Masa deslizando por una pendiente hacia un muelle (GIA)

Enunciado

Una masa $m$ se encuentra al borde de una pendiente. Después de la pendiente se extiende una llanura, al final de la cual hay un muelle relajado de constante elástica $k$ y longitud natural $l_{0}$. La masa se encuentra a una altura $h$ relativa al muelle. Suponemos que no existe fuerza de rozamiento entre la masa y la superficie.

1. Determina la velocidad con la que la masa impacta en el muelle (punto $B)$.
2. ¿Cuál es el valor mínimo de la constante elástica del muelle, $k_{min}$, para que este pueda evitar que la masa toque la pared?
3. Supón ahora que entre los puntos $A$ y $B$ hay una región de longitud $d$ en la que existe rozamiento entre la masa y el suelo. Si el coeficiente de rozamiento es $\mu$, ¿cuál es el nuevo valor mínimo de $k$ en el apartado anterior?
4. Supongamos que $k>k_{min}$. En la situación de rozamiento del apartado anterior, calcula la velocidad con la que la partícula vuelve al punto $A$ y la altura a la que sube por la pendiente.
5. Calcula numéricamente las magnitudes pedidas si $m=100\,\mathrm {g}$, $h=50.0\,\mathrm {cm}$, $l_{0}=5.00\,\mathrm {cm}$, $\mu =0.200$, $d=10.0\,\mathrm {cm}$, $g=9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$.

Solución

Velocidad en $B$

En su trayecto desde el punto inicial hasta el punto $B$ la partícula está sometida a dos fuerzas, la de la gravedad y la fuerza de reacción vincular del suelo sobre ella. El enunciado dice que no hay rozamiento, por lo que la f.r.v. es siempre perpendicular al deslizamiento y no realiza trabajo. La fuerza de la gravedad es conservativa, es decir, se puede definir una energía potencial para la partícula asociada a la acción de la gravedad. Tomando como referencia de energía potencial la altura de la llanura, la energía potencial es

$U_{g}=m\,g\,y$

siendo $y$ la altura de la masa sobre la llanura.

Entonces, en el trayecto de la partícula hasta el punto $B$ se puede definir una energía mecánica que se conserva. Esa energía mecánica es

$E=T(y)+U(y)={\frac {1}{2}}mv^{2}+mgy$

EL valor de $E$ es constante. Para calcular su valor necesitamos saber cuanto valen la energía cinética y potencial en un punto. Nos dicen que la partícula parte del reposo, luego en el instante inicial $T=0$. Como también nos dan su altura inicial tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = mgh = \frac{1}{2}mv^2+mgy \Longrightarrow v(y) = \sqrt{2g(h-y)} }

Para el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=0} . Por tanto la velocidad en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_B = \sqrt{2gh} }

Compresión del muelle

Al llegar a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} hay otra fuerza más que actúa sobre la partícula, la del resorte. Esta también es conservativa, por lo que se le puede asignar una energía potencial y la energía mecánica correspondiente se conserva. La energía potencial del muelle es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_k = \frac{1}{2}k(l-l_0)^2 }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l} es la elongación del muelle y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_0} es su elongación natural. Cuando llega la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l=l_0} , con lo cual la energía potencial en ese instante es cero. Por tanto, la energía mecánica en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = T + U_k = \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k(l-l_0)^2= \frac{1}{2}mv_B^2 = mgh }

La partícula comprime el muelle y este la va frenando. De este modo, la energía cinética de la masa se convierte en energía potencial elástica. Si llamamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} al punto en el que la masa se detiene, para ese punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=0} , y por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = mgh = U_{kC} = \frac{1}{2}k(l_C-l_0)^2 \Longrightarrow l_C = l_0 - \sqrt{\frac{2mgh}{k}} }

Escogemos el signo menos en la raíz porque el muelle se comprime. Si se estirase habría que escoger el signo positivo.

Para que la partícula se frene antes de llegar a la pared debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_c\geq 0 \Longrightarrow k\geq k_{min}=\frac{2mgh}{l_0^2} }

Efecto del rozamiento

Tenemos el mismo problema, pero ahora hay una región entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} donde actúa una fuerza de rozamiento, con coeficiente de rozamiento dinámico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} . Como esta fuerza de rozamiento es no conservativa, la energía mecánica no se conserva. Pero en este caso simple podemos calcular cuanto cambia. La variación de la energía mecánica es igual al trabajo realizado por la fuerza no conservativa, la de rozamiento en este caso

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta E = W_{roz} }

Estamos interesados en el trayecto hasta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} . La fuerza de rozamiento actúa sólo en la zona delimitada por los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_2} . El trabajo que realiza es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_{roz} = \int\limits_{R_1}^{R_2}\vec{f}_r\cdot\mathrm{d}\vec{r} }

Como está en movimiento, el módulo de la fuerza de rozamiento es igual al coeficiente de rozamiento por el módulo de la normal. A su vez, éste es igual al peso de la partícula. Además, la fuerza de rozamiento se opone al movimiento que en este caso es hacia la derecha. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{f}_r = -\mu N\,\vec{\imath} = -\mu mg\,\vec{\imath} }

En la zona donde el rozamiento actúa la partícula se mueve a lo largo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} . Entonces un desplazamiento infinitesimal puede escribirse como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d} x\,\vec{i} }

Con esto el trabajo de la fuerza de rozamiento es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_{roz} = \int\limits_{R_1}^{R_2}\vec{f}_r\cdot\mathrm{d}\vec{r} = -\int\limits_{R_1}^{R_2}f_r\,\mathrm{d} x = -\int\limits_{R_1}^{R_2}\mu mg\,\mathrm{d} x= -\mu mg\int\limits_{R_1}^{R_2}\mathrm{d} x = -\mu mgd }

La energía mecánica en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es la misma que en el instante inicial. En el trayecto hasta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} actúa la fuerza de rozamiento. Además en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} la energía potencial es cero. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E'_B = T'_B = E_A + W_{roz} = mg(h-\mu d) = \frac{1}{2}m(v_B')^2 \Longrightarrow v_B' = \sqrt{2g(h-\mu d)} }

Nuevo valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_{min}}

Esta parte es igual al segundo apartado. La diferencia es que ahora la energía mecánica en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} es la calculada teniendo en cuenta la disminución por el rozamiento. Usando el mismo razonamiento llegamos a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_{min}=\frac{2mg(h-\mu d)}{l_0^2} }

Altura a la que sube al volver

En su camino de vuelta la partícula sufre otra vez el efecto de la fuerza de rozamiento. Al llegar a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} la energía mecánica disminuye otra vez respecto a su valor en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} . El trabajo de rozamiento es igual que el calculado antes, pues aunque ahora la masa se desplaza hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento apunta hacia la derecha, oponiéndose al movimiento. La energía mecánica en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E''_A = E'_B + W_{roz} = mg(h-\mu d) -\mu mgd = mg(h-2\mu d) }

La energía en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es puramente cinética. Al subir por la pendiente se va transformando en energía potencial. Cuando la energía potencial se hace cero se para. Si llamamos a este punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E''_D = U''_D = mgy_D= E''_A = mg(h-2\mu d) \Longrightarrow y_D = h-2\mu d }

Resultados numéricos

Con los datos suministrados los valores son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{lcl} v_B=3.13\,\mathrm{m/s} & \quad & k_{min}=392\,\mathrm{N/m} \\ v'_B=3.07\,\mathrm{m/s} & \quad & k'_{min}=376\,\mathrm{N/m} \\ y_D = 46.0\,\mathrm{cm} && \end{array} \right. }