Movimientos Planos de Manivela y Disco, F1 GIA (Sept, 2012)

Enunciado

El sistema de la figura está constituido por un plano vertical fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} (sólido “1”) que en todo instante contiene a otros dos sólidos en movimiento: un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} y centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} (sólido “2”), que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} , y una manivela ranurada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} (sólido “0”) que es obligada a girar con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} alrededor de un eje permanente de rotación que pasa por el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y es perpendicular al plano fijo definido como sólido “1” (eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1} ). Los movimientos de ambos sólidos se hayan vinculados entre sí porque el centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} del disco está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la manivela. Considerando el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}} como el movimiento problema, se pide:

1. Determinar el C.I.R. de dicho movimiento (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} ), haciendo uso de procedimientos graficos.
2. Utilizando como parámetro geométrico el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} indicado en la figura, obtener la reducción cinemática del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}} en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\omega}_{20} (\theta), \vec{v}_{20}^C (\theta)\}} .
3. Caracterizar el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}} en el instante en que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\pi/2} , indicando de forma razonada si se trata de una situación de: (a) rotación instantánea; (b) traslación instantánea; (c) movimiento helicoidal tangente, o (d) reposo instantáneo.

Solución

Antes de pasar a resolver las cuestiones propuestas en este ejercicio de movimientos planos relativos de sólidos rígidos, resulta conveniente proceder a la definición de los sistemas de referencia que asociaremos a cada uno de los sólidos. El disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} y centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} (sólido “2”) y la barra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} (sólido “0”), realizan sendos movimientos planos respecto del plano fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} en el cuál van a estar contenidos en todo instante y que, por tanto, adoptaremos como plano director de los movimientos. Tomamos como eje $OY_{1}$ la dirección perpendicular a la superficie fija (sólido “1”) sobre la que rueda sin deslizar el disco y en la cual se halla articulada la barra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} en su extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} .

Los sólidos “0” y “2” tendrán asociados sendos sistemas de referencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Y_0Z_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle CX_2Y_2Z_2} , tales que,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l}OZ_0=OZ_1\!\ \|\!\ CZ_2\mathrm{,}\,\;\forall\, t\quad \Longrightarrow\quad\mathbf{k}_0=\mathbf{k}_2=\mathbf{k}_1=\mathbf{k}\mathrm{,}\,\;\forall\, t\\ \\ \overline{OA}\subset OX_0\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{i}_0(t)=\cos\theta(t)\mathbf{i}_1+\,\mathrm{sen}\,\theta (t)\mathbf{j}_1\end{array}}

En cuanto al sólido “2”, su simetría en torno al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle CZ_2} permite tomar como ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle CX_2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle CY_2} dos direcciones cualesquiera contenidas en el plano del disco y perpendiculares entre sí.

 

En cualquiera de los posibles movimientos relativos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ij\}} (sólido “Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} ” respecto del “Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle j} ”), se tendrá que la dirección del correspondiente vector rotación instantánea es constante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{k}_i}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_j=\mathbf{0}=\vec{\omega}_{ij}\times\mathbf{k}_i\quad\Longrightarrow\quad\vec{\omega}_{ij}=\omega_{ij}(t)\!\ \mathbf{k}}

Por otra parte, el disco y la barra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} se pueden mover, pero siempre contenidas en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} . En consecuencia, la velocidad de cualquier punto en cualquiera de los posibles Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ij\}} va a ser un vector paralelo a dicho plano y, por tanto, perpendicular a la dirección definida por el unitario constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{k}} . Se tendrá, por tanto, que los elementos de las reducciones cinemáticas de cualquiera de los movimientos relativos instantáneos verifican las características del movimiento plano:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_{ij}^P(t)\!\ \perp\!\ \vec{\omega}_{ij}(t)\!\ \|\!\ \mathbf{k}\mathrm{,}\,\;\forall\, t}

Si el vector rotación es no nulo, va a haber un punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I} contenido en el plano director que, en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ij\}} , tiene velocidad nula. Este punto se denomina centro instantáneo de rotación (C.I.R.) del movimiento (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\equiv I_{ij}} ). Entonces, para todo punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} que se mueve solidariamente con el sólido “1”, se tendrá que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_{ij}^P=\vec{\omega}_{ij}\times\overrightarrow{IP}}

En el caso de una traslación instantánea en que todos los puntos tienen igual vector velocidad y el vector rotación es nulo, la anterior expresión matemática sigue siendo válida si se considera que el C.I.R. se encuentra en el infinito, en la dirección paralela al plano director y perpendicular a la de las velocidades instantáneas.

