Movimiento plano de disco, barra y cuadrado

Enunciado

El sistema de la figura está formado por un disco de radio $R$ (sólido “0”), que rueda sin deslizar sobre el eje fijo $OX_{1}$, desplazándose su centro $C$ con velocidad constante $v_{0}$, respecto del sistema de referencia fijo $OX_{1}Y_{1}$. Una barra de longitud $8R$ (sólido “2”), tiene un extremo articulado en $C$ y está obligada a pasar por el punto fijo $O$. El otro extremo de la barra ($A$) se encuentra siempre de una acanaladura practicada en el lado de un cuadrado (sólido “3”) que desliza sobre el eje $OX_{1}$.

1. Describa las reducciones cinemáticas de los movimientos en función de los datos del enunciado y de la variable geométrica $\theta$.
2. Para una posición arbitraria del sistema, dada por el ángulo $\theta$, determine gráfica o analíticamente -y de manera razonada-, las posiciones de los C.I.R. de todos los movimientos relativos en el sistema.
3. Obtenga las posiciones en las que el cuadrado se detiene (respecto del sólido fijo) y calcule el valor de la aceleración absoluta del cuadrado ($\mathbf {a} _{31}^{A}$) en dicha posición.
4. Calcule las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración absolutas del extremo $A$ de la barra cuando el sistema se halla en la posición dada por $\theta =\pi /2$.

Solución

Reducciones cinemáticas de todos los movimientos

El sistema mecánico bajo estudio consiste en cuatro sólidos rígidos (considerando como sólido “1” el sistema de referencia fijo $OX_{1}Y_{1}Z_{1}$) en movimiento relativo. El disco, la barra y el cuadrado (sólidos “0”, “2” y “3”, respectivamente), se mueven siempre contenidos en el plano fijo $OX_{1}Y_{1}$, por lo que éste va a ser el plano director de los movimientos planos absolutos $\{i1\}$ (con $i=0,2,3$), cuya dirección normal está definida por el vector unitario cartesiano $\mathbf {k} _{1}$. Pero además, los movimientos relativos $\{20\}$, $\{23\}$ y $\{30\}$, son también movimientos planos cuyos correspondientes planos directores están contenidos en el plano $OX_{1}Y_{1}$. De esta forma, las velocidades instantáneas de cualquier punto, en cualquiera de los movimientos posibles, van a ser siempre perpendiculares a la dirección del eje $OZ_{1}$; en consecuencia, todos los vectores rotación instantánea son paralelos a dicha dirección. Por tanto, se tendrá que,

$\qquad \mathbf {v} _{ij}^{P}(t)\ \perp \ \mathbf {k} _{1}\;\;\Longleftrightarrow \;\;{\vec {\omega }}_{ij}\ \|\ \mathbf {k} _{1}\mathrm {,} \qquad \forall \,P\mathrm {;} \quad \forall \,i,j=0,1,2,3$

Aunque no es estrictamente necesario, puede resultar útil definir sistemas de referencia ligados a cada uno de los sólidos del sistema. En el caso que nos ocupa, y con el fin de simplificar al máximo el análisis, tomaremos los ejes $Z$ de todos ellos perpendiculares al plano $OX_{1}Y_{1}$; es decir, paralelos a la dirección normal común a todos los planos directores:

$\mathbf {k} _{1}=\mathbf {k} _{0}=\mathbf {k} _{2}=\mathbf {k} _{3}=\mathbf {n} \;\;\Longrightarrow \;\;{\vec {\omega }}_{ij}=\omega _{ij}\mathbf {k} _{j}=\omega _{ij}\mathbf {n} \mathrm {,} \quad \forall \ \{ij\}$

Movimiento $\{01\}$

Consideremos el movimiento del disco “0” respecto del sólido fijo “1”. Asociaremos aquél con un sistema de referencia tal que el propio disco define el plano $CX_{0}Y_{0}$. De los datos indicados en el enunciado se desprende que el centro $C$ del disco realiza un movimiento rectilíneo uniforme de velocidad conocida $v_{0}$ y trayectoria paralela al eje $OX_{1}$. Concretamente, las ecuaciones de movimiento de este punto, expresada los ejes del sólido “1” son:

${\overrightarrow {OC}}=\mathbf {r} _{C}\rfloor _{{}_{1}}(t)=x_{C}(t)\mathbf {i} _{1}-R\mathbf {j} _{1}\mathrm {;} \quad \mathrm {tal\;\;que,} \quad \;{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{C}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}={\dot {x}}_{C}(t)\mathbf {i} _{1}=v_{0}\mathbf {i} _{1}=\mathbf {v} _{01}^{C}(t)\mathrm {,} \;\;\mathrm {cte.}$

Y como rueda sin deslizar sobre el eje $OX_{1}$, el punto $I$ del disco que, en un determinado instante, se encuentra en contacto con dicho eje tiene velocidad nula. Teniendo en cuenta que en dicho instante ${\overrightarrow {CI}}=R\mathbf {j} _{1}$, y aplicando el teorema de Chasles, obtenemos:

