No Boletín - Area de un paralelogramo (Ex.Oct/15)

Enunciado

Si $\,{\vec {a}}\,\,$ y $\,{\vec {b}}\,\,$ son dos vectores libres que forman un ángulo $\theta \,$ (siendo $0<\theta <\pi \,\,\mathrm {rad} \,$), ¿cuánto vale el área del paralelogramo que tiene por lados a los vectores $\,{\vec {a}}+{\vec {b}}\,\,$ y $\,{\vec {a}}-{\vec {b}}\,\,$?

Solución

Conforme a una de las propiedades geométricas del producto vectorial, el área $A\,$ del paralelogramo que tiene por lados a los vectores $\,{\vec {a}}+{\vec {b}}\,\,$ y $\,{\vec {a}}-{\vec {b}}\,\,$ es igual al módulo del producto vectorial de los vectores $\,{\vec {a}}+{\vec {b}}\,\,$ y $\,{\vec {a}}-{\vec {b}}\,\,$:

$A=|({\vec {a}}\,+\,{\vec {b}})\times ({\vec {a}}\,-\,{\vec {b}})|=|\underbrace {{\vec {a}}\times {\vec {a}}} _{=\,{\vec {0}}}-\,{\vec {a}}\,\times \,{\vec {b}}\,+\,\underbrace {{\vec {b}}\times {\vec {a}}} _{=\,-{\vec {a}}\times {\vec {b}}}-\,\underbrace {{\vec {b}}\times {\vec {b}}} _{=\,{\vec {0}}}|=|-2\,{\vec {a}}\,\times \,{\vec {b}}\,|=2\,|\,{\vec {a}}\,||\,{\vec {b}}\,|\,\mathrm {sen} (\theta )$