No Boletín - Area de un triángulo (Ex.Nov/16)

Enunciado

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1P_2P_3\,} un triángulo de área Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} , y sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} un punto coplanario con dicho triángulo e interior al mismo.

¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

(1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{P_2P_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}+\overrightarrow{P_3P_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}\right|=6A\,}

(2) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|=2A\,}

(3) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|=0\,}

(4) $\left|{\overrightarrow {OP_{1}}}\times {\overrightarrow {OP_{2}}}+{\overrightarrow {OP_{2}}}\times {\overrightarrow {OP_{3}}}+{\overrightarrow {OP_{3}}}\times {\overrightarrow {OP_{1}}}\right|=3A\,$

Solución

Empezamos examinando la igualdad (3), en la cual podemos sacar el vector ${\overrightarrow {OP_{1}}}\,$ como factor común de la suma:

$\left|\,{\overrightarrow {OP_{1}}}\times {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}+{\overrightarrow {OP_{1}}}\times {\overrightarrow {P_{2}P_{3}}}+{\overrightarrow {OP_{1}}}\times {\overrightarrow {P_{3}P_{1}}}\right|=\left|\,{\overrightarrow {OP_{1}}}\times \left({\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}+{\overrightarrow {P_{2}P_{3}}}+{\overrightarrow {P_{3}P_{1}}}\right)\right|=\left|\,{\overrightarrow {OP_{1}}}\times {\overrightarrow {P_{1}P_{1}}}\right|=$ $=\left|\,{\overrightarrow {OP_{1}}}\times {\vec {0}}\,\right|=\left|\,{\vec {0}}\,\right|=0$

Por tanto, la igualdad (3) es correcta.

Un detalle importante que conviene observar en las igualdades (1), (2) y (4) es que todos los productos vectoriales que aparecen en ellas tienen la misma dirección (perpendicular al plano del triángulo) y el mismo sentido (saliente). Nótese que, sólo cuando se suman vectores que tienen la misma dirección y el mismo sentido, se puede igualar el módulo de la suma con la suma de los módulos. También vamos a utilizar la propiedad geométrica del producto vectorial que dice que "el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al doble del área del triángulo que tiene a ambos vectores como dos de sus lados".

Procedamos a examinar la igualdad (1):

$\left|{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\times {\overrightarrow {P_{2}P_{3}}}+{\overrightarrow {P_{2}P_{3}}}\times {\overrightarrow {P_{3}P_{1}}}+{\overrightarrow {P_{3}P_{1}}}\times {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\right|=\underbrace {\left|{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\times {\overrightarrow {P_{2}P_{3}}}\right|} _{2\,\mathrm {Area} (P_{1}P_{2}P_{3})}+\underbrace {\left|{\overrightarrow {P_{2}P_{3}}}\times {\overrightarrow {P_{3}P_{1}}}\right|} _{2\,\mathrm {Area} (P_{1}P_{2}P_{3})}+\underbrace {\left|{\overrightarrow {P_{3}P_{1}}}\times {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\right|} _{2\,\mathrm {Area} (P_{1}P_{2}P_{3})}=$ $=2A\,+\,2A\,+\,2A=6A$

Por tanto, la igualdad (1) es correcta.

Procedamos a examinar la igualdad (2):

$\left|{\overrightarrow {OP_{1}}}\times {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}+{\overrightarrow {OP_{2}}}\times {\overrightarrow {P_{2}P_{3}}}+{\overrightarrow {OP_{3}}}\times {\overrightarrow {P_{3}P_{1}}}\right|=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\left|{\overrightarrow {OP_{1}}}\times {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\right|} _{2\,\mathrm {Area} (OP_{1}P_{2})}+\underbrace {\left|{\overrightarrow {OP_{2}}}\times {\overrightarrow {P_{2}P_{3}}}\right|} _{2\,\mathrm {Area} (OP_{2}P_{3})}+\underbrace {\left|{\overrightarrow {OP_{3}}}\times {\overrightarrow {P_{3}P_{1}}}\right|} _{2\,\mathrm {Area} (OP_{3}P_{1})}} _{2\,[Area(OP_{1}P_{2})\,+\,Area(OP_{2}P_{3})\,+\,Area(OP_{3}P_{1})]}} _{2\,\mathrm {Area} (P_{1}P_{2}P_{3})}=2A$

Por tanto, la igualdad (2) es correcta.

Procedamos a examinar la igualdad (4):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{OP_3}+\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{OP_1}\right|=\underbrace{\underbrace{\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{OP_2}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_1P_2)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{OP_3}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_2P_3)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{OP_1}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_3P_1)}}_{2\,[Area(OP_1P_2)\,+\,Area(OP_2P_3)\,+\,Area(OP_3P_1)]}}_{2\,\mathrm{Area}(P_1P_2P_3)}=2A\neq 3A}

Por tanto, la afirmación (4) es la que es FALSA.