Enunciado

Una partícula de masa está sometida a una fuerza constante . Si parte del reposo y desde el origen del sistema de referencia, encuentra la posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante.

Solución

Para determinar el movimiento de la partícula usamos la Segunda ley de Newton, que dice que una partícula de masa sometida a una fuerza adquiere una aceleración

Cálculo de la velocidad

El enunciado nos dice que la fuerza es , con y constantes. Así pues la aceleración de la partícula es

La aceleración es la derivada respecto al tiempo de la velocidad. Integrando tenemos

El vector es una constante que viene determinada por las condiciones iniciales. Introduciendo la expresión de la aceleración obtenemos

El enunciado dice que la partícula parte del reposo. Por tanto, en la velocidad es nula. Obtenemos

Así pues la velocidad en cada instante es

La condición inicial puede incluirse de otra manera haciendo una integral definida y teniéndola en cuenta en los límites de integración. La ecuación \reff{eq:3} se reescribiría

Aplicando de nuevo la condición inicial reobtenemos el resultado anterior.

Cálculo de la posición

La velocidad es la derivada del vector de posición en el tiempo. Procedemos igual que en el cálculo anterior y tenemos

Usamos la integral definida con las condiciones iniciales incluidas en los límites de integración

El enunciado dice que la partícula parte desde el origen des sistema de referencia, por lo que . Utilizando la expresión de la velocidad obtenemos