Posición de los C.I.R. de los tres movimientos relativos

El extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} del sólido “0” está articulado en el punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} del sólido “1”. Por tanto, dicho punto se encuentra en reposo permanente en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}} que se produce cuando la barra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} (sólido “0”) gira alredor del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1} . En consecuencia, y de acuerdo con la exposición anterior, el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} será el centro de rotación permanente del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_{01}^O(t)=\mathbf{0}\quad\Longleftrightarrow\quad O\equiv I_{01}\mathrm{,}\,\;\forall\,t}

El disco rueda sin deslizar sobre la superficie que hemos definido como sólido “1”. En consecuencia, el punto del sólido “2” que en cada instante se haya en contacto con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} , se encuentra en estado de reposo instantáneo. Si en todo instante denotamos como punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} dicha posición de contacto, se tendrá que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_{21}^B=\mathbf{0}\quad\Longrightarrow\quad B\equiv I_{21}\mathrm{,}\,\;\forall\,t}

Es decir, en cada instante de tiempo el C.I.R. del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}} se encuentra en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} de contacto entre el disco y la superficie fija. Obsérvese que la posición de dicho punto va cambiando durante el transcurso del movimiento, sin embargo, siempre va a estar en el eje sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} . Por tanto, los C.I.R. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}} definen en todo instante una recta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta} que coincide con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} . En virtud del teorema de los tres centros, el C.I.R. del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}} van a estar alineado en cada instante con los de los movimientos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}} . En consecuencia, el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} debe encontrarse siempre sobre la recta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta} definida por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} en cada instante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\mathrm{,}\!\ I_{21}\in\Delta\equiv OX_1\quad\Longrightarrow\quad I_{20}\in\Delta\equiv OX_1\mathrm{,}\;\,\forall\,t\quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{OI}_{20}(t)=x(t)\!\ \mathbf{i}_1}

Por otra parte, la expresión del campo de velocidades del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}} indica que la posición del C.I.R. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} , respecto de un punto arbitrario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} , se encuentra en la dirección perpendicular a la velocidad del punto en dicho movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_{20}^P=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{I_{20}P}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{PI}_{20}\!\ \perp \!\ \mathbf{v}_{20}^P\mathrm{,}\!\ \mathbf{k}}

Hay un punto concreto del disco para el cuál conocemos el todo instante la dirección de su velocidad en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}} : el centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} del disco está obligado a desplazarse siempre a lo largo del carril practicado a lo largo de la barra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} , que coincide con la dirección Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} , de manera que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_{20}^C(t)\!\ \|\!\ \mathbf{i}_0\mathrm{,}\;\,\forall\,t\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{CI}_{20}\!\ \|\!\ -\mathbf{j}_0\mathrm{,}\;\,\forall\,t}

En consecuencia, el C.I.R. del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}} se encuentra en cada instante en la recta que pasa por el centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} del disco y es paralela a la dirección del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_0} (perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\in\Lambda\mathrm{,}\,\;\,\mathrm{tal}\;\,\mathrm{que}\,\;\; C\in\Lambda\!\ \|\!\ \mathbf{j}_0}

Así que, en cada instante, el C.I.R. del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}} se halla en la intersección de las rectas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Lambda} ; es decir, donde la recta que pasa por el centro del disco y es perpendicular a la barra, corta al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}=\Delta\bigcap\Lambda}

La descripción analítica de dicho punto respecto del origen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} de los sistemas de referencia asociados a los sólidos “1” y “0” se puede obtener sin más que tener en cuenta que, en todo instante, los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} son los vértices de un triángulo rectángulo cuyo ángulo recto se encuentra en el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} . Por tanto,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2(t)=|\overrightarrow{OI}_{20}|^2=|\overrightarrow{OC}|^2+|\overrightarrow{CI}_{20}|^2\mathrm{,}\;\;\forall\,t}

Las longitudes de los segmentos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{OC}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{CI}_{20}} pueden expresarse en cada instante en función del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} que forman con las direcciones horizontal y vertical, respectivamente. Teniendo en cuenta que la distancia entre el centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} del disco y el punto de contacto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} es siempre constante e igual al radio del disco, se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}\displaystyle\mathrm{sen}\,\theta=\frac{R}{|\overrightarrow{OC}|}\\ \\ \displaystyle\cos\theta=\frac{R}{|\overrightarrow{CI}_{20}|}\end{array}\right\}}    ⇒   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{20}(t)=\frac{R}{\mathrm{sen}\,\theta(t)\cos\theta(t)}\ \mathbf{i}_1}

Reducción cinemática del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}}

Para determinar la reducción cinemática instantánea de este movimiento, podemos seguir dos procedimientos distintos: el análisis directo de dicho movimiento relativo en cada instante, o la aplicación de la composición de movimientos relativos.