$\mathbf {0} =\mathbf {v} _{01}^{I}=\mathbf {v} _{01}^{C}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {CI}}=\left(v_{0}-R\omega _{01}\right)\mathbf {i} _{1}\;\;\Longrightarrow \;\;\omega _{01}={\frac {v_{0}}{R}}$

Obsérvese que, al realizar $C$ un movimiento rectilíneo uniforme, el resultado anterior es independiente del instante considerado. Por tanto, obtendremos la reducción cinemática del movimiento $\{01\}$ para cualquier instante de tiempo:

$\forall \,t\mathrm {,} \;\;\;\{01\}\equiv {\begin{cases}\displaystyle {\vec {\omega }}_{01}(t)={\frac {v_{0}}{R}}\mathbf {k} _{1}&{}\\\\\displaystyle \mathbf {v} _{01}^{C}(t)=v_{0}\mathbf {i} _{1}&{}\end{cases}}\;$

 

Movimiento $\{21\}$

Como sistema de referencia asociado al sólido “2” tomaremos el $CX_{2}Y_{2}Z_{2}$ de manera que $CX_{2}$ sea colineal con la barra $CA$. Así, se tendrá que $\theta (t)$ es el ángulo que van a formar los ejes $CX_{2}$ y $OX_{1}$ en el transcurso del movimiento $\{21\}$. Aplicando las fórmulas de Poisson se obtiene...

$\left.{\begin{array}{l}\mathbf {i} _{2}(t)=\mathrm {cos} \!\ \theta (t)\mathbf {i} _{1}+\mathrm {sen} \!\ \theta (t)\mathbf {j} _{1}\\\\\mathbf {j} _{2}(t)=-\mathrm {sen} \!\ \theta (t)\mathbf {i} _{1}+\mathrm {cos} \!\ \theta (t)\mathbf {j} _{1}\end{array}}\right\}\;\Longrightarrow \;{\frac {\mathrm {d} \mathbf {i} _{2}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}={\dot {\theta }}(t)\ \mathbf {j} _{2}(t)={\vec {\omega }}_{21}\times \mathbf {i} _{2}\;\;\Longrightarrow \;\;{\vec {\omega }}_{21}(t)={\dot {\theta }}(t)\mathbf {k} _{1}$

Además, el extremo $C$ de la barra coincide en todo momento con el centro del disco, de manera que $\quad \mathbf {v} _{21}^{C}(t)=\mathbf {v} _{01}^{C}(t)=v_{0}\mathbf {i} _{1}$.

Luego, para obtener la reducción cinemática del movimiento $\{21\}$ hemos de determinar la ley ${\dot {\theta }}(t)$. Esto podemos hacerlo por diferentes procedimientos. Por ejemplo, a partir de la geometría del sistema: como el pasador que hay situado en el punto $O$ del sólido fijo obliga a que la barra pase siempre por allí, la coordenada $x_{C}$ del punto $C$ deberá ser tal que en cada instante se verifque...

$\mathrm {tan} \!\ \theta (t)={\frac {|{\overrightarrow {CI}}|}{|{\overrightarrow {OI}}|}}=-{\frac {R}{x_{C}(t)}}\quad \longrightarrow \quad {\dot {x}}_{C}(t)={\frac {R\ {\dot {\theta }}(t)}{\mathrm {sen} ^{2}\theta (t)}}=v_{0}\quad \Longrightarrow \quad {\dot {\theta }}(t)={\frac {v_{0}}{R}}\ \mathrm {sen} ^{2}\theta (t)$

Este mismo resultado lo podemos obtener por mediante un procedimeinto puramente cinemático: además de conocer la velocidad del extremo $C$ de la barra, el pasador en $O$ obligará a la barra a moverse de manera que el punto de ésta que coincide con dicho punto geométrico tiene velocidad colineal con la barra; además, debe verficiarse el teorema de Chasles, de manera que,

$\mathbf {v} _{21}^{O}(t)=v(t)\mathbf {i} _{2}(t)=\mathbf {v} _{21}^{C}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CO}}\mathrm {;} \quad \;\mathrm {siendo} \quad {\overrightarrow {CO}}={\frac {R}{\mathrm {sen} \!\ \theta }}\ \mathbf {i} _{2}$

Proyectando sobre el eje $CY_{2}$ se tendrá:

$0=\mathbf {j} _{2}\cdot \mathbf {v} _{21}^{O}=\mathbf {j} _{2}\cdot \mathbf {v} _{21}^{C}+\mathbf {j} _{2}\cdot \left({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CO}}\right)\quad \longrightarrow \quad 0=-v_{0}\mathrm {sen} \!\ \theta \ +\ {\frac {R\ {\dot {\theta }}(t)}{\mathrm {sen} \!\ \theta }}\quad \Longrightarrow \quad {\dot {\theta }}(t)={\frac {v_{0}}{R}}\ \mathrm {sen} ^{2}\theta (t)$

Por tanto, la reducción cinemática instantánea del movimiento $\{21\}$ en el instante en que la barra y el eje $OX_{1}$ forman un ángulo $\theta$, es:

