No Boletín - Aplicación de la regla del paralelogramo (Ex.Oct/14)

Enunciado

Las ternas de vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\overrightarrow{AC}\,,\,\overrightarrow{AF}\,,\,\overrightarrow{AH}\,\}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AD}\,,\,\overrightarrow{AE}\,\}\,} están asociadas al paralelepípedo de la figura. Corresponden, respectivamente, a las diagonales de vértice común de tres caras contiguas y a las tres aristas que concurren en ese mismo vértice. Observe que la regla del paralelogramo para la suma vectorial permite establecer relaciones entre los vectores de una y otra terna.

¿Cuál de las siguientes relaciones de equivalencia es correcta?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH}}

(2) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF})}

(3) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AH})}

(4) ${\overrightarrow {AB}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {AF}}-{\overrightarrow {AH}})$

Solución

Las caras de un paralelepípedo son paralelogramos. Así que, observando la figura y conforme a la regla del paralelogramo para la suma vectorial, se pueden establecer las siguientes relaciones de equivalencia:

${\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AD}}\,\,;$         ${\overrightarrow {AF}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AE}}\,\,;$         Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}

Entonces, si a la suma de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AC}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AF}\,} le restamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AH}\,} , queda:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}=2\,\overrightarrow{AB} }

y, finalmente, despejando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}\,} , comprobamos que la relación de equivalencia correcta es la (4):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH}) }