Enunciado

Los puntos , , y son los vértices del tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud . A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres:

Para describirlos analíticamente se adopta un sistema de referencia cartesiano , tal que la cara del tetraedro está contenida en el plano , y el vértice es un punto del eje (ver figura). Utilizando las herramientas del Álgebra Vectorial, determina las coordenadas cartesianas de los vértices del tetraedro.

Solución

De la figura podemos obtener las coordenadas de los puntos y ,

Para averiguar las coordenadas del punto nos fijamos en el dibujo. Las caras del tetraedro son triángulos equiláteros, por los cual sus ángulos son todos . Expresado en la base cartesiana asociada al triedro, el vector es

y las coordenadas del punto son

Las componentes de los vectores y son

Las coordenadas del punto pueden obtenerse calculando el vector . De este vector conocemos su módulo

Como las caras son triángulos equiláteros, todos los ángulos entre las aristas son de , por lo cual también conocemos los productos escalares con los vectores y

Por otro lado podemos expresar estos productos escalares en función de las componentes de los vectores

Estas expresiones nos proporcionan tres ecuaciones con tres incógnitas

Resolviéndolo obtenemos las coordenadas de

Hay que señalar que hemos descartado la otra solución de la primera ecuación . Este caso representa un tetraedro simétrico al del dibujo respecto al plano , es decir, con el vértice por debajo del plano.