Movimiento cicloidal

Enunciado

Una cicloide es la curva que describe un punto del borde de un disco que rueda sobre una superficie plana.

Suponga que tenemos un disco de radio $b$ que rueda uniformemente sobre una línea horizontal. Deseamos analizar la trayectoria del punto del borde que toca la superficie en la posición inicial.

Si la velocidad del centro del disco es ${\vec {v}}_{C}=v_{0}{\vec {\imath }}$,

1. ¿Cuanto ha avanzado el disco entre $t=0$ y un instante $t$? ¿Cuánto ha girado? ¿Cuál es la posición ${\vec {r}}(t)$ del punto P del disco que se encontraba en contacto con el suelo en $t=0$?
2. Para este mismo punto P determine su velocidad y aceleración en cada instante.
3. Halle la ley horaria que sigue el punto P. ¿Cuál es la distancia total recorrida por este punto cuando el disco completa una vuelta?
4. Determine las componentes intrínsecas de la aceleración, el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura para el mismo periodo anterior.

Ecuaciones horarias

Puesto que el disco avanza a velocidad constante, la posición del centro C del disco sigue un movimiento rectilíneo y uniforme. Tomando el origen de coordenadas en la posición inicial de punto P, el eje $X$ el tangente al suelo y el Y el perpendicular a él, tenemos para C

$x_{c}=v_{0}t\,$    $y_{c}=b\,$

o, en forma vectorial

${\overrightarrow {OC}}=v_{0}t{\vec {\imath }}+b{\vec {\jmath }}$

El disco, a la vez que avanza, va girando. El ángulo girado hasta un momento dado, puesto que no hay deslizamiento, es igual al arco partido por el radio

$\theta ={\frac {L}{b}}={\frac {v_{0}}{b}}t=\omega t$    $\omega \equiv {\frac {v_{0}}{b}}$

por tanto, el vector de posición relativa que va del centro del disco al punto P del borde es

${\overrightarrow {CP}}=b\left(-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}-\cos(\theta ){\vec {\jmath }}\right)=b\left(-\mathrm {sen} (\omega t){\vec {\jmath }}-\cos(\omega t){\vec {\jmath }}\right){\vec {\imath }}$

Sumando estos dos vectores obtenemos la posición instantánea del punto P

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CP}}=\left(v_{0}t-b\,\mathrm {sen} (\omega t)\right){\vec {\imath }}+\left(b-b\cos(\omega t)\right){\vec {\jmath }}$

o, separando en las componentes cartesianas

$x=v_{0}t-b\,\mathrm {sen} (\omega t)$    $y=b(1-\cos(\omega t))\,$

Velocidad y aceleración

Velocidad

Derivamos ahora respecto al tiempo para calcular las componentes cartesianas de la velocidad

${\dot {x}}=v_{0}-b\,\omega \cos(\omega t)=v_{0}(1-\cos(\omega t))$    ${\dot {y}}=b\,\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)=v_{0}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Expresándolas en forma vectorial

${\vec {v}}=v_{0}(1-\cos(\omega t)){\vec {\imath }}+v_{0}\,\mathrm {sen} \,(\omega t){\vec {\jmath }}$

Aceleración

Derivando de nuevo

${\vec {a}}=v_{0}\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t){\vec {\imath }}+v_{0}\omega \cos(\omega t){\vec {\jmath }}=\omega ^{2}b\left(\mathrm {sen} \,(\omega t){\vec {\imath }}+\cos(\omega t){\vec {\jmath }}\right)$

Vemos que resulta una aceleración de módulo constante, pero dirección variable.

Celeridad y ley horaria

Usando las relaciones trigonométricas

$1-\cos \alpha =2\,\mathrm {sen} ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)$    $\mathrm {sen} \,\alpha =2\,\mathrm {sen} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)$

podemos escribir la velocidad en la forma

${\vec {v}}=2v_{0}\,\mathrm {sen} \left({\frac {\omega t}{2}}\right)\left(\mathrm {sen} \left({\frac {\omega t}{2}}\right){\vec {\imath }}+\cos \left({\frac {\omega t}{2}}\right){\vec {\jmath }}\right)$

puesto que el vector entre paréntesis es unitario es claro que la celeridad y el vector tangente valen