$\forall \ t\mathrm {,} \;\;\{21\}\equiv {\begin{cases}\displaystyle {\vec {\omega }}_{21}(t)={\frac {v_{0}}{R}}\ \mathrm {sen} ^{2}\theta (t)\mathbf {k} _{1}&{}\\\\\displaystyle \mathbf {v} _{21}^{C}(t)=v_{0}\mathbf {i} _{1}&{}\end{cases}}\;$

Movimiento $\{31\}$

En el enunciado se indica que el sólido “3” (cuadrado) se mueve de manera que uno de sus lados desliza en todo momento sobre el eje $OX_{1}$. Definamos los ejes $BX_{3}Y_{3}Z_{3}$ de manera que las direcciones $BX_{3}$ y $BY_{3}$ sean parelelas a $OX_{1}$ y $OY_{1}$ en todo instante, se tendrán entonces:

${\big \{}\mathbf {i} _{3}(t)=\mathbf {i} _{1}\mathrm {;} \;\ \mathbf {j} _{3}(t)=\mathbf {j} _{1}\mathrm {;} \;\ \mathbf {k} _{3}(t)=\mathbf {k} _{1}{\big \}}\quad \Longleftrightarrow \quad {\vec {\omega }}_{31}(t)=\mathbf {0} \mathrm {,} \;\;\;\forall \ t$

Es decir, el movimiento $\{31\}$ es una traslación permanente. Para caracterizarlo necesitamos, por tanto, conocer la velocidad de cualquier punto del cuadrado medida respecto del sistema de referencia fijo. Consideremos, por ejemplo, el vértice $B$ cuya posición en cada instante viene dada por la proyección del extremo $A$ de la barra. Es fácil, por tanto, determinar las ecuaciones horarias que describen la posición del punto $E$ en su movimiento respecto del sólido “1”, en función del parámetro geométrico variable $\theta (t)$:

$\left.{\begin{array}{r}{\overrightarrow {OB}}=\mathbf {r} _{B}(t)\mathrm {;} \;\,{\overrightarrow {OA}}=\mathbf {r} _{A}(t)\;\,\Rightarrow \;\mathbf {r} _{B}(t)={\big [}\mathbf {i} _{1}\cdot \mathbf {r} _{A}(t){\big ]}\cdot \mathbf {i} _{1}=|{\overrightarrow {OA}}|\mathrm {cos} \!\ \theta (t)\ \mathbf {i} _{1}\\\\\displaystyle |{\overrightarrow {OA}}|=8R-|{\overrightarrow {CO}}|=R\left(8-{\frac {1}{\mathrm {sen} \!\ \theta }}\right)\end{array}}\right\}\quad \Longrightarrow \quad \mathbf {r} _{B}(t)=R{\big [}8\ \mathrm {cos} \!\ \theta (t)-\mathrm {cot} \!\ \theta (t){\big ]}\ \mathbf {i} _{1}$

La derivada temporal de esta ecuación horaria, medida respecto del sistema de referencia fijo “1” es la velocidad instantánea del punto $B$ y, por consiguiente, la velocidad de cualquier otro punto del cuadrado “3” en su movimiento de traslación respecto del sólido “1”:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{B}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}=R\ {\dot {\theta }}(t)\ \left[-8\ \mathrm {sen} \!\ \theta (t)+{\frac {1}{\mathrm {sen} ^{2}\theta (t)}}\right]\ \mathbf {i} _{1}=\mathbf {v} _{31}^{B}(t)\mathrm {,}$

... y sustituyendo ${\dot {\theta }}(t)$...

$\forall \,t\mathrm {,} \;\;\;\{31\}\equiv {\begin{cases}\displaystyle {\vec {\omega }}_{31}(t)=\mathbf {0} &{}\\\\\displaystyle \mathbf {v} _{31}^{B}(t)=v_{0}{\big [}1-8\mathrm {sen} ^{3}\theta (t){\big ]}\ \mathbf {i} _{1}=\mathbf {v} _{31}^{P}(t)\mathrm {,} \quad \forall \,P&{}\end{cases}}\;$

También podríamos haber obtenido la velocidad de traslación del cuadrado mediante un procedimiento puramente cinemático. De la composición de velocidades tendríamos que, en cada instante, se ha de verificar...

$\mathbf {v} _{21}^{A}=\mathbf {v} _{23}^{A}+\mathbf {v} _{31}^{A}$

El extremo $A$ de la barra “2” siempre desliza sobre el lado $BD$ del cuadrado “3”, mientras que éste se traslada pararelo al eje $OX_{1}$; se tendrá, por tanto:

$\left.{\begin{array}{c}\mathbf {v} _{23}^{A}(t)\ \|\ \mathbf {j} _{3}=\mathbf {j} _{1}\perp \mathbf {i} _{1}\\\\\mathbf {v} _{31}^{A}(t)\ \|\ \mathbf {i} _{3}=\mathbf {i} _{1}\end{array}}\right\}\quad \Longrightarrow \quad \mathbf {v} _{31}^{A}(t)={\big [}\mathbf {i} _{1}\cdot \mathbf {v} _{21}^{A}(t){\big ]}\cdot \mathbf {i} _{1}=\mathbf {v} _{31}^{P}(t)\mathrm {,} \quad \forall \,P\mathrm {,} \quad \forall \,t$

Es decir, la velocidad de traslación del cuadrado “3” en su movimiento absoluto respecto del sistema de referencia fijo, coincide con la componente horizontal (en la dirección $OX_{1}$) de la velocidad del extremo $A$ de la barra “2”. Así que, calculando $\mathbf {v} _{21}^{A}(t)$ a partir de la reducción cinemática del movimiento $\{21\}$ y aplicando la expresión anterior, se obtiene el valor de $\mathbf {v} _{31}^{P}(t)$, para cualquier punto del cuadrado.

