Fórmulas dimensionalmente incorrectas

Enunciado

Teniendo en cuenta las dimensiones calculadas en el problema 1.1, indique cuáles de las siguientes expresiones son necesariamente incorrectas (los símbolos son los usuales en mecánica):

a) $W={\frac {1}{2}}mv^{2}+gy$

b) ${\vec {r}}\times {\vec {L}}=R^{2}{\vec {p}}$

c) ${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}+{\vec {v}}\times {\vec {p}}$

d) ${\frac {x-vt}{t-v/a}}={\sqrt {\frac {W-Fx}{m}}}$

e) $\int {\vec {F}}\,\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}{\vec {v}}+m{\vec {a}}t$

f) $\int (P-{\vec {F}}\cdot {\vec {v}})\,\mathrm {d} t=mgh+{\frac {p^{2}}{2m}}$

g) $P=m{\frac {(v^{2}/R-a)}{(t-x/v)}}(x-\pi R^{2})$

h) $\int {\frac {P-{\vec {v}}\cdot ({\vec {a}}+{\vec {p}}/m)}{v^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {m(t-2/t)}{v}}$

Caso (a)

Para que una fórmula sea dimensionalmente correcta los dos miembros de la ecuación deben tener las mismas dimensiones, y lo mismo debe ocurrir con cada uno de los sumandos de las sumas o diferencias que aparezcan en ella.

En el primer caso

$W={\frac {1}{2}}mv^{2}+gy$

tenemos que el Trabajo trabajo tiene dimensiones de masa por velocidad al cuadrado

$[W]=ML^{2}T^{-2}\,$

De los términos del segundo miembro, el primero tiene claramente las mismas dimensiones que este

$\left[{\frac {1}{2}}mv^{2}\right]=[m][v]^{2}=M(LT^{-1})^{2}=ML^{2}T^{-2}\,$

mientras que el segundo tiene las dimensiones de una aceleración por una distancia

$[gy]=[a][y]=\left(LT^{-2}\right)L=L^{2}T^{-2}\,$

Puesto que aquí no hay ninguna potencia de la masa, que si aparece en los otros dos términos, esta fórmula es necesariamente incorrecta.

Caso (b)

En el segundo caso

${\vec {r}}\times {\vec {L}}=R^{2}{\vec {p}}$

el primer miembro tiene dimensiones de un momento cinético por una distancia

$\left[{\vec {r}}\times {\vec {L}}\right]=[r][L]=L(ML^{2}T^{-1})=ML^{3}T^{-1}$

y el segundo de una cantidad de movimiento por una superficie

$\left[R^{2}{\vec {p}}\right]=L^{2}(MLT^{-1})=ML^{3}T^{-1}$

Puesto que las dimensiones de los miembros son coincidentes, esta fórmula puede ser correcta. Lo que no quiere decir que lo sea.

Caso (c)

En el tercer caso

${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}+{\vec {v}}\times {\vec {p}}$

El primer miembro es el momento de una fuerza, que tiene la misma ecuación dimensional que el trabajo

$[M]=ML^{2}T^{-2}\,$

En el segundo miembro tenemos, para el primer término

$\left[{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right]=[r][F]=L(MLT^{-2})=ML^{2}T^{-2}$

y para el segundo

$\left[{\vec {v}}\times {\vec {p}}\right]=[v][p]=(LT^{-1})(MLT^{-1})=ML^{2}T^{-2}$

Puesto que todos los términos tienen las mismas dimensiones, la fórmula puede ser correcta.

