Movimiento plano (G.I.T.I.)

Definición de movimiento plano

De entre los posibles movimientos de un sólido rígido, se dice que un sólido “2” realiza un movimiento plano respecto a un sólido “1” si los desplazamientos de todos sus puntos son permanentemente paralelos a un plano fijo en el sistema de referencia ligado al sólido 1. Este plano se denomina plano director, $\Pi _{D}$ del movimiento plano.

Así, por ejemplo, el movimiento que realiza el chasis de un coche, respecto a la calzada por la que éste circula, es un movimiento plano.

También lo es el movimiento de una de sus ruedas cuando el coche avanza en línea recta. Sin embargo, en ese caso, el plano director no es el plano de la calzada, sino uno perpendicular a ella.

Cualquier plano paralelo a un plano director del movimiento {21} funciona también como plano director de dicho movimiento, por lo que ese término designa realmente a toda la familia de planos paralelos, caracterizados por una perpendicular común. Esta dirección normal a la familia de planos directores puede tomarse siempre como eje OZ (o cualquier otra dirección fija que nos convenga) y el vector unitario normal a los planos directores puede ser denotado como ${\vec {k}}$

Matemáticamente tenemos que, para todo punto del sólido debe cumplirse en todo instante que

${\vec {v}}_{21}^{P}\cdot {\vec {k}}=0\qquad \forall t,\ \forall P$

Propiedades del movimiento plano

Un movimiento plano de un sólido satisface, entre otras, las siguientes propiedades:

1) Las velocidades de todos los puntos del sólidos se encuentran contenidas en planos paralelos

Es la condición definitoria del movimiento plano.

2) Las aceleraciones de todos los puntos son siempre paralelas al plano director

Puesto que la identidad anterior se cumple en cada instante, podemos derivar en ella respecto al tiempo

$0=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {v}}_{21}^{P}\cdot {\vec {k}})\right|_{1}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {v}}_{21}^{P})\right|_{1}\cdot {\vec {k}}={\vec {a}}_{21}^{P}\cdot {\vec {k}}$

3) La trayectoria de cada uno de los puntos es plana

Puesto que la velocidad y la aceleración de cada punto son tangentes al plano director, el vector binormal de cada trayectoria es siempre perpendicular al plano y por tanto constante.

4) La velocidad angular del movimiento {21} es perpendicular al plano director (o nula)

Por tratarse de un movimiento rígido, para cualesquiera dos puntos del sólido 2 se cumple

${\vec {v}}_{21}^{Q}={\vec {v}}_{21}^{P}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {PQ}}$

Multiplicando aquí escalarmente por el vector normal al plano director

${\vec {k}}\cdot {\vec {v}}_{21}^{Q}={\vec {k}}\cdot {\vec {v}}_{21}^{P}+{\vec {k}}\cdot ({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {PQ}})$ ⇒  $0=0+({\vec {k}}\times {\vec {\omega }}_{21})\cdot {\overrightarrow {PQ}}$

Puesto que esta identidad debe cumplirse para cualquier par de puntos, la única posibilidad es que

${\vec {k}}\times {\vec {\omega }}_{21}={\vec {0}}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}{\vec {\omega }}_{21}={\vec {0}}&\\{\mbox{ o }}&\\{\vec {\omega }}_{21}\parallel {\vec {k}}&\end{cases}}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}{\vec {k}}$

Esto permite tratar a la velocidad angular como una cantidad escalar, puesto que su dirección es conocida. El sentido de la velocidad angular lo da el signo de la cantidad escalar $\omega _{21}$.

5) La aceleración angular del movimiento {21} es perpendicular al plano director

Es consecuencia inmediata de que la velocidad angular posea dirección constante

${\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\frac {\mathrm {d} \omega _{21}}{\mathrm {d} t}}{\vec {k}}=\alpha _{21}{\vec {k}}$

6) Son compatibles con un movimiento plano los movimientos instantáneos {21} de reposo, traslación o rotación, pero no el helicoidal

Si ${\vec {\omega }}_{21}={\vec {0}}$ entonces el movimiento {21} es un estado de reposo o es una traslación.

