Enunciado

Sea un triángulo de área , y sea un punto coplanario con dicho triángulo e interior al mismo.

¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

(1)
(2)
(3)
(4)

Solución

Empezamos examinando la igualdad (3), en la cual podemos sacar el vector como factor común de la suma:

Por tanto, la igualdad (3) es correcta.

Un detalle importante que conviene observar en las igualdades (1), (2) y (4) es que todos los productos vectoriales que aparecen en ellas tienen la misma dirección (perpendicular al plano del triángulo) y el mismo sentido (saliente). Nótese que, sólo cuando se suman vectores que tienen la misma dirección y el mismo sentido, se puede igualar el módulo de la suma con la suma de los módulos. También vamos a utilizar la propiedad geométrica del producto vectorial que dice que "el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al doble del área del triángulo que tiene a ambos vectores como dos de sus lados".

Procedamos a examinar la igualdad (1):

Por tanto, la igualdad (1) es correcta.

Procedamos a examinar la igualdad (2):

Por tanto, la igualdad (2) es correcta.

Procedamos a examinar la igualdad (4):

Por tanto, la afirmación (4) es la que es FALSA.