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No Boletín - Arista de un tetraedro II (Ex.Oct/15)

De Laplace

1 Enunciado

Los puntos \,O\,, A\,, B\, y C\,\, son los vértices de un tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud igual a 1\,\mathrm{m}\,. Se elige el triedro cartesiano OXYZ\, de la figura, de tal modo que las aristas \,OA\, y OB\,\, del tetraedro quedan definidas por los vectores:


\overrightarrow{OA}=\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{3}\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,)\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,
\overrightarrow{OB}=\vec{\jmath}\,\,\mathrm{m}

Determine el vector \,\overrightarrow{OC}\,, por el que queda definida la arista OC\, del tetraedro.

2 Solución

Por comodidad, prescindiremos de las unidades hasta llegar a la solución final (son todas unidades del SI). Sabemos que todas las caras del tetraedro son triángulos equiláteros con lados de longitud igual a 1.\, Así que |\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1.\, Y sabemos que los ángulos internos de un triángulo equilátero valen \pi/3.\, Todo esto nos permite calcular el valor de los siguientes productos escalares (por definición):


\begin{array}{l}
\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OB}|\,\mathrm{cos}(\pi/3)=1\cdot 1\cdot\displaystyle\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\ \\
\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OA}|\,\mathrm{cos}(\pi/3)=1\cdot 1\cdot\displaystyle\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\ \\
\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC}=|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OC}|\,\mathrm{cos}(0)=1\cdot 1\cdot 1=1
\end{array}

Conocemos en base cartesiana los vectores \overrightarrow{OA}\, y \overrightarrow{OB}\,, y queremos determinar el vector \,\overrightarrow{OC}=OC_x\,\vec{\imath}+OC_y\,\vec{\jmath}+OC_z\,\vec{k}.\,

Realizando los productos escalares anteriores a partir de las componentes cartesianas de los correspondientes vectores, y exigiendo que los resultados así obtenidos coincidan con los valores antes obtenidos por definición, determinamos las componentes cartesianas de \,\overrightarrow{OC}\,:


\begin{array}{lllll}
\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}=\displaystyle\frac{1}{2} &\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& OC_y=\displaystyle\frac{1}{2} & &  \\ \\
\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=\displaystyle\frac{1}{2} &\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,OC_x+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2} &\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& OC_x=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ \\
\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC}=1 &\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& \left(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{\! 2}+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\! 2}+\,OC_z^{\, 2}=1&\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& OC_z=\sqrt{\displaystyle\frac{2}{3}}
\end{array}

habiéndose elegido la raíz positiva (y descartado la negativa) como solución de OC_z\, por coherencia con la figura del enunciado.

Asi que:


\overrightarrow{OC}=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}}\,(\vec{\imath}+\sqrt{3}\,\,\vec{\jmath}+2\sqrt{2}\,\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{m}

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