Si la velocidad angular no es nula, la velocidad de deslizamiento vale 0

$v_{d}={\frac {{\vec {v}}_{21}^{P}\cdot {\vec {\omega }}_{21}}{|{\vec {\omega }}_{21}|}}={\vec {v}}_{21}^{P}\cdot {\vec {k}}=0$

y por tanto en ese caso el movimiento es una rotación.

Cabe señalar que el movimiento plano más frecuente es una sucesión de rotaciones instantáneas, a veces con algún instante aislado de traslación o reposo. No obstante, son también destacables por su importancia los siguientes dos casos particulares de movimiento plano: la traslación permanente paralela a un plano fijo, y la rotación alrededor de un eje fijo.

7) Las distribuciones de velocidades en planos paralelos al plano director son idénticas entre sí

Si el movimiento es una traslación, evidentemente las distribuciones son idénticas, ya que todos los puntos tienen la misma velocidad.

Si se trata de una rotación, el eje instantáneo de rotación es perpendicular al plano director, y por tanto, las distribuciones de las velocidades en planos perpendiculares a este eje (y paralelos al plano director) son idénticas.

Esto quiere decir que para estudiar el movimiento plano basta con considerar lo que ocurre en uno de sus planos paralelos al plano director. Esto no implica que el sólido sea cilíndrico (esto es, que el sólido real no tiene por qué tener la misma forma en todos los planos paralelos al director).

El campo de velocidades se puede expresar en la forma

${\vec {v}}_{21}^{P}={\vec {v}}_{21}^{O}+\omega _{21}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {OP}}$

donde O y P son los dos puntos del mismo plano director. Gráficamente, el vector ${\vec {k}}\times {\overrightarrow {OP}}$ representa un giro del vector ${\overrightarrow {OP}}$ un ángulo de $\pi /2$ en sentido antihorario dentro del plano director.

8) Las distribuciones de aceleraciones en planos paralelos al plano director son idénticas entre sí

Si tenemos puntos P y Q situados sobre la misma recta normal al plano director,

${\overrightarrow {PQ}}=b{\vec {k}}\qquad {\vec {a}}_{21}^{Q}={\vec {a}}_{21}^{P}+\overbrace {{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {PQ}}} ^{={\vec {0}}}+{\vec {\omega }}_{21}\times (\overbrace {{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {PQ}}} ^{={\vec {0}}})={\vec {a}}_{21}^{P}$

El campo de aceleraciones puede simplificarse en el caso del movimiento plano a la expresión

${\vec {a}}_{21}^{P}={\vec {a}}_{21}^{O}+\alpha _{21}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {OP}}+\omega _{21}^{2}{\vec {k}}\times ({\vec {k}}\times {\overrightarrow {OP}})$

siendo O y P dos puntos del mismo plano. El doble producto vectorial del segundo miembro corresponde, gráficamente, a una doble rotación de $\pi /2$, esto es

${\vec {k}}\times ({\vec {k}}\times {\overrightarrow {OP}})=-{\overrightarrow {OP}}$

lo que reduce la expresión del campo de aceleraciones a

${\vec {a}}_{21}^{P}={\vec {a}}_{21}^{O}+\alpha _{21}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {OP}}-\omega _{21}^{2}{\overrightarrow {OP}}$

9) Un movimiento plano tiene tres grados de libertad

Un movimiento rígido general tiene 6 grados de libertad, especificados por las tres componentes de la velocidad angular y las tres componentes de la velocidad de un punto. En un movimiento plano, la velocidad angular tiene una sola componente que puede variar, la normal al plano, y la velocidad de un punto tiene dos, tangentes al mismo plano

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}{\vec {k}}$    ${\vec {v}}_{21}^{O}=v_{x}^{O}{\vec {\imath }}+v_{y}^{O}{\vec {\jmath }}$

Las especificación de esos 3 valores determina completamente el movimiento del sólido, que por tanto tiene 3 grados de libertad. En términos de variables, un movimiento plano queda descrito por la evolución temporal de dos coordenadas de un punto y del ángulo que forman los ejes de los triedros “2” y “1”.