Caso (d)

En el caso

${\frac {x-vt}{t-v/a}}={\sqrt {\frac {W-Fx}{m}}}$

Tenemos varias combinaciones que hay que verificar. Cada suma debe ser dimensionalmente correcta. En el primer miembro tenemos, en el denominador

$[x]=L\,$    $[vt]=[v][t]=(LT^{-1})T=L\,$

y en el denominador

$[t]=T\,$    $[v/a]={\frac {[v]}{[a]}}={\frac {LT^{-1}}{LT^{-2}}}=T$

Por tanto ambas sumas son simensionalmente correctas, obtenemos además que las dimensiones del cociente son

$\left[{\frac {x-vt}{t-v/a}}\right]={\frac {[x]}{[t]}}=LT^{-1}$

Para el segundo miembro se cumple

$[W]=ML^{2}T^{-2}\,$    $[Fx]=(MLT^{-2})L=ML^{2}T^{-2}$

que también es dimensionalmente correcta. Por último para la raíz cuadrada nos queda

$\left[{\sqrt {\frac {W-Fx}{m}}}\right]=\left({\frac {[W]}{[m]}}\right)^{1/2}=\left({\frac {ML^{2}T^{-2}}{M}}\right)^{1/2}=LT^{-1}$

Dado que estas dimensiones (de una velocidad) son las mismas que habíamos obtenido para el miembro, esta ecuación es dimensionalmente correcta.

Caso (e)

En la fórmula

$\int {\vec {F}}\,\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}{\vec {v}}+m{\vec {a}}t$

aparece una integral, que no es más que una suma de muchas cantidades muy pequeñas. Como toda suma, los sumandos deben ser dimensionalmente equivalentes y el resultado tiene las mismas dimensiones que cualquiera de ellos. En este caso

$\left[\int {\vec {F}}\,\mathrm {d} t\right]=[F][t]=MLT^{-1}$

En el segundo miembro tenemos, para el primer sumando

$\left[{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}{\vec {v}}\right]={\frac {[m]}{[t]}}[v]={\frac {M}{T}}LT^{-1}=MLT^{-2}$

Estas dimensiones no coinciden con las del primer miembro, por lo que ya no hace falta seguir. Esta fórmula es necesariamente incorrecta.

Caso (f)

Para la fórmula

$\int (P-{\vec {F}}\cdot {\vec {v}})\,\mathrm {d} t=mgh+{\frac {p^{2}}{2m}}$

Analizamos en primer lugar el paréntesis del integrando

$[P]=ML^{2}T^{-3}\,$    $\left[{\vec {F}}\cdot {\vec {v}}\right]=[F][v]=(MLT^{-2})(LT^{-1})=ML^{2}T^{-3}$

por lo que la suma es dimensionalmente correcta. Las dimensiones de la integral son

$\left[\int (P-{\vec {F}}\cdot {\vec {v}})\,\mathrm {d} t\right]=[P][t]=ML^{2}T^{-2}$

Para el segundo miembro, el primer sumando tiene por dimensiones

$[mgh]=[m][g][h]=M(LT^{-2})L=ML^{2}T^{-2}\,$

que son las mismas del primer miembro. Para el segundo sumando

$\left[{\frac {p^{2}}{2m}}\right]={\frac {[p]^{2}}{[m]}}={\frac {(MLT^{-1})^{2}}{M}}=ML^{2}T^{-2}$

Por tanto, la fórmula es dimensionalmente correcta.

Caso (g)

En la expresión

$P=m{\frac {(v^{2}/R-a)}{(t-x/v)}}(x-\pi R^{2})$

aparecen muchos factores que habría que analizar por separado. Sin embargo, es fácil ver que esta fórmula es incorrecta. En el último factor tenemos la combinación

$(x-\pi R^{2})\,$

en la cual se suma una longitud (de dimensión $L$) con un área (de dimensión $L^{2}$), lo cual es incorrecto y por ello toda la fórmula está mal.

Caso (h)

Por último, para la fórmula

$\int {\frac {P-{\vec {v}}\cdot ({\vec {a}}+{\vec {p}}/m)}{v^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {m(t-2/t)}{v}}$

el razonamiento es idéntico al del caso anterior. En el numerador del segundo miembro se resta de un tiempo (de dimensión $T$) la inversa de un tiempo (de dimensión $T^{-1}$) lo cual no es admisible y no hace falta seguir.