 

Una vez obtenidas las reducciones cinemáticas instantáneas de los movimientos que podemos denominar absolutos por estar referidos al sólido fijo “1”, aplicaremos las leyes de composición de movimientos relativos para obtener las del resto de movimientos. Recuérdese que estas leyes de composición tienen un carácter instantáneo. Sin embargo, como en las reducciones que hemos calculado las magnitudes cinemáticas están expresadas como funciones del tiempo, las reducciones que obtengamos por composición describirán los movimientos relativos en cualquier instante.

 

Movimiento $\{20\}$

Utilizando las reducciones cinemáticas de los movimientos $\{01\}$ y $\{21\}$,

$\left.{\begin{array}{c}{\vec {\omega }}_{20}(t)={\vec {\omega }}_{21}(t)+{\vec {\omega }}_{10}(t)={\vec {\omega }}_{21}(t)-{\vec {\omega }}_{01}(t)\\\\\mathbf {v} _{20}^{C}(t)=\mathbf {v} _{21}^{C}(t)+\mathbf {v} _{10}^{C}(t)=\mathbf {v} _{21}^{C}(t)-\mathbf {v} _{01}^{C}(t)\end{array}}\right\}$ ⇒  $\forall \ t\mathrm {,} \;\;\{20\}\equiv {\begin{cases}\displaystyle {\vec {\omega }}_{20}(t)={\frac {v_{0}}{R}}{\big [}\mathrm {sen} ^{2}\theta (t)-1{\big ]}\mathbf {k} _{1}=-{\frac {v_{0}}{R}}\ \mathrm {cos} ^{2}\theta (t)\ \mathbf {k} _{0}&{}\\\\\displaystyle \mathbf {v} _{20}^{C}(t)=\mathbf {0} &{}\end{cases}}\;$

Es decir, la barra “2” realiza un movimiento permanente de rotación respecto del disco “0”, girando en el plano director alrededor del punto $C$, que es extremo de la barra y centro del disco.

Movimiento $\{03\}$

Haciendo lo propio con las reducciones cinemáticas de los movimientos $\{01\}$ y $\{31\}$...

$\left.{\begin{array}{c}{\vec {\omega }}_{03}(t)={\vec {\omega }}_{01}(t)+{\vec {\omega }}_{13}(t)={\vec {\omega }}_{01}(t)-\overbrace {{\vec {\omega }}_{31}(t)} ^{=\mathbf {0} }={\vec {\omega }}_{01}(t)\\\\\mathbf {v} _{03}^{C}(t)=\mathbf {v} _{01}^{C}(t)+\mathbf {v} _{13}^{C}(t)=\mathbf {v} _{01}^{C}(t)-\mathbf {v} _{31}^{P}(t)\end{array}}\right\}$ ⇒  $\forall \ t\mathrm {,} \;\;\{03\}\equiv {\begin{cases}\displaystyle {\vec {\omega }}_{03}(t)={\frac {v_{0}}{R}}\ \mathbf {k} _{1}&{}\\\\\displaystyle \mathbf {v} _{03}^{C}(t)=8v_{0}\!\ \mathrm {sen} ^{3}\theta (t)\ \mathbf {i} _{3}&{}\end{cases}}\;$

Movimiento $\{23\}$

Y para describir el movimiento relativo de la barra respecto del cuadrado, utilizaremos las reducciones de los movimientos $\{21\}$ y $\{31\}$. La reducción del movimiento $\{23\}$ puede realizarse en cualquier punto; sin embargo, optaremos por reducir en el extremo $A$, ya que es el punto material de la barra que realiza un movimiento más simple: en todo instante se desplaza por el lado $BD$ del cuadrado:

${\begin{array}{c}{\vec {\omega }}_{23}(t)={\vec {\omega }}_{21}(t)+{\vec {\omega }}_{13}(t)={\vec {\omega }}_{21}(t)-\overbrace {{\vec {\omega }}_{31}(t)} ^{=\mathbf {0} }={\vec {\omega }}_{21}(t)\\\\\mathbf {v} _{23}^{A}(t)=\mathbf {v} _{21}^{A}(t)+\mathbf {v} _{13}^{A}(t)=\mathbf {v} _{21}^{A}(t)-\mathbf {v} _{31}^{P}(t)\end{array}}$

Calculemos la velocidad del extremo $A$ en su movimiento absoluto a partir de la reducción del movimiento $\{21\}$ y teniendo en cuenta que $\;{\overrightarrow {CA}}=8R\ \mathbf {i} _{2}(t)$:

$\mathbf {v} _{21}^{A}(t)=\mathbf {v} _{21}^{C}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CA}}=v_{0}\ \mathbf {i} _{1}+8R\ {\dot {\theta }}(t)\mathbf {j} _{2}(t)=v_{0}\ {\big [}1-8\mathrm {sen} ^{3}\theta (t){\big ]}\mathbf {i} _{1}+v_{0}\ \mathrm {sen} ^{2}\theta (t)\!\ \mathrm {cos} \!\ \theta (t)\mathbf {j} _{1}$

Por tanto, la reducción cinemática que describe el movimiento de la barra respecto del cuadrado es...

