Fórmulas potencialmente incorrectas

Enunciado

De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de ejemplos de análisis dimensional, $R$ es una distancia y ${\vec {r}}$ el vector de posición; $t$ es el tiempo:

(a) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}}

(b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}}

(c) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}}

(d) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\vec{r}\times\vec{p})\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}}

(e) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{\vec{r}-\vec{v}t}{t^2-t}}

(f) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{r^2}}

(g) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = \vec{r}\times\vec{p}}

(h) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)}

Caso (a)

La ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}}

es obviamente incorrecta ya que no está definida la división por un vector. Por tanto, el segundo miembro es absurdo.

Fórmula incorrecta.

Caso (b)

En el caso de la expresión

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}}

el primer miembro posee significado. Sin embargo, en el segundo miembro encontramos el producto vectorial de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{p}\cdot\vec{a}} por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} , pero Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{p}\cdot\vec{a}} es una cantidad escalar, no vectorial y por tanto no puede multiplicarse vectorialmente por nada.

Fórmula incorrecta.

Caso (c)

Para la fórmula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}}

tenemos que el primer miembro es un vector y en el segundo miembro tenemos la diferencia de dos vectores, que es una expresión admisible. Por tanto, esta expresión no es incorrecta desde el punto de vista vectorial.

No basta, no obstante, con esto. Debemos comprobar que también es dimensionalmente correcta. El primer miembro tiene dimensiones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[\frac{\vec{L}}{R}\right] = \frac{ML^2T^{-1}}{L} = MLT^{-1}}

En el segundo miembro tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[\vec{F}t\right] = (MLT^{-2})T = MLT^{-1}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[\vec{v}\right]=LT^{-1}}

Estas dimensiones no son coincidentes (en la segunda falta la masa), por lo que la ecuación es incorrecta.

Fórmula incorrecta.

Caso (d)

En la identidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\vec{r}\times\vec{p})\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}}

¿qué tipo de operación aparece en el primer miembro? Tenemos un vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\vec{r}\times\vec{p})} seguido de otro sin ningún signo de producto entre ellos. No es un producto escalar, que lleva un punto, ni uno vectorial (que lleva una cruz o una cuña). Por tanto, el primer miembro carece de significado. No es ni un escalar ni un vector.

Parecería que en el segundo miembro se da el mismo caso, ya que no hay punto o cruz entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\vec{r}\cdot\vec{p})} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{p}} , pero no es así, porque el producto escalar es un número, no un vector, y el producto de un escalar por un vector no lleva punto, siendo el resultado un vector.

Fórmula incorrecta.

Caso (e)

Para la fórmula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{\vec{r}-\vec{v}t}{t^2-t}}

no hay que esforzarse mucho para encontrar un error: en el denominador del segundo miembro aparece una expresión dimensionalmente incorrecta pues resta un tiempo del cuadrado de un tiempo, lo que no es admisible.

Fórmula incorrecta.

Caso (f)

En la igualdad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{r^2}}

tenemos de nuevo la división por un vector, lo que no está definido.

Fórmula incorrecta

Caso (g)

La ecuación

$L={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

es claramente incorrecta pues iguala un escalar (el módulo del momento cinético, pues no lleva flecha) con un vector, lo que incumple la homogeneidad.

Fórmula incorrecta

caso (h)

Por último, el caso

${\frac {W}{t}}={\vec {F}}\times \left({\vec {v}}-{\frac {R}{t}}\right)$

está doblemente mal: iguala un escalar a un vector, pero dicho vector se compone además de la suma de un vector y un escalar, no siendo admisible ninguna de las dos operaciones.

Fórmula incorrecta

En resumen, todas las fórmulas del enunciado están mal.