Fuerza sobre tres masas yuxtapuestas

Enunciado

Tres masas $m_{1}$, $m_{2}$ y $m_{3}$ se encuentran yuxtapuestas sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sobre la primera de ellas actúa una fuerza horizontal $F$. Calcula

1. La aceleración de las masas.
2. La fuerza resultante sobre cada una de ellas.
3. Las magnitudes de las fuerzas de contacto entre ellas.

Solución

Aceleración de las masas

Si durante el movimiento de las masas se mantienen juntas, se pueden considerar una única partícula de masa $m_{1}+m_{2}+m_{3}$. Las tres masas se mueven con la misma aceleración, por lo que la Segunda Ley de Newton nos dice

$(m_{1}+m_{2}+m_{3})\,{\vec {a}}={\vec {F}}\Longrightarrow {\vec {a}}={\dfrac {\vec {F}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}$

Fuerza neta sobre cada masa

Teniendo en cuenta que la aceleración de las tres masas es la misma, podemos aplicar la Segunda Ley de Newton a cada una de ellas para obtener la fuerza neta sobre cada masa

${\begin{array}{l}{\vec {F}}_{1}=m_{1}\,{\vec {a}}={\dfrac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\,{\vec {F}}\\\\{\vec {F}}_{2}=m_{2}\,{\vec {a}}={\dfrac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\,{\vec {F}}\\\\{\vec {F}}_{3}=m_{3}\,{\vec {a}}={\dfrac {m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\,{\vec {F}}\end{array}}$

Fuerzas de contacto

Ahora consideramos las tres masas como partículas independientes. Las fuerzas que actúan sobre cada una de ellas son

Masa $m_{1}$

${\begin{array}{l}{\vec {F}}=F\,{\vec {\imath }}\\{\vec {F}}_{2\to 1}=F_{2\to 1}\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Masa $m_{2}$

${\begin{array}{l}{\vec {F}}_{1\to 2}=F_{1\to 2}\,{\vec {\imath }}\\{\vec {F}}_{3\to 2}=F_{3\to 2}\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Masa $m_{3}$

${\begin{array}{l}{\vec {F}}_{2\to 3}=F_{2\to 3}\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Además, aplicando la tercera Ley de Newton sabemos que las fuerzas mutuas entre dos masas son iguales en módulo y dirección y de sentido contrario

${\vec {F}}_{2\to 1}=-{\vec {F}}_{1\to 2}\qquad \qquad {\vec {F}}_{3\to 2}=-{\vec {F}}_{2\to 3}$

Las tres masas se mueven con la misma aceleración, por lo que aplicando la Segunda ley a cada una de ellas tenemos

${\begin{array}{l}m_{1}\,{\vec {a}}={\vec {F}}+{\vec {F}}_{2\to 1}\\\\m_{2}\,{\vec {a}}={\vec {F}}_{1\to 2}+{\vec {F}}_{3\to 2}\\\\m_{3}\,{\vec {a}}={\vec {F}}_{2\to 3}\end{array}}$

De cada una de estas expresiones podemos despejar las fuerzas entre masas

${\begin{array}{l}{\vec {F}}_{2\to 1}=-{\vec {F}}_{1\to 2}=m_{1}\,{\vec {a}}-{\vec {F}}=-{\dfrac {m_{2}+m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\,{\vec {F}}\\\\{\vec {F}}_{3\to 2}=-{\vec {F}}_{3\to 2}=m_{2}\,{\vec {a}}-{\vec {F}}_{1\to 2}=m_{2}\,{\vec {a}}+{\vec {F}}_{2\to 1}=-{\dfrac {m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\,{\vec {F}}\end{array}}$