,\,\,\longrightarrow \,\,\,$ $x_{A}\,$ y $x_{B}\,$ nunca coinciden

Caso 2

$d={\frac {v_{A}^{2}}{2a_{B}}}\,\,\,\longrightarrow \,\,\,v_{A}^{2}-2a_{B}d=0\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,$ Hay una solución en $\,t_{*}\,\,\,\longrightarrow \,\,\,$ $x_{A}\,$ y $x_{B}\,$ coinciden en un instante

Caso 3

$d<{\frac {v_{A}^{2}}{2a_{B}}}\,\,\,\longrightarrow \,\,\,v_{A}^{2}-2a_{B}d>0\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,$ Hay dos soluciones en $\,t_{*}\,\,\,\longrightarrow \,\,\,$ $x_{A}\,$ y $x_{B}\,$ coinciden en dos instantes

Solución del ejercicio (Caso 2)

Si, tal como plantea el enunciado de este ejercicio, observamos que A logra alcanzar a B por un momento pero no llega a adelantarlo, es que estamos en el Caso 2. Por tanto, la distancia inicial entre ambos automóviles es:

$d={\frac {v_{A}^{2}}{2a_{B}}}={\frac {(20^{2})\,\mathrm {m} ^{2}\mathrm {/s} ^{2}}{(2\times 0.8)\,\mathrm {m/s} ^{2}}}=250\,\mathrm {m}$

Otra forma más corta de razonar

Veamos otro modo de llegar a la solución. Si A alcanza a B, podemos estar seguros de que la velocidad de A en el instante del alcance es mayor o igual que la de B (no puede ser menor, porque A venía detrás y en tal caso no habría alcanzado a B). Pero como sabemos (por el enunciado) que A no adelanta a B sino que sólo lo alcanza por un momento, la única opción posible es que las velocidades de A y B sean iguales en el instante del alcance. Esto nos permite determinar el instante $\,t_{*}\,$ en el que A alcanza a B:

$v_{A}(t_{*})=v_{B}(t_{*})\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,v_{A}=a_{B}t_{*}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,t_{*}={\frac {v_{A}}{a_{B}}}$

Y exigiendo que las posiciones de A y B coincidan precisamente en dicho instante, podemos calcular el valor de $\,d\,$:

$x_{A}(t_{*})=x_{B}(t_{*})\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,v_{A}t_{*}=d+{\frac {1}{2}}a_{B}t_{*}^{2}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,d=v_{A}t_{*}-{\frac {1}{2}}a_{B}t_{*}^{2}={\frac {v_{A}^{2}}{a_{B}}}-{\frac {v_{A}^{2}}{2a_{B}}}={\frac {v_{A}^{2}}{2a_{B}}}=250\,\mathrm {m}$