$\forall \ t\mathrm {,} \;\;\{23\}\equiv {\begin{cases}\displaystyle {\vec {\omega }}_{23}(t)={\frac {v_{0}}{R}}\ \mathrm {sen} ^{2}\theta (t)\ \mathbf {k} _{1}&{}\\\\\displaystyle \mathbf {v} _{23}^{A}(t)=v_{0}\!\ \mathrm {sen} ^{2}\theta (t)\!\ \mathrm {cos} \!\ \theta (t)\mathbf {j} _{3}&{}\end{cases}}\;$

Centros instantáneos de rotación

Conocida la reducción cinemática instantánea de un movimiento plano $\{ij\}$, la posición de su correspondiente centro intantáneo de rotación $I_{ij}$ respecto del punto de reducción queda determinada en cada instante por la expresión analítica...

$\{ij\}\equiv {\bigg \{}{\vec {\omega }}_{ij}\mathrm {;} \;\;\;\mathbf {v} _{ij}^{P}{\bigg \}}$ ⇒  ${\overrightarrow {PI}}_{ij}={\frac {{\vec {\omega }}_{ij}\times \mathbf {v} _{ij}^{P}}{|{\vec {\omega }}_{ij}|^{2}}}$

En el apartado anterior hemos obtenido las magnitudes cinemáticas que describen cada uno de los distintos movimientos (absolutos y relativos) que se distinguen en el sistema, expresándolas en términos de los datos conocidos y de la variable geométrica $\theta$. Por tanto, podemos determinar analíticamente las posiciones de cualquiera de los C.I.R. en cualquier instante o, lo que es lo mismo, para cualquier configuración geométrica del sistema mecánico bajo estudio. Por otra parte, como todos los movimientos se producen en planos directores superpuestos al $OX_{1}Y_{1}$, los C.I.R. de todos ellos se encuentran contenidos en dicho plano.

 

Pero veamos cómo se determinarían las posiciones de los C.I.R. mediante métodos gráficos; es decir, utilizando las propiedades geométricas de los campos de velocidades correspondientes a los diferentes movimientos planos. Como se sabe, con estos procedimientos no es necesario conocer de forma explícita las reducciones cinemáticas. De hecho, éstas pueden calcularse después de que los centros instantáneos de rotación han sido obtenidos gráficamente.

Hay dos movimientos en el sistema cuyos C.I.R. están determinados de manera inmediata. Se trata del $I_{20}$ y del $I_{01}$. El extremo $C$ de la barra “2” coincide en todo momento con el centro del disco $0$ por tanto dicho punto se halla en reposo permantente en el movimiento $\{20\}$. Por tanto, dicho punto es el centro permanente de rotación de dicho movimiento. Por otra parte, el disco “0” rueda sin deslizar sobre el eje $OX_{1}$, por lo que el punto $I$ del sólido “0” que se halla en contacto con dicho eje será el C.I.R. del movimiento $\{01\}$ en dicho instante:

$\forall \,t\mathrm {,} \;\;I_{20}=C\;\longleftrightarrow \;{\overrightarrow {CI}}_{20}=\mathbf {0}$    $I_{01}=I\mathrm {,} \;\;\;\mathrm {tal} \;\,\mathrm {que} \;\;\;{\overrightarrow {CI}}_{01}=R\mathbf {j} _{1}$

Aplicando el Teorema de los tres centros, tendremos que la recta $\Delta _{201}$ que en un determinado instante contiene a los C.I.R. $I_{20}$, $I_{01}$ e $I_{21}$ pasa por los puntos $C$ e $I$, por lo que su dirección viene dada por el unitario $\mathbf {j} _{1}$. Se tendrá, por tanto...

$I_{20}\mathrm {,} \;I_{01}\mathrm {,} \;I_{21}\in \Delta _{201}\|\mathbf {j} _{1}\quad \Longrightarrow \quad {\overrightarrow {CI}}_{21}=\lambda \ \mathbf {j} _{1}$

siendo $\lambda$ la distancia que separa dicho C.I.R. del centro del disco en un determinado instante. En general, el valor de $\lambda$ dependerá de la posición del sistema, lo cuál es equivalente a decir que será función del parámetro $\theta$. Para obtener $\lambda$ necesitamos otra propiedad geométrica del campo de velocidades: por ejemplo que, al estar la barra obligada a pasar por el punto $O$, la velocidad del punto material del sólido “2” que coincide con dicho punto geométrico debe ser colineal con la barra. Consecuentemente, el C.I.R. $I_{21}$ debe estar en la recta $\Delta _{O}$ que pasa por el punto $O$ y es perpendicular a la barra; es decir, $I_{21}$ debe estar a una cierta distancia $\mu$ (que también dependerá del valor del $\theta$), en la dirección marcada por el unitario $\mathbf {j} _{2}$:

$\mathbf {i} _{2}\ \|\ \mathbf {v} _{21}^{O}={\overrightarrow {OI}}_{21}\times {\vec {\omega }}_{21}\quad \Longrightarrow \quad {\begin{cases}O\mathrm {,} \;I_{21}\in \Delta _{O}\ \|\ \mathbf {j} _{2}&{}\\\\\mathbf {i} _{2}\perp {\overrightarrow {OI}}_{21}=\mu \ \mathbf {j} _{2}&{}\end{cases}}$

Como el C.I.R. de un movimiento plano es un punto único en cada instante, podemos obtener la posición de $I_{21}$ exigiendo que se verifique la relación vectorial,

${\overrightarrow {OI}}_{21}={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CI}}_{21}$

Ésta proporcionará sendas ecuaciones albegraicas (una por cada componente cartesiana) expresadas en términos de los datos del problema y de la variable $\theta$, y cuyas incógnitas serán las distancias $\lambda$ y $\mu$ que separan a $I_{21}$ de los puntos $C$ y $O$, respectivamente.

Pero también podemos optar por la resolución puramente geométrica: según los resultados anterior, el C.I.R. $I_{21}$ debe ser el punto de interscción de las rectas $\Delta _{201}$ y $\Delta _{O}$, de manera que los puntos $COI_{21}$ son los vértices de un triángulo, rectángulo en el punto $O$; además, el ángulo en el vértice $I_{21}$ es el que forman las direcciones $\mathbf {j} _{2}$ y $\mathbf {j} _{1}$, es decir, $\theta$. Por tanto, se deberá cumplir:

$\Delta _{201}\bigcap \Delta _{O}=I_{21}$   ⇒   $\mathrm {sen} \!\ \theta ={\frac {|{\overrightarrow {CO}}|}{|{\overrightarrow {CI}}_{21}|}}={\frac {R/\mathrm {sen} \!\ \theta }{\lambda }}$    ⇒   ${\overrightarrow {CI}}_{21}=\lambda (\theta )\ \mathbf {j} _{1}={\frac {R}{\mathrm {sen} ^{2}\theta }}\ \mathbf {j} _{1}$

Como vimos en el apartado anterior, el movimiento $\{31\}$ es una traslación permanente paralela al eje $OX_{1}$. Por tanto, el C.I.R. $I_{31}$ están en el infinito, en cualquier recta contenida en el plano director y perpendicular a las velocidades $\mathbf {v} _{31}^{P}$; es decir, en toda recta cuya dirección viene dada por el unitario $\mathbf {j} _{1}$. Si aplicamos de nuevo el teorema de los tres centros, tendremos que los centros instantáneos de rotación $I_{21}$, $I_{31}$ (en el infinito) e $I_{23}$ estarán alineados en la recta $\Delta _{231}$ que debe pasar por el punto $I_{21}$ y se extiende hasta el infinito en la dirección paralela al eje $OY_{1}$. Obsérvese que una recta con estas propiedades coincide con la $\Delta _{201}$:

$I_{21}\mathrm {,} \;I_{31}\mathrm {,} \;I_{23}\in \Delta _{231}\ \|\ \mathbf {j} _{1}\quad \Longrightarrow \quad \Delta _{231}=\Delta _{201}\quad \Longrightarrow \quad {\overrightarrow {CI}}_{23}=\nu (\theta )\ \mathbf {j} _{1}$

 

Para determinar la distancia $\nu (\theta )$ debemos utilizar una nueva propiedad del campo de velocidades del movimiento $\{23\}$: el C.I.R. $I_{23}$ debe encontrarse sobre la recta $\Delta _{A}$ que pasa por el extremo $A$ y tiene dirección perpendicular a la velocidad $\mathbf {v} _{23}^{A}$ del movimiento relativo de la barra “2” respecto del cuadrado “3”. La posición de $I_{23}$ se corresponde con el punto de intersección de estas dos rectas:

$\left.{\begin{array}{l}I_{23}\ \in \Delta _{231}\ \|\ \mathbf {j} _{1}\\\\I_{23}\ \in \Delta _{A}\ \|\ \mathbf {i} _{1}\end{array}}\right\}\quad \Longrightarrow \quad \Delta _{231}\bigcap \Delta _{A}=I_{23}\quad \Longrightarrow \quad \mathrm {sen} \!\ \theta ={\frac {|{\overrightarrow {CI}}_{23}|}{|{\overrightarrow {CA}}|}}={\frac {\nu }{8R}}$    ⇒   ${\overrightarrow {CI}}_{23}=\nu (\theta )\ \mathbf {j} _{1}=8R\ \mathrm {sen} \!\ \theta \ \mathbf {j} _{1}$

Aún queda por determinar el C.I.R. del movimiento relativo $\{03\}$. Aplicando de nuevo el teorema de los tres centros tenemos que $I_{03}$ debe estar alineado con $I_{01}$ e $I_{31}$; es decir, debe estar en la recta $\Delta _{031}$ que pasa por el punto $I_{01}=I$ y tiene la dirección del vector unitario cartesiano $\mathbf {j} _{1}$. Pero también, $I_{03}$ debe pertenecer a la recta $\Delta _{032}$, definida por los puntos $I_{20}=C$ e $I_{23}$ No obstante, no podemos determinar el C.I.R. $I_{23}$ como el punto de intersección de estas rectas ya que ¡ambas son el mismo conjunto de puntos! De hecho, puede comprobarse que...

