Equilibrio de una partícula bajo la acción de tres muelles (GIA)

Enunciado

Una partícula libre de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} está unida a tres muelles de longitud natural nula y constantes elásticas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_A} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_C} . Cada uno de los muelle tiene el otro extremo fijado en un punto. Las coordenadas de los puntos de fijación son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A(-a,0,0)} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B(a,0,0)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C(0,a,0)} .

1. Calcula la posición de equilibrio de la partícula.
2. Considera las situaciones siguientes
   1. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m=0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_A=k_B=k_C=k}
   2. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m=0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_A=k_B\gg k_C}
   3. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_A=k_B=k_C=k} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m>>ka/g} .

Solución

Tenemos una partícula libre sometida a cuatro fuerzas activas, una por cada muelle mas la gravedad. Al no estar sometida a ninguna ligadura la partícula tiene tres grados de libertad. Su posición de equilibrio es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath} + z\,\vec{k} }

donde $x$, $y$, $z$ pueden tomar cualquier valor.

Como los muelles tienen longitud nula, las fuerzas a la que cada uno somete a la partícula cuando esta se encuentre en una posición ${\vec {r}}$ son

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {F}}_{A}=-k_{A}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{A})\\{\vec {F}}_{B}=-k_{B}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{B})\\{\vec {F}}_{C}=-k_{C}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{C})\end{array}}\right.$

donde los vectores ${\vec {r}}_{A}$, ${\vec {r}}_{B}$, ${\vec {r}}_{C}$ son los vectores que apuntan al punto de anclaje de cada muelle. Según los datos del problema

${\vec {r}}_{A}={\overrightarrow {OA}}=-a\,{\vec {\imath }},\qquad \qquad {\vec {r}}_{B}={\overrightarrow {OB}}=a\,{\vec {\imath }},\qquad \qquad {\vec {r}}_{C}={\overrightarrow {OC}}=a\,{\vec {\jmath }}$

Suponemos la gravedad actuando en la dirección negativa del eje $OY$. La fuerza gravitatoria sobre la partícula es

${\vec {F}}_{g}=-mg\,{\vec {\jmath }}$

Para que haya equilibrio mecánica la resultante del sistema de fuerzas aplicadas sobre a partícula debe tener resultante nula. Esta condición nos proporciona una ecuación vectorial que equivale a tres ecuaciones escalares, una por cada componente

$\sum \limits _{i=1}^{n}={\vec {0}}\Longrightarrow {\vec {F}}_{A}+{\vec {F}}_{B}+{\vec {F}}_{C}+{\vec {F}}_{g}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{rcl}-(k_{A}+k_{B}+k_{C})x-(k_{A}-k_{B})a&=&0\\-(k_{A}+k_{B}+k_{C})y+k_{C}a-mg&=&0\\-(k_{A}+k_{B}+k_{C})z&=&0\end{array}}\right.$

Tenemos así tres ecuaciones para tres incógnitas, el valor de las coordenadas de equilibrio de la partícula. Despejando obtenemos

$\left.{\begin{array}{ccccc}x={\dfrac {(k_{B}-k_{A})a}{k_{A}+k_{B}+k_{C}}}&\qquad \qquad &y={\dfrac {k_{C}a-mg}{k_{A}+k_{B}+k_{C}}}&\qquad \qquad &z=0\end{array}}\right.$

La posición de equilibrio se encuentra en el plano $OXY$, esto es, el definido por los puntos de anclaje de los muelles.

Caso a

Los tres muelles tienen la misma constante elástica y se desprecia el peso de la partícula. La posición de equilibrio es

$\left.{\begin{array}{ccccc}x=0&\qquad \qquad &y={\dfrac {a}{3}}&\qquad \qquad &z=0\end{array}}\right.$

Como los muelles $A$ y $B$ son iguales la posición de equilibrio esta en el $OY$, donde todos los puntos son equidistantes de los puntos $A$ y $B$. La partícula está algo más cerca del origen que del punto $C$ porque el triángulo no es equilátero. Si lo fuera el punto de equilibrio estaría a la misma distancia de los tres vértices.

Caso b

De nuevo se desprecia el peso, pero los muelles $A$ y $B$ son iguales entre sí y con un valor de la constante mucho mayor que la del muelle $C$. La situación de equilibrio es

$\left.{\begin{array}{ccccc}x=0&\qquad \qquad &y={\dfrac {k_{C}}{2k+k_{C}}}a&\qquad \qquad &z=0\end{array}}\right.$

Al ser mucho más fuertes los muelles en $A$ y $B$ deben tirar con más fuerza de la partícula. El valor de equilibrio $y$ de puede escribirse

$y=a{\dfrac {k_{C}}{2k}}\left(1+{\dfrac {k_{C}}{2k}}\right)^{-1}$

Usamos ahora el desarrollo de Taylor de la función $(1+x)^{n}$. Cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} es mucho menor que 1 se tiene

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1+x)^n\simeq 1 + nx + O(x^2) }

La expresión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O(x^2)} significa que los términos despreciados en el desarrollo son del orden de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2} o potencias mayores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} . Estos términos son despreciables pues si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\ll1} cualquier potencia de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} es todavía más pequeña. En la expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=k_C/2k} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n=-1} . Por tanto, si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_C\ll k} podemos escribir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y\simeq a\dfrac{k_C}{2k}\left(1-\dfrac{k_C}{2k}\right) }

Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (k_C/2k)\ll1} , este valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} es mucho menor que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} . Es decir, en la posición de equilibrio la partícula se encuentra muy próxima a la línea que une los puntos de anclaje de los muelles Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} . Esto es coherente con el hecho de que esos dos muelles tienen constantes elásticas mucho mayores que la del muelle en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , y por tanto tiran con más fuerza de la partícula.

Caso c

Ahora los tres muelles tienen la misma constante elástica y tenemos en cuenta la gravedad. La posición de equilibrio viene dada por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{ccccc} x=0&\qquad\qquad& y= \dfrac{ka-mg}{3k}&\qquad\qquad&z=0 \end{array} \right. }

El enunciado nos dice que la masa es muy grande. En concreto, la condición es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\gg ka/g} . El valor de la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} puede escribirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = -a\dfrac{mg}{3ka}\left(1-\dfrac{ka}{mg}\right) }

La condición del enunciado implica también Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ka\ll mg} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mg \gg ka} . Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y\simeq -a\dfrac{mg}{3ka} }

Es decir, la posición de equilibrio de la partícula corresponde a valores negativos de la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} y con valor absoluto mucho mayor que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} . (En realidad sería mucho mayor que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a/3} , pero en orden de magnitud es equivalente)