Niño tirando dos piedras

Enunciado

Un niño tiene dos piedras. Lanza la primera verticalmente hacia arriba, con una velocidad $v_{0}$. Un tiempo $T$ después lanza la segunda, también verticalmente hacia arriba, con una velocidad $2v_{0}$. Determina cuanto debe valer $T$ para que la segunda piedra alcance a la primera justo cuando su velocidad es nula. Desprecia el rozamiento del aire.

Solución

Si despreciamos la resistencia del aire las piedras realizan un movimiento uniformemente acelerado. Si escogemos el eje $OX$ de modo que sea vertical y apunte hacia arriba la aceleración de las piedras es

$a=-g.$

Escogemos el origen del eje a la altura del suelo. El niño lanza la primera piedra en el instante inicial con velocidad $v_{0}$ apuntando hacia arriba. La posición y velocidad de la primera piedra en función del tiempo viene dada por

${\begin{array}{lcl}x_{1}(t)=v_{0}t-{\dfrac {1}{2}}gt^{2}&\qquad &t\geq 0,\\&&\\v_{1}(t)=v_{0}-gt.&&\end{array}}$

El niño lanza la segunda piedra un tiempo $T$ después, con una velocidad inicial $2v_{0}$ apuntando hacia arriba. Entonces, su posición viene dada por la expresión

${\begin{array}{lcl}x_{2}(t)=2v_{0}(t-T)-{\dfrac {1}{2}}g(t-T)^{2}&\qquad &t\geq T,\\&&\\v_{2}(t)=2v_{0}-g(t-T).&&\end{array}}$

Calculamos el instante de tiempo para el que la primera piedra tiene velocidad nula

$v_{1}(t_{0})=0\Longrightarrow t_{0}=v_{0}/g.$

En este instante la piedra está en el punto más alto de su trayectoria. Queremos que en ese mismo instante las posiciones de las dos piedras coincidan

$x_{1}(t_{0})=x_{2}(t_{0})\Longrightarrow v_{0}t_{0}-{\dfrac {1}{2}}gt_{0}^{2}=2v_{0}(t_{0}-T)-{\dfrac {1}{2}}g(t_{0}-T)^{2}$

Esto es una ecuación cuadrática para $T$. Para hacer el cálculo mas simple hacemos el cambio $t_{0}-T=F$ y sustituimos el valor de $t_{0}$ en el lado izquierdo tenemos

${\dfrac {v_{0}^{2}}{2g}}=2v_{0}\,F-{\dfrac {1}{2}}g\,F^{2}\Longrightarrow g\,F^{2}-4v_{0}\,F+{\dfrac {v_{0}^{2}}{g}}=0\Longrightarrow F={\dfrac {4v_{0}\pm {\sqrt {16v_{0}^{2}-4v_{0}^{2}}}}{2g}}={\dfrac {v_{0}}{g}}\,(2\pm {\sqrt {3}}).$

Con esto obtenemos para $T$

$T=t_{0}-F={\dfrac {v_{0}}{g}}-{\dfrac {v_{0}}{g}}\,(2\pm {\sqrt {3}})=(\pm {\sqrt {3}}-1)\,{\dfrac {v_{0}}{g}}.$

La solución con + es positiva $({\sqrt {3}}>1)$ y la otra es negativa. Como $T>0$ la solución final es

$T=({\sqrt {3}}-1)\,{\dfrac {v_{0}}{g}}.$