Si $\theta$ es el ángulo que forma en cada instante el eje $OX_{2}$ con el $OX_{1}$ (medido desde el $OX_{1}$ al $OX_{2}$ en sentido antihorario), la velocidad angular y la aceleración angular instantáneas vienen dadas por

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}{\vec {k}}$    ${\vec {\alpha }}_{21}={\ddot {\theta }}{\vec {k}}$

Centro instantáneo de rotación (C.I.R.)

Definición

En el caso de que el movimiento {21} consista en una rotación, se define el centro instantáneo de rotación (CIR) del movimiento plano {21}, $I_{21}$, como el punto de intersección del eje instantáneo de rotación con el plano director de dicho movimiento.

Hay que destacar que, en general, el CIR representa un punto material del sólido “2” diferente en cada instante. Lo mismo ocurre con el sólido “1”: el CIR $I_{21}$ coincide con un punto material diferente en cada instante.

Consideremos, por ejemplo, el caso de un disco “2” que rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal “1”. Es éste un movimiento plano, siendo el plano director uno normal a la superficie horizontal y paralelo a la superficie del disco. El EIR del movimiento {21} es una recta tangente al plano horizontal y que pasa por el punto de contacto del disco con el suelo. El CIR $I_{21}$ en cada instante será el punto de contacto del disco con el suelo. Sin embargo, no hay ningún átomo del disco ni del suelo que coincida en todo momento con el CIR, sino que es uno diferente en cada instante.

En el caso de un movimiento de traslación, el centro instantáneo de rotación no corresponde a ningún punto del espacio, ya que no hay eje instantáneo de rotación. No obstante, puede considerarse un movimiento de traslación como un límite de movimientos de rotación con radios cada vez más grandes. Definiendo el CIR para un movimiento de traslación según este criterio, se encontraría en un punto del infinito, en la dirección dada por la perpendicular a la velocidad instantánea de traslación.

Propiedades

La velocidad del punto del sólido que coincide con el CIR es nula

Es consecuencia de que el CIR esté en el eje instantáneo de rotación.

${\vec {v}}_{21}^{I_{21}}={\vec {0}}$

Esto no implica que la aceleración del punto que coincide con el CIR sea nula. Puesto que $I_{21}$ corresponde a un punto material distinto en cada instante, el valor de su velocidad no puede derivarse para obtener la aceleración. Podremos obtener, eso sí, la aceleración del punto material correspondiente empleando la expresión general del campo de aceleraciones. Así, para el caso de una rueda, la aceleración del punto de contacto con el suelo es radial y dirigida hacia el centro del disco.

La velocidad del propio CIR no es nula

El CIR no pertence al sólido, es decir, no se mueve con él. En instantes distintos coincide con puntos diferentes del sólido. La velocidad del propio CIR respecto al sistema fijo se llama velocidad de sucesión.

En el ejemplo de la animación del disco rodando sin deslizar, la trayectoria del CIR respecto del suelo es la recta roja horizontal que forman los puntos del disco que están en contacto con el suelo en cada instante. Como se ve en la animación, esa línea roja avanza hacia la derecha. Ese avance corresponde a la velocidad de sucesión.

La posición del CIR del movimiento {12} coincide con la del {21}

Por la fórmula de composición de velocidades

${\vec {v}}_{12}^{I_{21}}=-{\vec {v}}_{21}^{I_{21}}={\vec {0}}$ ⇒ $I_{21}=I_{12}\,$

Por ello, se puede hablar indistintamente del CIR del movimiento {21} o del {12} sin importar el orden en que se enumeran los dos sólidos.

