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No Boletín - Area de un triángulo (Ex.Nov/16)

De Laplace

1 Enunciado

Sea P_1P_2P_3\, un triángulo de área A\,, y sea O\, un punto coplanario con dicho triángulo e interior al mismo.

¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

(1) \left|\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{P_2P_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}+\overrightarrow{P_3P_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}\right|=6A\,
(2) \left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|=2A\,
(3) \left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|=0\,
(4) \left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{OP_3}+\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{OP_1}\right|=3A\,

2 Solución

Empezamos examinando la igualdad (3), en la cual podemos sacar el vector \overrightarrow{OP_1}\, como factor común de la suma:

\left|\,\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|=\left|\,\overrightarrow{OP_1}\times\left(\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{P_3P_1}\right)\right|=\left|\,\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_1}\right|=\left|\,\overrightarrow{OP_1}\times\vec{0}\,\right|=\left|\,\vec{0}\,\right|=0

Por tanto, la igualdad (3) es correcta.

Un detalle importante que conviene observar en las igualdades (1), (2) y (4) es que todos los productos vectoriales que aparecen en ellas tienen la misma dirección (perpendicular al plano del triángulo) y el mismo sentido (saliente). Nótese que, sólo cuando se suman vectores que tienen la misma dirección y el mismo sentido, se puede igualar el módulo de la suma con la suma de los módulos. También vamos a utilizar la propiedad geométrica del producto vectorial que dice que "el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al doble del área del triángulo que tiene a ambos vectores como dos de sus lados".

Procedamos a examinar la igualdad (1):

\left|\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{P_2P_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}+\overrightarrow{P_3P_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}\right|=\underbrace{\left|\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(P_1P_2P_3)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{P_2P_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(P_1P_2P_3)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{P_3P_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(P_1P_2P_3)}=2A\,+\,2A\,+\,2A=6A

Por tanto, la igualdad (1) es correcta.

Procedamos a examinar la igualdad (2):

\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}+\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|=\underbrace{\underbrace{\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{P_1P_2}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_1P_2)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{P_2P_3}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_2P_3)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{P_3P_1}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_3P_1)}}_{2\,[Area(OP_1P_2)\,+\,Area(OP_2P_3)\,+\,Area(OP_3P_1)]}}_{2\,\mathrm{Area}(P_1P_2P_3)}=2A

Por tanto, la igualdad (2) es correcta.

Procedamos a examinar la igualdad (4):

\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{OP_3}+\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{OP_1}\right|=\underbrace{\underbrace{\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{OP_2}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_1P_2)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_2}\times\overrightarrow{OP_3}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_2P_3)}+\underbrace{\left|\overrightarrow{OP_3}\times\overrightarrow{OP_1}\right|}_{2\,\mathrm{Area}(OP_3P_1)}}_{2\,[Area(OP_1P_2)\,+\,Area(OP_2P_3)\,+\,Area(OP_3P_1)]}}_{2\,\mathrm{Area}(P_1P_2P_3)}=2A\neq 3A

Por tanto, la afirmación (4) es la que es FALSA.

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