$\Delta _{031}=\Delta _{032}=\Delta _{231}=\Delta _{201}$

Tampoco podemos determinarlo a partir de las velocidades de algún punto, pues las que pueden determinarse fácilmente son...

$\mathbf {v} _{03}^{I}=\overbrace {\mathbf {v} _{01}^{I}} ^{=\mathbf {0} }-\mathbf {v} _{31}^{I}=v_{I}\ \mathbf {i} _{1},$  ... o bien,...   $\mathbf {v} _{03}^{C}=\mathbf {v} _{01}^{C}-\mathbf {v} _{31}^{C}=v_{C}\ \mathbf {i} _{1}$

por lo que el $I_{03}$ debe estar en la recta que pasa por $I$ o $C$, y es perpendicular al eje $OX_{1}$; es decir, la misma que hemos determinado antes. En consecuencia, la única opción que queda es determinar analíticamente la posición de este C.I.R. a partir de la reducción cinemética correspondiente:

${\overrightarrow {CI}}_{03}={\frac {{\vec {\omega }}_{03}\times \mathbf {v} _{03}^{C}}{|{\vec {\omega }}_{03}|^{2}}}={\frac {R^{2}}{v_{0}^{2}}}\ \left({\frac {v_{0}}{R}}\ \mathbf {k} _{1}\right)\times {\big (}8v_{0}\!\ \mathrm {sen} ^{3}\theta \ \mathbf {i} _{1}{\big )}$ ⇒  ${\overrightarrow {CI}}_{03}=8R\!\ \mathrm {sen} ^{3}\theta \ \mathbf {j} _{1}$

 

Obsérvese que los seis C.I.R. están alineados en la misma recta que pasa por los puntos $I$ y $C$ y es paralela al eje $OX_{1}$.

Posiciones de reposo del cuadrado

Las posiciones de reposo del sólido “3” las determinaremos a partir de la reducción cinemática del movimiento $\{31\}$, cuyas magnitudes cinemáticas están expresadas en términos de la variable geométrica que describe la posición del sistema en cada instante de tiempo, $\theta (t)$. Como este movimiento absoluto es una traslación permanente (${\vec {\omega }}_{31}=\mathbf {0} \mathrm {,} \;\;\forall \,\theta (t)$), la condicón de reposo instantáneo consiste en exigir que la velocidad absoluta de cualquier punto del cuadrado sea nula:

$\mathbf {v} _{31}^{P}(\theta _{0})=v_{0}{\big [}1-8\mathrm {sen} ^{3}\theta _{0}{\big ]}\ \mathbf {i} _{1}=\mathbf {0} \qquad \Rightarrow \qquad$$\mathrm {sen} \!\ \theta _{0}={\frac {1}{2}}\;\;\equiv \;\;\ \theta _{0}={\frac {\pi }{6}}\mathrm {;} \;{\frac {5\pi }{6}}$

Es decir, cuando la barra forma un ángulo de $\pi /6$ o de $5\pi /6$ con el eje fijo $OX_{1}$, el cuadrado “3 ” se encuentra en reposo. Para comprobar que se trata de un reposo instantáno calcularemos la aceleración de cualquier punto del cuadrado en el instante en que el parámetro $\theta$ presenta esos valores. Y puesto que tenemos la expresión de la velocidad absoluta del cuadrado como una función de la ley horaria $\theta (t)$, derivaremos con respecto al tiempo para obtener la expresión de dicha aceleración en cualquier instante de tiempo:

$\mathbf {a} _{31}^{P}(t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{31}^{P}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}={\dot {\theta }}(t)\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{31}^{P}}{\mathrm {d} \theta }}{\bigg \rfloor }_{1}=-24v_{0}\ {\dot {\theta }}(t)\!\ \mathrm {sen} ^{2}\theta (t)\!\ \mathrm {cos} \!\ \theta (t)\ \mathbf {i} _{1}\mathrm {;} \;\;\;\forall \,P$

Sustituyendo ${\dot {\theta }}(t)$ en la anterior expresión, se obtiene...

