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Masa sobre una balanza de resorte en un ascensor

De Laplace

1 Enunciado

Una masa M se encuentra sobre una balanza de resorte. Ambos objetos están dentro de un ascensor. ¿Qué fuerza mide la balanza cuando el ascensor tiene una aceleración a0 vertical? La gravedad actúa en dirección vertical con sentido hacia abajo.

2 Solución

Las fuerzas que actúan sobre la masa son su peso y la fuerza que ejerce la balanza sobre ella. Escogiendo el eje Z en dirección vertical apuntando hacia arriba los vectores aceleración de la masa y aceleración de la gravedad son


\vec{a} = a_0\,\vec{k}, \qquad \qquad \vec{g}=-g\,\vec{k}.

Las fuerzas que actúan sobre la masa son


\vec{P}=-mg\,\vec{k}, \qquad\qquad \vec{F}_{b\to m} = F_b\,\vec{k}.

Aplicando la Segunda ley de Newton tenemos


m\vec{a} = \vec{P} + \vec{F}_{b\to m}.

La medida de la balanza es el módulo de \vec{F}_{b\to m}, pues, por la Tercera Ley de Newton, esa es la fuerza que la masa ejerce sobre la balanza. Despejando tenemos


\vec{F}_{b\to m} = m\vec{a} - \vec{P} = m(a_0 + g)\,\vec{k}.

La lectura de la balanza es


|\vec{F}_{b\to m}| = m(a_0+g)

Veamos algunas situaciones interesantes:

A: a0 = 0: En esta situación el ascensor se mueve con velocidad uniforme. Por tanto, es un sistema de referencia inercial. La lectura de la balanza es |\vec{F}_{b\to m}|=mg = P, es decir, el peso de la masa. Es la misma que si la masa y la balanza estuvieran en reposo en el suelo, en un sistema de referencia inercial en reposo absoluto. Esto se debe a que todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes.

B: a0 > 0: Ahora la aceleración del ascensor apunta hacia arriba. Tenemos |\vec{F}_{b\to m}|=m(g+a_0) > P. La lectura de la balanza es mayor que el peso. Ahora el ascensor no es un sistema de referencia inercial.

C: a0 < 0: Ahora la aceleración del ascensor apunta hacia abajo. Tenemos |\vec{F}_{b\to m}|=m(g- |a_0|) < P. La lectura de la balanza es menor que el peso. Si | a0 | = g no hay fuerza de contacto entre la balanza y la masa. Esta situación ocurre cuando el ascensor está en caída libre, por ejemplo si se rompe el cable y no hay sistema de frenado.

¿Qué ocurre cuando nos montamos en un ascensor? Supongamos que estamos en la planta baja y queremos subir a una planta muy alta de un edificio. Cuando el ascensor arranca estamos en la situación B y nos sentimos mas pesados. Llega un momento que el ascensor se mueve con velocidad uniforme, y entramos en la situación A. No sentimos nada diferente a lo que sentiríamos en el suelo. Por último, antes de llegar a la planta de destino el ascensor empieza a decelerar y estamos en la situación C. Sentimos que pesamos menos.

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