Espiral logarítmica (GIOI)

Enunciado

Una partícula describe una espiral logarítmica a partir de $t=0$ de manera que, en el SI y empleando coordenadas polares,

$\rho =240-48t\qquad \qquad \theta =-0.75\ln \left(1.00-0.20t\right)$

1. Halle la velocidad en cada instante.
2. Calcule la rapidez del movimiento como función del tiempo.
3. ¿Cuánto tiempo tarda la partícula en llegar al origen de coordenadas? ¿Cuántas vueltas alrededor del origen da en ese tiempo?
4. Halle la aceleración para cada instante, así como sus componentes intrínsecas
5. Calcule los vectores tangente y normal a la trayectoria en cada punto de ésta, en función de la base $\{{\vec {u}}_{\rho },{\vec {u}}_{\theta }\}$
6. Calcule el radio de curvatura como función del tiempo.

Velocidad instantánea

La fórmula para la velocidad en coordenadas polares viene dada por

${\vec {v}}={\dot {\rho }}{\vec {u}}_{\rho }+\rho {\dot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }$

siendo en este caso

${\dot {\rho }}={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}=-48\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\qquad \qquad {\dot {\theta }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {0.15}{1.00-0.20t}}\mathrm {s} ^{-1}$

lo que nos da la velocidad

${\vec {v}}=\left(-48\,{\vec {u}}_{\rho }+{\frac {0.15(240-48t)}{1.00-0.20t}}{\vec {u}}_{\theta }\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

pero

${\frac {240-48t}{1.00-0.20t}}=240$

así que queda simplemente

${\vec {v}}=(-48{\vec {u}}_{\rho }+36{\vec {u}}_{\theta }){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Hay que señalar que esta velocidad depende del tiempo. Aunque las componentes son constantes, los vectores de la base son dependientes del tiempo, ya que van girando con la partícula en su movimiento.

Rapidez instantánea

Una vez que tenemos la velocidad instantánea, calculamos la rapidez hallando su módulo.

$|{\vec {v}}|={\sqrt {v_{\rho }^{2}+v_{\theta }^{2}}}={\sqrt {48^{2}+36^{2}}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=60\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

El movimiento es con rapidez constante y por tanto uniforme.

Tiempo de impacto

El tiempo en llegar al origen de coordenadas es aquel que hace $\rho =0$. Esto ocurre para

$240-48t_{\mathrm {i} }=0\qquad \Rightarrow \qquad t=5\,\mathrm {s}$

El número de vueltas lo obtenemos calculando la variación en la coordenada $\theta$. Cuando este ángulo varía en $2\pi$ quiere decir que se ha dado una vuelta. Si varía en $4\pi$ son dos vueltas y así sucesivamente. El número de vueltas total será

$n={\frac {\Delta \theta }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}\left.\left(-0.75\ln \left(1.00-0.20t\right)\right)\right|_{0\,\mathrm {s} }^{5\,\mathrm {s} }$

Pero

$\lim _{t\to 5\,\mathrm {s} }\ln(1.00-0.20t)=-\infty$

Por tanto

$n\to {\frac {\infty -0}{2\pi }}=\infty$

Es decir, aunque tarda un tiempo finito en llegar al centro, da infinitas vueltas antes de hacerlo. La razón es que estas vueltas son cada vez más pequeñas y requieren menos tiempo.

Aceleración

En forma vectorial

La expresión de la aceleración en coordenadas polares es

${\vec {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\theta }}^{2}){\vec {u}}_{\rho }+(\rho {\ddot {\theta }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}){\vec {u}}_{\theta }$

donde, en este caso

${\ddot {\rho }}=0\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$    $\rho {\dot {\theta }}^{2}=\overbrace {(\rho {\dot {\theta }})} ^{36}{\dot {\theta }}={\frac {5.4}{1.00-0.20t}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$    

$\rho {\ddot {\theta }}={\frac {7.2}{1.00-0.20t}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$     $2{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}=-{\frac {14.4}{1.00-0.20t}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Reuniendo todo esto nos queda

${\vec {a}}=-{\frac {5.4{\vec {u}}_{\rho }+7.2{\vec {u}}_{\theta }}{1.00-0.20t}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

En este caso particular, no obstante, hubiera sido más fácil calcular la aceleración como la derivada de la velocidad respecto al tiempo, aprovechando que las componentes de la velocidad son constantes.

${\vec {v}}=(-48{\vec {u}}_{\rho }+36{\vec {u}}_{\theta }){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$    ${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left(-48{\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\rho }}{\mathrm {d} t}}+36{\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\theta }}{\mathrm {d} t}}\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

donde

${\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\rho }}{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }=\left({\frac {0.15}{1.00-0.20t}}{\vec {u}}_{\theta }\right){\frac {1}{\mathrm {s} }}\qquad \qquad {\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\theta }}{\mathrm {d} t}}=-{\dot {\theta }}{\vec {u}}_{\rho }=-\left({\frac {0.15}{1.00-0.20t}}{\vec {u}}_{\rho }\right){\frac {1}{\mathrm {s} }}$

lo que nos da la aceleración

${\vec {a}}={\frac {0.15}{1.00-0.20t}}\left(-48{\vec {u}}_{\theta }-36{\vec {u}}_{\rho }\right){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=-{\frac {5.4{\vec {u}}_{\rho }+7.2{\vec {u}}_{\theta }}{1.00-0.20t}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Aceleración tangencial

Por tratarse de un movimiento uniforme, la aceleración tangencial es nula

$a_{t}={\frac {\mathrm {d} |{\vec {v}}|}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left(60\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\right)=0\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Aceleración normal

Si la aceleración tangencial es nula, toda la aceleración es normal, por lo que

${\vec {a}}_{n}=-{\frac {5.4{\vec {u}}_{\rho }+7.2{\vec {u}}_{\theta }}{1.00-0.20t}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

En forma escalar, hallamos el módulo,

$a_{n}=|{\vec {a}}_{n}|={\frac {\sqrt {5.4^{2}+7.2^{2}}}{1.00-0.20t}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}={\frac {9.0}{1.00-0.20t}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Vectores tangente y normal

Vector tangente

El vector tangente a la trayectoria es el unitario en la dirección y sentido de la velocidad

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {-48{\vec {u}}_{\rho }+36{\vec {u}}_{\theta }}{60}}=-0.8{\vec {u}}_{\rho }+0.6{\vec {u}}_{\theta }$

Este vector forma un ángulo constante con la dirección radial.

Vector normal

El vector normal es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

${\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{|{\vec {a}}_{n}|}}=-{\frac {5.4{\vec {u}}_{\rho }+7.2{\vec {u}}_{\theta }}{9.0}}=-0.6{\vec {u}}_{\rho }-0.8{\vec {u}}_{\theta }$

Es inmediato comprobar que este vector es ortogonal al anterior.

Radio de curvatura

Una vez que tenemos la aceleración normal y la rapidez hallamos el radio de curvatura como

$R={\frac {|{\vec {v}}|^{2}}{a_{n}}}={\frac {(60\,\mathrm {m} /\mathrm {s} )^{2}}{(9.0/(1.00-0.20t))\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}}}=80(1.00-0.20t)\,\mathrm {m} =(80-16t)\,\mathrm {m}$

El radio de curvatura disminuye linealmente con el tiempo hasta anularse cuando la partícula llega al centro de la espiral.