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Equilibrio de una partícula bajo la acción de tres muelles (GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula libre de masa m está unida a tres muelles de longitud natural nula y constantes elásticas kA, kB y kC. Cada uno de los muelle tiene el otro extremo fijado en un punto. Las coordenadas de los puntos de fijación son A( − a,0,0), B(a,0,0) y C(0,a,0).

  1. Calcula la posición de equilibrio de la partícula.
  2. Considera las situaciones siguientes
    1. m = 0 y kA = kB = kC = k
    2. m = 0 y k_A=k_B\gg k_C
    3. kA = kB = kC = k y m > > ka / g.

2 Solución

Tenemos una partícula libre sometida a cuatro fuerzas activas, una por cada muelle mas la gravedad. Al no estar sometida a ninguna ligadura la partícula tiene tres grados de libertad. Su posición de equilibrio es


  \vec{r} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath} + z\,\vec{k}

donde x, y, z pueden tomar cualquier valor.

Como los muelles tienen longitud nula, las fuerzas a la que cada uno somete a la partícula cuando esta se encuentre en una posición \vec{r} son


  \left.
  \begin{array}{l}
    \vec{F}_A = -k_A(\vec{r}-\vec{r}_A)\\
    \vec{F}_B  = -k_B(\vec{r}-\vec{r}_B)\\
    \vec{F}_C  = -k_C(\vec{r}-\vec{r}_C)
  \end{array}
  \right.

donde los vectores \vec{r}_A, \vec{r}_B, \vec{r}_C son los vectores que apuntan al punto de anclaje de cada muelle. Según los datos del problema


  \vec{r}_A = \overrightarrow{OA}=-a\,\vec{\imath}, \qquad\qquad \vec{r}_B = \overrightarrow{OB}=a\,\vec{\imath}, \qquad\qquad \vec{r}_C=\overrightarrow{OC}=a\,\vec{\jmath}

Suponemos la gravedad actuando en la dirección negativa del eje OY. La fuerza gravitatoria sobre la partícula es


  \vec{F}_g = -mg\,\vec{\jmath}

Para que haya equilibrio mecánica la resultante del sistema de fuerzas aplicadas sobre a partícula debe tener resultante nula. Esta condición nos proporciona una ecuación vectorial que equivale a tres ecuaciones escalares, una por cada componente


  \sum\limits_{i=1}^n=\vec{0} \Longrightarrow \vec{F}_A+\vec{F}_B+\vec{F}_C+\vec{F}_g = \vec{0}
  \Longrightarrow
  \left\{
  \begin{array}{rcl}
    -(k_A+k_B+k_C)x - (k_A-k_B)a&=&0\\
    -(k_A+k_B+k_C)y + k_Ca -mg&=&0\\
    -(k_A+k_B+k_C)z &=&0
  \end{array}
  \right.

Tenemos así tres ecuaciones para tres incógnitas, el valor de las coordenadas de equilibrio de la partícula. Despejando obtenemos


  \left.
  \begin{array}{ccccc}
    x=\dfrac{(k_B-k_A)a}{k_A+k_B+k_C}&\qquad\qquad&y= \dfrac{k_Ca-mg}{k_A+k_B+k_C}&\qquad\qquad&z=0
  \end{array}
  \right.

La posición de equilibrio se encuentra en el plano OXY, esto es, el definido por los puntos de anclaje de los muelles.

2.1 Caso a

Los tres muelles tienen la misma constante elástica y se desprecia el peso de la partícula. La posición de equilibrio es


  \left.
  \begin{array}{ccccc}
    x=0&\qquad\qquad& y= \dfrac{a}{3}&\qquad\qquad&z=0
  \end{array}
  \right.

Como los muelles A y B son iguales la posición de equilibrio esta en el OY, donde todos los puntos son equidistantes de los puntos A y B. La partícula está algo más cerca del origen que del punto C porque el triángulo no es equilátero. Si lo fuera el punto de equilibrio estaría a la misma distancia de los tres vértices.

2.2 Caso b

De nuevo se desprecia el peso, pero los muelles A y B son iguales entre sí y con un valor de la constante mucho mayor que la del muelle C. La situación de equilibrio es


  \left.
  \begin{array}{ccccc}
    x=0&\qquad\qquad& y= \dfrac{k_C}{2k+k_C}a&\qquad\qquad&z=0
  \end{array}
  \right.

Al ser mucho más fuertes los muelles en A y B deben tirar con más fuerza de la partícula. El valor de equilibrio y de puede escribirse


  y = a\dfrac{k_C}{2k}\left(1+\dfrac{k_C}{2k}\right)^{-1}

Usamos ahora el desarrollo de Taylor de la función (1 + x)n. Cuando x es mucho menor que 1 se tiene


  (1+x)^n\simeq 1 + nx + O(x^2)

La expresión O(x2) significa que los términos despreciados en el desarrollo son del orden de x2 o potencias mayores de x. Estos términos son despreciables pues si x\ll1 cualquier potencia de x es todavía más pequeña. En la expresión de y tenemos que x = kC / 2k y n = − 1. Por tanto, si k_C\ll k podemos escribir


  y\simeq a\dfrac{k_C}{2k}\left(1-\dfrac{k_C}{2k}\right)

Como (k_C/2k)\ll1, este valor de y es mucho menor que a. Es decir, en la posición de equilibrio la partícula se encuentra muy próxima a la línea que une los puntos de anclaje de los muelles A y B. Esto es coherente con el hecho de que esos dos muelles tienen constantes elásticas mucho mayores que la del muelle en C, y por tanto tiran con más fuerza de la partícula.

2.3 Caso c

Ahora los tres muelles tienen la misma constante elástica y tenemos en cuenta la gravedad. La posición de equilibrio viene dada por


  \left.
  \begin{array}{ccccc}
    x=0&\qquad\qquad& y= \dfrac{ka-mg}{3k}&\qquad\qquad&z=0
  \end{array}
  \right.

El enunciado nos dice que la masa es muy grande. En concreto, la condición es m\gg ka/g. El valor de la coordenada y puede escribirse


  y = -a\dfrac{mg}{3ka}\left(1-\dfrac{ka}{mg}\right)

La condición del enunciado implica también ka\ll mg y mg \gg ka. Por tanto


  y\simeq -a\dfrac{mg}{3ka}

Es decir, la posición de equilibrio de la partícula corresponde a valores negativos de la coordenada y y con valor absoluto mucho mayor que a. (En realidad sería mucho mayor que a / 3, pero en orden de magnitud es equivalente)

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