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Fuerza unidireccional (GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m está sometida a una fuerza constante \vec{F}=(A + Bt)\,\vec{\imath}. Si parte del reposo y desde el origen del sistema de referencia, encuentra la posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante.

2 Solución

Para determinar el movimiento de la partícula usamos la Segunda ley de Newton, que dice que una partícula de masa m sometida a una fuerza \vec{F} adquiere una aceleración


  \vec{a} = \frac{1}{m}\vec{F}

2.1 Cálculo de la velocidad

El enunciado nos dice que la fuerza es \vec{F} = (A+Bt)\,\vec{\imath}, con A y B constantes. Así pues la aceleración de la partícula es


  \vec{a} = \frac{1}{m}(A+B\,t)\,\vec{\imath}

La aceleración es la derivada respecto al tiempo de la velocidad. Integrando tenemos


  \vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{u}}{\mathrm{d}t}
  \Longrightarrow
  \mathrm{d}\vec{u} = \vec{a}\,\mathrm{d} t
  \Longrightarrow
  \vec{u}(t) = \int\vec{a}\,\mathrm{d} t + \vec{c}

El vector \vec{c} es una constante que viene determinada por las condiciones iniciales. Introduciendo la expresión de la aceleración obtenemos


  \vec{u}(t) = \vec{c} + \int (A+B\,t)\,\vec{\imath}\mathrm{d} t = \vec{c} + \frac{1}{m}\left(A\,t + \frac{1}{2}B\,t^2\right)\vec{\imath}

El enunciado dice que la partícula parte del reposo. Por tanto, en t = 0 la velocidad es nula. Obtenemos


  \vec{u}(0) = \vec{c} = \vec{0}

Así pues la velocidad en cada instante es


  \vec{u}(t) = \frac{1}{m}\left(A\,t + \frac{1}{2}B\,t^2\right)\,\vec{\imath}

La condición inicial puede incluirse de otra manera haciendo una integral definida y teniéndola en cuenta en los límites de integración. La ecuación \reff{eq:3} se reescribiría


  \mathrm{d}\vec{u}=\vec{a}\,\mathrm{d} t\Longrightarrow
  \int\limits_{\vec{u}(0)}^{\vec{u}(t)}\mathrm{d}\vec{u} = \int\limits_0^t\vec{a}\,\mathrm{d} t
  \Longrightarrow
  \vec{u}(t) = \vec{u}(0) + \frac{1}{m}\left(A\,t + \frac{1}{2}B\,t^2\right)\,\vec{\imath}

Aplicando de nuevo la condición inicial \vec{u}(0)=\vec{0} reobtenemos el resultado anterior.

2.2 Cálculo de la posición

La velocidad es la derivada del vector de posición en el tiempo. Procedemos igual que en el cálculo anterior y tenemos


  \vec{u} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}
  \Longrightarrow
  \mathrm{d}\vec{r} = \vec{u}\,\mathrm{d} t

Usamos la integral definida con las condiciones iniciales incluidas en los límites de integración


  \int\limits_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)} \mathrm{d}\vec{r} = \int\limits_0^t\vec{u}\,\mathrm{d} t
  \Longrightarrow
  \vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \int_0^t\vec{u}\,\mathrm{d} t

El enunciado dice que la partícula parte desde el origen des sistema de referencia, por lo que \vec{r}(0)=\mathbf(0). Utilizando la expresión de la velocidad obtenemos


  \vec{r}(t) = \frac{1}{m}\left(\frac{A}{2}t^2 + \frac{B}{6}t^3\right)\,\vec{\imath}

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