Análisis cinemático directo

El centro del disco (sólido ``2") está obligado a desplazarse por la barra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} (sólido ``1"), que coincide en todo instante con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} . Se tendrá,por tanto que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}=\mathbf{r}_C(t)=x_C(t)\!\ \mathbf{i}_0\mathrm{,}\,\;\,\mathrm{con}\,\;x_C(t)=|\overrightarrow{OC}|=\frac{R}{\mathrm{sen}\,\theta(t)}}

ya que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{OC}} es la hipotenusa del triángulo rectángulo que en cada instante tiene por vértices los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} . La expresión de la velocidad instántánea del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} en el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}} se obtiene derivando con respecto al tiempo el anterior vector posición, en el sistema de referencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Y_0Z_0} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_{20}^C(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_C}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\frac{\mathrm{d}x_C(t)}{\mathrm{d}t}\!\ \mathbf{i}_0}   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \longrightarrow}   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_{20}^C(t)=-R\!\ \omega\ \frac{\cos\theta(t)}{\mathrm{sen}^2\,\theta (t)}\!\ \mathbf{i}_0}

donde se ha tenido en cuenta que la velocidad angular de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} de la barra, respecto de los ejes fijos es, por definición, la variación instantánea del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} , por unidad de tiempo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta(t)}{\mathrm{d}t}=\omega}

Una vez determinada la expresión de la velocidad instantánea de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , pordemos obtener el otro elemento de la reducción (es decir, el vector rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}} ) aprovechando que conocemos en cada instante la posición del C.I.R. del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}} . En el apartado anterior se determinó la dirección módulo y sentido del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{CI}_{20}} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}\ \vec{\omega}_{20}(t)=\omega_{20}(t)\!\ \mathbf{k}_0\\ \\ \displaystyle\overrightarrow{I_{20}C}=\frac{R}{\cos\theta(t)}\!\ \mathbf{j}_0\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\quad \mathbf{v}_{20}^C(t)=\vec{\omega}_{20}(t)\times\overrightarrow{I_{20}C}=-\frac{R\!\ \omega_{20}(t)}{\cos\theta(t)}\!\ \mathbf{i}_0}

Igualandon esta expresión con la obtenida por derivación del vector posición se obtiene,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}(t)= \frac{\omega}{\mathrm{tan}^2\,\theta (t)}\!\ \mathbf{k}}

Composición de movimientos relativos

En este caso, necesitamos conocer las reducciones cinemáticas de los tres movimientos relativos en un instante arbitrario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} , en el cuál la posición del sistema viene dada por un valor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} del ángulo que forman la barra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} y la dirección fija Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} . Como conocemos las posiciones de los C.I.R. de los tres movimientos, utilizaremos las correspondientes reducciones canónicas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l}\{\vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\!\ \mathbf{k}\mathrm{;}\,\;\mathbf{v}_{01}^O=\mathbf{0}\}\,\mathrm{;}\\ \\ \{\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\!\ \mathbf{k}\mathrm{;}\,\; \mathbf{v}_{20}^I=\mathbf{0}\}\\ \\ \{\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\!\ \mathbf{k}\mathrm{;}\,\;\mathbf{v}_{21}^B=\mathbf{0}\}\end{array}}

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\equiv I_{01}} ; Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\equiv I_{20}} , y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\equiv I_{21}} son las posiciones que ocupan los C.I.R. en el instante arbitrario considerado. En cuanto a las componentes de los vectores rotación instantánea, sólo podemos conocer a priori el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{01}} . De las fórmulas de Poisson se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{i}_0(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=\dot{\theta}(t)\!\ \mathbf{j}_0(t)=\vec{\omega}_{01}\times\mathbf{i}_0(t)\quad\Longleftrightarrow\quad \omega_{01}(t)=\dot{\theta}(t)=\omega\mathrm{,}\,\;\forall\, t}

