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Niño tirando dos piedras

De Laplace

1 Enunciado

Un niño tiene dos piedras. Lanza la primera verticalmente hacia arriba, con una velocidad v0. Un tiempo T después lanza la segunda, también verticalmente hacia arriba, con una velocidad 2v0. Determina cuanto debe valer T para que la segunda piedra alcance a la primera justo cuando su velocidad es nula. Desprecia el rozamiento del aire.

2 Solución

Si despreciamos la resistencia del aire las piedras realizan un movimiento uniformemente acelerado. Si escogemos el eje OX de modo que sea vertical y apunte hacia arriba la aceleración de las piedras es

a = − g.

Escogemos el origen del eje a la altura del suelo. El niño lanza la primera piedra en el instante inicial con velocidad v0 apuntando hacia arriba. La posición y velocidad de la primera piedra en función del tiempo viene dada por


\begin{array}{lcl}
x_1(t) = v_0t - \dfrac{1}{2}gt^2 &\qquad& t\geq0,\\
&&\\
v_1(t) = v_0 - gt. && 
\end{array}

El niño lanza la segunda piedra un tiempo T después, con una velocidad inicial 2v0 apuntando hacia arriba. Entonces, su posición viene dada por la expresión


\begin{array}{lcl}
x_2(t) = 2v_0(t-T) - \dfrac{1}{2}g(t-T)^2 &\qquad& t\geq T,\\
&&\\
v_2(t) = 2v_0 - g(t-T). && 
\end{array}

Calculamos el instante de tiempo para el que la primera piedra tiene velocidad nula


v_1(t_0) = 0
\Longrightarrow
t_0 = v_0/g.

En este instante la piedra está en el punto más alto de su trayectoria. Queremos que en ese mismo instante las posiciones de las dos piedras coincidan


x_1(t_0) = x_2(t_0)
\Longrightarrow
v_0t_0 - \dfrac{1}{2}gt_0^2 = 2v_0(t_0-T) - \dfrac{1}{2}g(t_0-T)^2

Esto es una ecuación cuadrática para T. Para hacer el cálculo mas simple hacemos el cambio t0T = F y sustituimos el valor de t0 en el lado izquierdo tenemos


\dfrac{v_0^2}{2g} = 2v_0\,F - \dfrac{1}{2}g\,F^2
\Longrightarrow
g\,F^2 - 4v_0\,F + \dfrac{v_0^2}{g}=0
\Longrightarrow
F = \dfrac{4v_0 \pm \sqrt{16v_0^2-4v_0^2}}{2g}
=
\dfrac{v_0}{g}\,(2\pm \sqrt{3}).

Con esto obtenemos para T


T = t_0-F = \dfrac{v_0}{g} - \dfrac{v_0}{g}\,(2\pm \sqrt{3})
=
(\pm\sqrt{3}-1)\,\dfrac{v_0}{g}.

La solución con + es positiva (\sqrt{3}>1) y la otra es negativa. Como T > 0 la solución final es


T = (\sqrt{3}-1)\,\dfrac{v_0}{g}.

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