$v=2v_{0}\,\mathrm {sen} \left({\frac {\omega t}{2}}\right)$    ${\vec {T}}=\,\mathrm {sen} \left({\frac {\omega t}{2}}\right){\vec {\imath }}+\cos \left({\frac {\omega t}{2}}\right){\vec {\jmath }}$

Conocida la celeridad, podemos obtener el parámetro arco como función del tiempo

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=v=2v_{0}\,\mathrm {sen} \left({\frac {\omega t}{2}}\right)$ ⇒ $s=\int _{0}^{t}v\,\mathrm {d} t=\left.-4{\frac {v_{0}}{\omega }}\cos \left({\frac {\omega t}{2}}\right)\right|_{0}^{t}=4b\left(1-\cos \left({\frac {\omega t}{2}}\right)\right)$

La distancia total recorrida en una vuelta completa es

$s(T)=4b\left(1-\cos \left({\frac {\omega }{2}}\,{\frac {2\pi }{\omega }}\right)\right)=8b$

Vemos que aunque la rueda avanza una distancia $2\pi b\simeq 6.28b$, un punto del borde recorre una distancia mayor, ya que no solo se mueve horizontalmente, sino también en vertical.

Componentes intrínsecas de la aceleración

Aceleración tangencial

El módulo de la aceleración tangencial es la derivada temporal de la celeridad

$a_{t}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=v_{0}\omega \cos \left({\frac {\omega t}{2}}\right)=\omega ^{2}b\cos \left({\frac {\omega t}{2}}\right)$

En forma vectorial

${\vec {a}}_{t}=a_{t}{\vec {T}}=\omega ^{2}b\cos \left({\frac {\omega t}{2}}\right)\left(\mathrm {sen} \left({\frac {\omega t}{2}}\right){\vec {\imath }}+\cos \left({\frac {\omega t}{2}}\right){\vec {\jmath }}\right)={\frac {\omega ^{2}b}{2}}\left(\mathrm {sen} \left(\omega t\right){\vec {\imath }}+\left(1+\cos \left(\omega t\right)\right){\vec {\jmath }}\right)$

Aceleración normal

Hallamos la aceleración normal restando la tangencial de la completa y resulta

${\vec {a}}_{n}={\vec {a}}-{\vec {a}}_{t}={\frac {\omega ^{2}b}{2}}\left(\mathrm {sen} \,(\omega t){\vec {\imath }}-\left(1-\cos(\omega t)\right){\vec {\jmath }}\right)$

Empleando de nuevo las mismas relaciones trigonométricas

${\vec {a}}_{n}=\omega ^{2}b\,\mathrm {sen} \left({\frac {\omega t}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {\omega t}{2}}\right){\vec {\imath }}-\,\mathrm {sen} \left({\frac {\omega t}{2}}\right){\vec {\jmath }}\right)$

de donde hallamos el vector normal

${\vec {N}}=\cos \left({\frac {\omega t}{2}}\right){\vec {\imath }}-\,\mathrm {sen} \left({\frac {\omega t}{2}}\right){\vec {\jmath }}$

y el módulo de la aceleración normal

$a_{n}=\omega ^{2}b\,\mathrm {sen} \left({\frac {\omega t}{2}}\right)$

Podíamos haber llegado a este módulo directamente a partir de los de la aceleración completa y la aceleración tangencial, empleando el teorema de Pitágoras

$a_{n}={\sqrt {a^{2}-a_{t}^{2}}}={\sqrt {(\omega ^{2}b)^{2}-(\omega ^{2}b)^{2}\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right)}}=\omega ^{2}b\,\mathrm {sen} \left({\frac {\omega t}{2}}\right)$

Radio de curvatura

Conocidas la celeridad y la aceleración normal tenemos el radio de curvatura

$R={\frac {v^{2}}{a_{n}}}=4b\,\mathrm {sen} \left({\frac {\omega t}{2}}\right)$

Este radio es nulo en el punto inicial, en el que la trayectoria tiene un vértice, crece hasta un valor máximo $4b$ y vuelve a disminuir a cero en el siguiente vértice.

Centro de curvatura

Prolongando en la dirección del vector normal llegamos a

${\vec {r}}_{c}={\vec {r}}+R{\vec {N}}=\left(v_{0}t+b\,\mathrm {sen} (\omega t)\right){\vec {\imath }}-b(1-\cos(\omega t)){\vec {\jmath }}$

Este resultado indica que la curva formada por los centros de curvatura (lo que se denomina la evoluta) es otra cicloide.