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No Boletín - Area de un paralelogramo (Ex.Oct/15)

De Laplace

1 Enunciado

Si \,\vec{a}\,\, y \,\vec{b}\,\, son dos vectores libres que forman un ángulo \theta\, (siendo 0<\theta<\pi\,\,\mathrm{rad}\,), ¿cuánto vale el área del paralelogramo que tiene por lados a los vectores \,\vec{a}+\vec{b}\,\, y \,\vec{a}-\vec{b}\,\,?

2 Solución

Conforme a una de las propiedades geométricas del producto vectorial, el área A\, del paralelogramo que tiene por lados a los vectores \,\vec{a}+\vec{b}\,\, y \,\vec{a}-\vec{b}\,\, es igual al módulo del producto vectorial de los vectores \,\vec{a}+\vec{b}\,\, y \,\vec{a}-\vec{b}\,\,:


A=|(\vec{a}\,+\,\vec{b})\times(\vec{a}\,-\,\vec{b})|=|\underbrace{\vec{a}\times\vec{a}}_{=\,\vec{0}}-\,\vec{a}\,\times\,\vec{b}\,+\,\underbrace{\vec{b}\times\vec{a}}_{=\,-\vec{a}\times\vec{b}}-\,\underbrace{\vec{b}\times\vec{b}}_{=\,\vec{0}}|=|-2\,\vec{a}\,\times\,\vec{b}\,|=2\,|\,\vec{a}\,||\,\vec{b}\,|\,\mathrm{sen}(\theta)

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