Equilibrio de una partícula sobre una hélice (GIA)

Enunciado

Un punto material Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} , de peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} , está vinculado a la hélice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma} , definida en el sistema de referencia cartesiano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXYZ} por la ecuación vectorial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(\theta)=a\cos\theta\,\vec{\imath}+a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}+h\,\theta\,\vec{k}} . Determina la posición de equilibrio estático del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} si, además, este es atraído por el origen por una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} proporcional a la distancia entre ambos puntos, siendo $k$ la constante de proporcionalidad.

Solución

La condición de equilibrio mecánico para un punto material es que la suma total de fuerzas actuando sobre él sea cero, tanto fuerzas activas como de reacción vincular. En este caso estas fuerzas son el peso ${\vec {P}}$, la fuerza ejercida por el muelle Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} y la fuerza de reacción vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}} . Veamos como son cada una de ellas.

El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} debe estar contenido en una curva, la hélice dada por el enunciado. Tiene entonces 1 grado de libertad, en este caso el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} . Al ser el vínculo liso, la fuerza de reacción vincular no puede tener componente en la dirección tangente a la curva. Es decir, debe ser de la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}=\Phi_N\,\vec{N}+\Phi_B\vec{B} }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}} son los vectores normal y binormal a la curva, respectivamente. Como tenemos la ecuación vectorial de la curva, podemos calcular estos vectores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{r}(\theta) = a\cos\theta\,\vec{\imath}+a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}+h\,\theta\,\vec{k}\\ \\ \vec{T} = \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}}{\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|} = \dfrac{1}{\sqrt{a^2+h^2}} \left(-a\,\sin\theta\,\vec{\imath}+a\,\cos\theta\,\vec{\jmath}+h\,\vec{k}\right) \\ \\ \vec{N} = \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}\theta}}{\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}\theta}\right|} =-\cos\theta\,\vec{\imath}-\sin\theta\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{B} = \vec{T}\times\vec{N}= \dfrac{1}{\sqrt{a^2+h^2}} \left(h\,\sin\theta\,\vec{\imath}-h\,\cos\theta\,\vec{\jmath}+a\,\vec{k}\right) \end{array} }

Utilizando estas expresiones ya podemos expresar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}} en términos del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} .

Nos dicen que la fuerza ejercida por el muelle es proporcional a la distancia entre el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} y el origen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} (por tanto la longitud natural del muelle es cero). Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=-k\,\vec{r}= -k\, a\cos\theta\,\vec{\imath}+k\,a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}+k\,h\,\theta\,\vec{k} }

Por último, el peso apunta en la dirección negativa del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ} , por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}=-P\,\vec{k} }

Ahora ya podemos plantear la condición de equilibrio, que va a traducirse en tres ecuaciones escalares, una por cada componente de la ecuación vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}+\vec{F}+\vec{\Phi}=\vec{0}\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} \left(a\,k\,+\Phi_N\right)\cos\theta=\dfrac{h\,\sin\theta}{\sqrt{a^2+h^2}}\Phi_B\\ \\ \left(a\,k\,+\Phi_N\right)\sin\theta=-\dfrac{h\,\cos\theta}{\sqrt{a^2+h^2}}\Phi_B \\ \\ P +h\,k\theta=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+h^2}}\Phi_B \end{array} \right. }

La solución con significado físico de estas ecuaciones es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=-\dfrac{P}{k\,h}\qquad\Phi_N=-k\,a\qquad\Phi_B=0 }