La distribución de velocidades posee simetría rotacional alrededor del CIR

De nuevo, es consecuencia de que se encuentre en el EIR:

Determinación del CIR

Procedimiento analítico

En el caso de una rotación, la posición del CIR de un movimiento puede hallarse analíticamente particularizando la fórmula de cálculo del EIRMD. Si A es un punto del plano director, con velocidad ${\vec {v}}_{21}^{A}$, y ${\vec {\omega }}_{21}$ es la velocidad angular del movimiento, la posición relativa del CIR es

${\overrightarrow {AI}}_{21}={\frac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{A}}{\omega _{21}^{2}}}={\frac {{\vec {k}}\times {\vec {v}}_{21}^{A}}{\omega _{21}}}$

Vemos que efectivamente, cuando $\omega _{21}\to 0$ y el movimiento se reduce a una traslación, la posición del CIR se va al infinito según una dirección perpendicular a la velocidad de traslación.

Si no se conoce la velocidad angular, sino la velocidad de dos puntos A y B del mismo plano director, puede hallarse la velocidad angular a partir de la relación general

${\vec {v}}_{21}^{B}-{\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}=\omega _{21}({\vec {k}}\times {\overrightarrow {AB}})$

y de aquí resulta, proyectando y despejando

$\omega _{21}={\frac {\left({\overrightarrow {AB}}\times ({\vec {v}}_{21}^{B}-{\vec {v}}_{21}^{A})\right)\cdot {\vec {k}}}{|{\overrightarrow {AB}}|^{2}}}$

Sustituyendo en la expresión de arriba obtenemos la posición relativa del CIR respecto al punto A.

Procedimiento geométrico o gráfico

La posición del CIR también puede hallarse de forma sencilla geométricamente (teniendo el procedimiento geométrico su correspondiente versión analítica).

Suponemos que conocemos las velocidades de dos puntos del plano director, A y B. Clasificamos entonces el movimiento. Será una traslación si ambas velocidades son iguales y una rotación si son diferentes.

Caso de una traslación

Tomamos un punto cualquiera A, y trazamos la recta que pasa por A y es perpendicular a la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{A}$. El CIR $I_{21}$ se encontrará en el infinito según la dirección de esta recta (equivalentemente en cualquiera de sus dos “extremos”).

Caso de una rotación con ${\vec {v}}_{21}^{A}$ y ${\vec {v}}_{21}^{B}$ no paralelas

El CIR $I_{21}$ se encuentra en la intersección de la recta que pasa por A y es perpendicular a ${\vec {v}}_{21}^{A}$ con la recta que pasa por B y es perpendicular a ${\vec {v}}_{21}^{B}$.

Caso de una rotación con ${\vec {v}}_{21}^{A}$ y ${\vec {v}}_{21}^{B}$ paralelas

En ese caso el CIR se encuentra en la recta que une los puntos A y B. Para hallar la posición sobre esta recta, observamos que la velocidad de diferentes puntos en una rotación es proporcional a la distancia al eje. Por tanto si sobre la gráfica trazamos con la misma escala la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{A}$ con origen en A, y la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{B}$ con origen en B, y trazamos la recta que pasa por los extremos de estos dos vectores, el punto donde corta a la recta AB es el CIR $I_{21}$.

