Fuerzas generalizadas
Al definir las coordenadas generalizados ampliamos el concepto de coordenada cartesiana para incluir cualquier magnitud que pueda usarse para caracterizar el estado de un sistema. En este apartado vamos a hacer un proceso similar para ampliar el concepto de fuerza al de fuerza generalizada. Veremos que a cada coordenada generalizada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q} se le puede asignar una magnitud escalar: su fuerza generalizada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_q} . Esta fuerza generalizada recoge todas las contribuciones de las fuerzas y momentos del sistema que realicen un trabajo virtual cuando la coordenada generalizada sufre un desplazamiento virtual Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta q} .
Consideremos un sistema holónomo con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} grados de libertad: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{q_k\}} . Un desplazamiento virtual genérico se expresa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\delta q_k\}} . Los desplazamientos virtuales de cualquier punto del sistema y las rotaciones virtuales se pueden expresar como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\vec{r}_i = \sum\limits_{k=1}^n\dfrac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_k}\,\delta q_k, \qquad \delta\vec{\theta}_j = \sum\limits_{k=1}^n\dfrac{\partial\vec{\theta}_j}{\partial q_k}\,\delta q_k }
Sustituimos estas expresiones en el enunciado de del P.T.V. para un sistema de partículas y sólidos rígidos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = \sum\limits_{i} \vec{F}_i\cdot\color{blue}{\delta\vec{r}_i}\color{black} + \sum\limits_{j} \vec{M}_j\cdot\color{red}\delta\vec{\theta}_j\color{black} = \sum\limits_{i} \vec{F}_i\cdot\color{blue}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_k}\,\delta q_k\color{black} + \sum\limits_{j} \vec{M}_j\cdot\color{red}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{\partial\vec{\theta}_j}{\partial q_k}\,\delta q_k\color{black} }
Usando la propiedad distributiva de la suma los sumatorios pueden intercambiarse
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = \color{blue}\sum\limits_{k=1}^n\color{black}\sum\limits_{i} \vec{F}_i\cdot\color{blue}\dfrac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_k}\,\delta q_k\color{black} + \color{red}\sum\limits_{k=1}^n\color{black}\sum\limits_{j} \vec{M}_j\cdot\color{red}\dfrac{\partial\vec{\theta}_j}{\partial q_k}\,\delta q_k\color{black} }
Y ahora sacamos factor común
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = \sum\limits_{k=1}^n \color{magenta}\left( \sum\limits_{i} \vec{F}_i\cdot\dfrac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_k} + \sum\limits_{j} \vec{M}_j\cdot\dfrac{\partial\vec{\theta}_j}{\partial q_k}\right) \color{black} \delta q_k }
La expresión entre paréntesis es la fuerza generalizada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_k} correspondiente a la coordenada generalizada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_k}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \color{magenta} Q_k = \sum\limits_{i} \vec{F}_i\cdot\dfrac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_k} + \sum\limits_{j} \vec{M}_j\cdot\dfrac{\partial\vec{\theta}_j}{\partial q_k} }
Vemos que recibe contribuciones de todas las fuerzas y momentos que realizan trabajo cuando la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_k} varía en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta q_k} .
El P.T.V. puede expresarse como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = \sum\limits_{k=1}^n Q_k\delta q_k=0. }
Se dice que un sistema es independiente si el número de coordenadas generalizadas y el número de grados de libertad es el mismo, es decir, todas las coordenadas generalizadas son independientes entre sí. Para que esto ocurra todas las ligaduras deben ser holónomas, aunque puede ocurrir que el sistema sea holónomo pero no independiente.
Para un sistema independiente, las Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_k} pueden variar una cada vez sin afectar a las otras coordenadas. Entonces, para que se verifique el P.T.V. expresado en la forma anterior debe ocurrir que cada una de las fuerzas generalizadas sea cero, es decir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_k = 0\qquad \forall k }
Esto proporciona Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} ecuaciones para las Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{q_k\}} , con lo que el problema tiene solución.
Vamos a analizar el ejemplo anterior usando fuerzas generalizadas. El problema tiene un grado de libertad y una coordenada generalizada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\theta\}} . La fuerza generalizada es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{\theta} = \vec{F}\cdot\dfrac{\vec{r}_A}{\partial\theta} + \vec{P}\cdot\dfrac{\partial\vec{r}_O}{\partial\theta}+ \vec{M}_O\cdot\dfrac{\partial\vec{\theta}}{\partial\theta} }
Usando las expresiones de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_O} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_A} , y sabiendo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\theta}=\theta\,\vec{k}_1} tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{\theta} = -aF\cos\theta + M_O }
Como sólo hay un grado de libertad la condición de equilibrio es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{\theta} = 0\Longrightarrow M_O = aF\cos\theta. }
Por tanto, recuperamos el resultado obtenido antes.
