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No Boletín - Aplicación de la regla del paralelogramo (Ex.Oct/14)

De Laplace

1 Enunciado

Las ternas de vectores \{\overrightarrow{AC}\,,\,\overrightarrow{AF}\,,\,\overrightarrow{AH}\,\}\, y \{\overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AD}\,,\,\overrightarrow{AE}\,\}\, están asociadas al paralelepípedo de la figura. Corresponden, respectivamente, a las diagonales de vértice común de tres caras contiguas y a las tres aristas que concurren en ese mismo vértice. Observe que la regla del paralelogramo para la suma vectorial permite establecer relaciones entre los vectores de una y otra terna.

¿Cuál de las siguientes relaciones de equivalencia es correcta?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH}
(2) \overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF})
(3) \overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AH})
(4) \overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH})

2 Solución

Las caras de un paralelepípedo son paralelogramos. Así que, observando la figura y conforme a la regla del paralelogramo para la suma vectorial, se pueden establecer las siguientes relaciones de equivalencia:

\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \,\,;                 \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE} \,\,;                 \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}

Entonces, si a la suma de \overrightarrow{AC}\, y \overrightarrow{AF}\, le restamos \overrightarrow{AH}\,, queda:


\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}=2\,\overrightarrow{AB}

y, finalmente, despejando \overrightarrow{AB}\,, comprobamos que la relación de equivalencia correcta es la (4):


\overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH})

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