Composición de movimientos planos

Supongamos que tenemos tres sólidos “1”, “2” y “0” tales que los movimientos {20} y {01} son movimientos planos sobre el mismo plano director (o planos paralelos). En ese caso: La composición de dos movimientos planos paralelos entre sí es otro movimiento plano. Para todo punto P se verifica

${\vec {v}}_{21}^{P}\cdot {\vec {B}}={\vec {v}}_{20}^{P}\cdot {\vec {B}}+{\vec {v}}_{01}^{P}\cdot {\vec {B}}=0+0=0$

En este caso, la fórmula de composición de velocidades angulares se reduce a una suma de cantidades escalares

${\vec {\omega }}_{ij}=\omega _{ij}{\vec {k}}\qquad \Rightarrow \qquad \omega _{21}=\omega _{20}+\omega _{01}$

y lo mismo ocurre para la composición de aceleraciones angulares

${\vec {\alpha }}_{ij}=\alpha _{ij}{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+\overbrace {{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}} ^{={\vec {0}}}\qquad \Rightarrow \qquad \alpha _{21}=\alpha _{20}+\alpha _{01}$

Por su parte, la composición de velocidades y aceleraciones se convierte en suma de vectores en el plano, que en muchas ocasiones puede realizarse gráficamente. Así, para la composición de aceleraciones tenemos

${\vec {a}}_{21}^{P}={\vec {a}}_{20}^{P}+{\vec {a}}_{01}^{P}+2\omega _{01}{\vec {k}}\times {\vec {v}}_{20}^{P}$

Gráficamente, el resultado del producto vectorial ${\vec {k}}\times {\vec {v}}_{20}^{P}$ corresponde a girar el vector ${\vec {v}}_{20}^{P}$ un ángulo de $\pi /2$ en sentido antihorario.

Teorema de los tres centros

En un movimiento plano de tres sólidos en el que los tres movimientos relativos son rotaciones existen tres centros instantáneos de rotación, $I_{21}$, $I_{20}$ e $I_{01}$. En general se verifica:

Teorema de los tres centros o de Aronhold-Kennedy

Los tres centros instantáneos de rotación $I_{21}$, $I_{20}$ e $I_{01}$ están alineados.

Para demostrar el teorema aplicamos la fórmula de composición de velocidades al CIR $I_{21}$. Tenemos que

${\vec {0}}={\vec {v}}_{21}^{I_{21}}={\vec {v}}_{20}^{I_{21}}+{\vec {v}}_{01}^{I_{21}}$

Las velocidades relativa y de arrastre de este punto valen

${\vec {v}}_{20}^{I_{21}}={\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {I_{20}I_{21}}}=\omega _{20}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {I_{20}I_{21}}}$    ${\vec {v}}_{01}^{I_{21}}={\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {I_{01}I_{21}}}=\omega _{01}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {I_{01}I_{21}}}$

Sustituyendo en la velocidad absoluta queda

${\vec {0}}={\vec {k}}\times (\omega _{20}{\overrightarrow {I_{20}I_{21}}}+\omega _{01}{\overrightarrow {I_{01}I_{21}}})$

Dado que los dos vectores que se multiplican no pueden ser paralelos esto implica que

$\omega _{20}{\overrightarrow {I_{20}I_{21}}}+\omega _{01}{\overrightarrow {I_{01}I_{21}}}={\vec {0}}\qquad \Rightarrow \qquad {\overrightarrow {I_{20}I_{21}}}=-{\frac {\omega _{01}}{\omega _{20}}}{\overrightarrow {I_{01}I_{21}}}$

Por tanto, puesto que el vector que une $I_{21}$ con $I_{20}$ es proporcional al que lo une con $I_{01}$, los tres puntos están alineados.

Así, por ejemplo, en el sistema biela-manivela, el CIR $I_{01}$ es el punto O, alrededor del cual gira la manivela. El CIR $I_{20}$ es A, la articulación entre la biela y la manivela. El CIR $I_{21}$ se encuentra en la intersección de la recta que pasa por B y es perpendicular a ${\vec {v}}_{21}^{B}$, con la recta que pasa por A y es perpendicular a ${\vec {v}}_{21}^{A}$, pero esta última recta perpendicular es justamente la que pasa por O y A, que son los otros dos centros de rotación, por lo que los tres están alineados.

