Enunciado
¿Cuál de las siguientes ternas de vectores libres podría corresponder a los tres lados de un triángulo rectángulo?
- (1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\vec{a}=(-\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(-\vec{\imath}-5\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,}
- (2) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(2\,\vec{\imath}-3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(5\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,}
- (3) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\vec{a}=(\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(-2\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,}
- (4) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,}
Solución
Los lados de un triángulo constituyen una línea poligonal cerrada. Por tanto, tres vectores libres (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{b}\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}\,} ) sólo podrán corresponder a los lados de un triángulo si admiten una ordenación que les haga formar una línea poligonal cerrada. Dependiendo de los sentidos relativos de los vectores en dicha poligonal cerrada, existen cuatro situaciones posibles, cada una de las cuales corresponde al cumplimiento de una de las cuatro ecuaciones siguientes:
Es inmediato comprobar que las ternas (2) y (4) del enunciado no satisfacen ninguna de estas ecuaciones, de modo que quedan descartadas. Sin embargo, la terna (1) satisface Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\,} , y la terna (3) satisface Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}\,} .
Ahora bien, para que el triángulo formado sea rectángulo es necesario además que dos de los vectores de la terna sean ortogonales, lo cual no ocurre en la terna (1). Por el contrario, en la terna (3) observamos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{c}=0\,} . Así que concluimos que la única terna de vectores libres que podría corresponder a los tres lados de un triángulo rectángulo es la (3).
