No Boletín - Aplicación de la regla del paralelogramo (Ex.Oct/14)

Enunciado

Las ternas de vectores $\{{\overrightarrow {AC}}\,,\,{\overrightarrow {AF}}\,,\,{\overrightarrow {AH}}\,\}\,$ y $\{{\overrightarrow {AB}}\,,\,{\overrightarrow {AD}}\,,\,{\overrightarrow {AE}}\,\}\,$ están asociadas al paralelepípedo de la figura. Corresponden, respectivamente, a las diagonales de vértice común de tres caras contiguas y a las tres aristas que concurren en ese mismo vértice. Observe que la regla del paralelogramo para la suma vectorial permite establecer relaciones entre los vectores de una y otra terna.

¿Cuál de las siguientes relaciones de equivalencia es correcta?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {AF}}-{\overrightarrow {AH}}$

(2) ${\overrightarrow {AB}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {AF}})$

(3) ${\overrightarrow {AB}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {AF}}+{\overrightarrow {AH}})$

(4) ${\overrightarrow {AB}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {AF}}-{\overrightarrow {AH}})$

Solución

Las caras de un paralelepípedo son paralelogramos. Así que, observando la figura y conforme a la regla del paralelogramo para la suma vectorial, se pueden establecer las siguientes relaciones de equivalencia:

${\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AD}}\,\,;$         ${\overrightarrow {AF}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AE}}\,\,;$         ${\overrightarrow {AH}}={\overrightarrow {AD}}+{\overrightarrow {AE}}$

Entonces, si a la suma de ${\overrightarrow {AC}}\,$ y ${\overrightarrow {AF}}\,$ le restamos ${\overrightarrow {AH}}\,$, queda:

${\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {AF}}-{\overrightarrow {AH}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AD}}+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AE}}-{\overrightarrow {AD}}-{\overrightarrow {AE}}=2\,{\overrightarrow {AB}}$

y, finalmente, despejando ${\overrightarrow {AB}}\,$, comprobamos que la relación de equivalencia correcta es la (4):

${\overrightarrow {AB}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {AF}}-{\overrightarrow {AH}})$