No Boletín - Area de un paralelogramo (Ex.Oct/15)

Enunciado

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{a}\,\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{b}\,\,} son dos vectores libres que forman un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} (siendo $0<\theta <\pi \,\,\mathrm {rad} \,$), ¿cuánto vale el área del paralelogramo que tiene por lados a los vectores $\,{\vec {a}}+{\vec {b}}\,\,$ y $\,{\vec {a}}-{\vec {b}}\,\,$?

Solución

Conforme a una de las propiedades geométricas del producto vectorial, el área Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,} del paralelogramo que tiene por lados a los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{a}+\vec{b}\,\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{a}-\vec{b}\,\,} es igual al módulo del producto vectorial de los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{a}+\vec{b}\,\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\vec{a}-\vec{b}\,\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=|(\vec{a}\,+\,\vec{b})\times(\vec{a}\,-\,\vec{b})|=|\underbrace{\vec{a}\times\vec{a}}_{=\,\vec{0}}-\,\vec{a}\,\times\,\vec{b}\,+\,\underbrace{\vec{b}\times\vec{a}}_{=\,-\vec{a}\times\vec{b}}-\,\underbrace{\vec{b}\times\vec{b}}_{=\,\vec{0}}|=|-2\,\vec{a}\,\times\,\vec{b}\,|=2\,|\,\vec{a}\,||\,\vec{b}\,|\,\mathrm{sen}(\theta) }