$\mathbf {a} _{31}^{P}(\theta )=-24\ {\frac {v_{0}^{2}}{R}}\ \mathrm {sen} ^{4}\theta \!\ \mathrm {cos} \!\ \theta \ \mathbf {i} _{1}\qquad \Rightarrow \qquad$$\mathbf {a} _{31}^{P}\left({\frac {\pi }{6}}\right)=-{\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\ {\frac {v_{0}^{2}}{R}}\ \mathbf {i} _{1}=-\mathbf {a} _{31}^{P}\left({\frac {5\pi }{6}}\right)$

Aceleración del extremo A de la barra

Consideremos ahora el movimiento absoluto de la barra “2” respecto del sólido fijo “1”. En el primer apartado se realizó la reducción cinemática del movimiento $\{21\}$ en el extremo $C$, luego para obtener la aceleración del otro extremo aplicamos la expresión general del campo de aceleraciones para el movimiento plano de una sólido rígido:

$\mathbf {a} _{21}^{A}(t)=\mathbf {a} _{21}^{C}+{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {CA}}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\big (}{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CA}}{\big )}=\mathbf {a} _{21}^{C}(t)+{\vec {\alpha }}_{21}(t)\times {\overrightarrow {CA}}-|{\vec {\omega }}_{21}(t)|^{2}\!\ {\overrightarrow {CA}}$

Para obtener los términos $\mathbf {a} _{21}^{C}(t)$ y ${\vec {\alpha }}_{21}(t)$ derivamos con respecto al tiempo las leyes horarias de las magnitudes cinemáticas expresadas en la reducción cinemática del movimiento $\{21\}$. Como el extremo $C$ realiza un movimiento rectilíneo uniforme paralelo al eje $OX_{1}$, su aceleración es nula; por el contrario, el vector rotación de este movimiento depende de la posición de la barra y, por consiguiente del tiempo:

$\mathbf {a} _{21}^{C}(t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{21}^{C}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}=\mathbf {0} \mathrm {,} \;\;\forall \,\theta (t)\mathrm {;} \qquad \qquad {\vec {\alpha }}_{21}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}={\dot {\theta }}(t)\ {\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} \theta }}{\bigg \rfloor }_{1}=-{\frac {2v_{0}^{2}}{R^{2}}}\ \mathrm {sen} ^{3}\theta (t)\!\ \mathrm {cos} \!\ \theta (t)\ \mathbf {k} _{1}={\vec {\alpha }}_{21}[\theta (t)]$

Utilizando además la reducción del movimiento $\{21\}$, obtenemos los valores de las magntides geométricas y cinemáticas en la posición dada por $\theta =\pi /2$ los valores de las magnitudes cinemáticas del movimiento de la barra son:

$\mathbf {a} _{21}^{C}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\mathbf {0} \mathrm {;} \qquad {\vec {\alpha }}_{21}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\mathbf {0} \mathrm {;} \qquad {\vec {\omega }}_{21}\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {v_{0}}{R}}\ \mathbf {k} _{1}\mathrm {;} \qquad {\overrightarrow {CA}}\rfloor _{{}_{\pi /2}}=8R\ \mathbf {j} _{1}$  

Sustituyendo en la expresión de la aceleración del punto $A$, se obtiene...

$\mathbf {a} _{21}^{A}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\underbrace {\mathbf {a} _{21}^{C}} _{=\mathbf {0} }+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {CA}}} _{=\mathbf {0} }-\left[|{\vec {\omega }}_{21}(t)|^{2}\!\ {\overrightarrow {CA}}\right]_{\pi /2}=-{\frac {8v_{0}^{2}}{R}}\ \mathbf {j} _{1}$

Pero en el enunciado nos preguntan por las componentes intrísecas de esta aceleración. Es decir, por las proyecciones de dicha magnitud vectorial, en el instante considerado, sobre las direcciones tangencial y normal a la trayectoria seguida por dicho punto:

$\mathbf {a} _{21}^{A}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=a_{T}\mathbf {T} \rfloor _{{}_{\pi /2}}+a_{N}\mathbf {N} \rfloor _{{}_{\pi /2}}$

Luego, sólo queda determinar cuáles son los vectores tangente y normal a la trayectoria en el instante en que la barra se halla alineada con el eje $OY_{1}$ ($\theta 0\pi /2$), y para ello nos fijamos en la velocidad absoluta del punto $A$ en dicho instante. Según calculamos en el primer apartado...

$\mathbf {v} _{21}^{A}(\theta )=v_{0}\ {\big (}1-8\mathrm {sen} ^{3}\theta {\big )}\mathbf {i} _{1}+v_{0}\ \mathrm {sen} ^{2}\theta \!\ \mathrm {cos} \!\ \theta \mathbf {j} _{1}\quad \Longrightarrow \quad \mathbf {v} _{21}^{A}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-7v_{0}\ \mathbf {i} _{1}$ ⇒ $\mathbf {T} \rfloor _{{}_{\pi /2}}=-\mathbf {i} _{1}$

Si comparamos con el valor obtenido para la aceleración de $A$, comprobamos que ésta no tiene componente tangencial en la posición indicada, por lo que toda ella deberá ser aceleración normal. Por otra parte, como la componente $a_{N}$ no puede ser negativa, deducimos que el vector normal a la trayectoria de $A$ para $\theta =\pi /2$ coincide con $-\mathbf {j} _{1}$:

$\mathbf {a} _{T}^{A}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=a_{T}\mathbf {T} \rfloor _{{}_{\pi /2}}=\mathbf {0} \mathrm {;} \qquad \;\mathbf {a} _{N}^{A}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=a_{N}\mathbf {T} \rfloor _{{}_{\pi /2}}=-{\frac {8v_{0}^{2}}{R}}\ \mathbf {j} _{1}$ ⇒ $\mathbf {N} \rfloor _{{}_{\pi /2}}=-\mathbf {j} _{1}$