Este resultado es generalizable al caso de que alguno de los movimientos sea una traslación. Supongamos que el movimiento de arrastre {01} es una traslación con velocidad de traslación ${\vec {v}}_{01}^{P}={\vec {v}}_{0}$. En ese caso tenemos

${\vec {0}}={\vec {v}}_{21}^{I_{21}}={\vec {v}}_{20}^{I_{21}}+{\vec {v}}_{01}^{I_{21}}$

Sustituyendo las velocidades relativa y de arrastre

${\vec {0}}=\omega _{20}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {I_{20}I_{21}}}+{\vec {v}}_{0}$

Proyectando y despejando

${\overrightarrow {I_{20}I_{21}}}={\frac {{\vec {k}}\times {\vec {v}}_{0}}{\omega _{20}}}$

Por tanto, la línea que une los centros $I_{20}$ e $I_{21}$ es perpendicular a la velocidad de traslación ${\vec {v}}_{0}$, en cuyo “extremo” se encuentra el CIR $I_{01}$ (que, por ser una traslación, es un punto del infinito).

Como ilustración consideremos el caso de un carro “3” cuya rueda “2” se encuentra rodando sobre el suelo horizontal “1”. En este caso el CIR {32} es el centro de la rueda, mientras que el {21} es el punto de contacto de ésta con el suelo. El movimiento {31} es uno de traslación horizontal, por lo que su CIR $I_{31}$ se encuentra en el infinito en una dirección vertical. Dado que el centro de la rueda y el punto de apoyo se encuentran sobre la misma vertical, los tres centros están alineados.

El teorema de los tres centros permite determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación de sistemas de más de tres sólidos, a partir del conocimiento de algunos de ellos. Consideremos, por ejemplo, el velocípedo de la figura. En esta figura aparecen cuatro sólidos destacados:

Sólido 0

La rueda trasera

Sólido 1

El suelo

Sólido 2

La rueda delantera

Sólido 3

El cuadro del velocípedo

Las dos ruedas realizan, respecto del cuadro “3”, movimientos de rotación alrededor de sus respectivos ejes. Por ello, el CIR $I_{32}$ es el centro de la rueda delantera “2” y el CIR $I_{30}$ el de la trasera “0”.

Respecto del suelo “1” cada rueda efectúa una rotación instantánea alrededor del punto de contacto. Por ello, el punto de apoyo de la rueda delantera es el CIR $I_{21}$ y el de la trasera es el $I_{01}$.

Nos preguntamos entonces por la posición del CIR $I_{20}$, esto es, desde un sistema solidario con la rueda trasera, ¿alrededor de que punto gira la delantera? Por el teorema de los tres centros, $I_{20}$ se encuentra alineado con $I_{21}$ y con $I_{01}$. Por tanto, debe encontrarse sobre la línea horizontal del suelo. Por el mismo teorema, $I_{20}$ debe estar alineado con $I_{32}$ y con $I_{30}$, lo que supone que debe hallarse en la recta que une los centros de las dos ruedas. Por ello, debe encontrarse en la intersección de esta recta con la horizontal del suelo. El resultado es un punto que no pertenece al sólido real “0” ni al “2”, sino que se encuentra a una cierta distancia por detrás del vehículo.

Podemos preguntarnos también por la ubicación del CIR $I_{31}$, correspondiente al movimiento del cuadro respecto al suelo. Este CIR se encuentra alineado, por un lado con los centros $I_{30}$ e $I_{01}$, y por otro con los centros $I_{32}$ e $I_{21}$. Estas dos rectas, sin embargo, son paralelas, ya que ambos pares de puntos se encuentran sobre sendas verticales. El CIR $I_{31}$ se encuentra por tanto en el infinito, sobre una dirección perpendicular a la horizontal. Esto corresponde a que el cuadro realiza un movimiento de traslación cuya velocidad es horizontal, indicando el avance del velocípedo.

Problemas

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