Calculamos ahora las velocidades instantáneas del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} en cada uno de los movimientos relativos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l}\displaystyle\mathbf{v}_{01}^C=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}=\frac{R\!\ \omega}{\mathrm{sen}\,\theta}\ \mathbf{j}_0\mathrm{;}\quad \displaystyle\mathbf{v}_{20}^C=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{IC}=-\frac{R\!\ \omega_{20}}{\mathrm{cos}\,\theta}\ \mathbf{i}_0\\ \\ \displaystyle\mathbf{v}_{21}^C=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC}=-R\!\ \omega_{21}\!\ \mathbf{i}_1=-R\!\ \omega_{21}\!\ \big(\cos\theta\!\ \mathbf{i}_0-\mathrm{sen}\,\theta\!\ \mathbf{j}_0\big)\end{array}}

La ley de composición de velocidades instantáneas establece que...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_{21}^C=\mathbf{v}_{20}^C+\mathbf{v}_{01}^C\quad\Longleftrightarrow\;\left\{\begin{array}{l} \displaystyle R\!\ \omega_{21}\cos\theta=\frac{R\!\ \omega_{20}}{\cos\theta}\\ \\ \displaystyle R\!\ \omega_{21}\mathrm{sen}\,\theta=\frac{R\!\ \omega}{\mathrm{sen}\,\theta}\end{array}\right.}

Teniendo en cuenta que estas relaciones deben cumplirse en cada instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} , cuando el parámetro geométrico que describe la posición en dicho instante vale Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta (t)} , se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21} (t)=\frac{\omega}{\mathrm{sen}^2\theta(t)}\quad\Longrightarrow\quad \omega_{20} (t)=\frac{\omega}{\mathrm{tan}^2\theta(t)}}

Y sustityendo este último resultado en las expresiones de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_{20}^C} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}} , obtenemos la reducción cinemática del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}} en el centro del disco, y para cualquier instante de tiempo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\vec{\omega}_{20}(t)= \frac{\omega}{\mathrm{tan}^2\,\theta (t)}\!\ \mathbf{k}\mathrm{;}\,\;\, \mathbf{v}_{20}^C(t)=-R\!\ \omega\ \frac{\cos\theta(t)}{\mathrm{sen}^2\,\theta (t)}\!\ \mathbf{i}_0\right\}}

Estado cinemático del disco respecto de la manivela en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\pi/2}

Consideremos el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0} en que la manivela Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} está colocado perpendicularmente al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} sobre el que rueda sin deslizar el disco; es decir,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA\!\ \|\!\ OY_1\quad\Longleftrightarrow\quad \theta(t_0)=\frac{\pi}{2}}

En dicho instante, el estado cinemático del disco en su movimiento respecto de la manivela, está completamente determinado por la correspondiente reducción cinemática:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}\displaystyle\vec{\omega}_{20}(t_0)=\omega\ \frac{\cos(\pi/2)}{\mathrm{sen}\,(\pi/2)}\ \mathbf{k}=\mathbf{0}\\ \\ \displaystyle\mathbf{v}_{20}^C(t_0)=-R\!\ \omega\ \frac{\cos(\pi/2)}{\mathrm{sen}^2(\pi/2)}\ \mathbf{i}_0=\mathbf{0}\end{array}\right\}}    ⇒   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_{20}^P(t_0)=\mathbf{v}_{20}^C(t_0)+\vec{\omega}_{20}(t_0)\times\overrightarrow{IC}=\mathbf{0}\mathrm{,}\,\;\forall\,P}

Luego, en el intante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0} , el disco (sólido ``2") se halla en reposo respecto de la manivela Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} (sólido ``0"). Para determinar si se trata de una situación de reposo instantáneo, hay que comprobar si en un instante inmediatamente posterior a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0} alguno de los elementos de la reducción cinemática del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}} va a ser no nulo. Como sabemos, esto ocurrirá si las derivadas instantáneas de alguno de dichos elementos en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0} es también un vector no nulo. Y puesto que tenemos la ley horaria para el vector rotación instantánea en dicho movimiento, y también para la velocidad instantánea del centro del disco, podemos calcular cualquiera de sus derivadas temporales. Por ejemplo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{a}_{20}^C(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_{20}(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=R\!\ \omega^2\ \frac{1+\cos^2\theta(t)}{\mathrm{sen}^3\,\theta(t)}\ \mathbf{i}_0}    ⇒   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{a}_{20}^C(t_0)=R\!\ \omega^2\!\ \mathbf{i}_0\neq\mathbf{0}}

Por tanto, en el instante en que la manivela o barra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} forma un ángulo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi/2} con la dirección Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} , el disco se encuentra en reposo instantáneo respecto de aquélla.