Equilibrio de una partícula bajo la acción de tres muelles (GIA)

Enunciado

Una partícula libre de masa $m$ está unida a tres muelles de longitud natural nula y constantes elásticas $k_{A}$, $k_{B}$ y $k_{C}$. Cada uno de los muelle tiene el otro extremo fijado en un punto. Las coordenadas de los puntos de fijación son $A(-a,0,0)$, $B(a,0,0)$ y $C(0,a,0)$.

1. Calcula la posición de equilibrio de la partícula.
2. Considera las situaciones siguientes
   1. $m=0$ y $k_{A}=k_{B}=k_{C}=k$
   2. $m=0$ y $k_{A}=k_{B}\gg k_{C}$
   3. $k_{A}=k_{B}=k_{C}=k$ y $m>>ka/g$.

Solución

Tenemos una partícula libre sometida a cuatro fuerzas activas, una por cada muelle mas la gravedad. Al no estar sometida a ninguna ligadura la partícula tiene tres grados de libertad. Su posición de equilibrio es

${\vec {r}}=x\,{\vec {\imath }}+y\,{\vec {\jmath }}+z\,{\vec {k}}$

donde $x$, $y$, $z$ pueden tomar cualquier valor.

Como los muelles tienen longitud nula, las fuerzas a la que cada uno somete a la partícula cuando esta se encuentre en una posición ${\vec {r}}$ son

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {F}}_{A}=-k_{A}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{A})\\{\vec {F}}_{B}=-k_{B}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{B})\\{\vec {F}}_{C}=-k_{C}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{C})\end{array}}\right.$

donde los vectores ${\vec {r}}_{A}$, ${\vec {r}}_{B}$, ${\vec {r}}_{C}$ son los vectores que apuntan al punto de anclaje de cada muelle. Según los datos del problema

${\vec {r}}_{A}={\overrightarrow {OA}}=-a\,{\vec {\imath }},\qquad \qquad {\vec {r}}_{B}={\overrightarrow {OB}}=a\,{\vec {\imath }},\qquad \qquad {\vec {r}}_{C}={\overrightarrow {OC}}=a\,{\vec {\jmath }}$

Suponemos la gravedad actuando en la dirección negativa del eje $OY$. La fuerza gravitatoria sobre la partícula es

${\vec {F}}_{g}=-mg\,{\vec {\jmath }}$

Para que haya equilibrio mecánica la resultante del sistema de fuerzas aplicadas sobre a partícula debe tener resultante nula. Esta condición nos proporciona una ecuación vectorial que equivale a tres ecuaciones escalares, una por cada componente

$\sum \limits _{i=1}^{n}={\vec {0}}\Longrightarrow {\vec {F}}_{A}+{\vec {F}}_{B}+{\vec {F}}_{C}+{\vec {F}}_{g}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{rcl}-(k_{A}+k_{B}+k_{C})x-(k_{A}-k_{B})a&=&0\\-(k_{A}+k_{B}+k_{C})y+k_{C}a-mg&=&0\\-(k_{A}+k_{B}+k_{C})z&=&0\end{array}}\right.$

Tenemos así tres ecuaciones para tres incógnitas, el valor de las coordenadas de equilibrio de la partícula. Despejando obtenemos

$\left.{\begin{array}{ccccc}x={\dfrac {(k_{B}-k_{A})a}{k_{A}+k_{B}+k_{C}}}&\qquad \qquad &y={\dfrac {k_{C}a-mg}{k_{A}+k_{B}+k_{C}}}&\qquad \qquad &z=0\end{array}}\right.$

La posición de equilibrio se encuentra en el plano $OXY$, esto es, el definido por los puntos de anclaje de los muelles.

Caso a

Los tres muelles tienen la misma constante elástica y se desprecia el peso de la partícula. La posición de equilibrio es

$\left.{\begin{array}{ccccc}x=0&\qquad \qquad &y={\dfrac {a}{3}}&\qquad \qquad &z=0\end{array}}\right.$

Como los muelles $A$ y $B$ son iguales la posición de equilibrio esta en el $OY$, donde todos los puntos son equidistantes de los puntos $A$ y $B$. La partícula está algo más cerca del origen que del punto $C$ porque el triángulo no es equilátero. Si lo fuera el punto de equilibrio estaría a la misma distancia de los tres vértices.

Caso b

De nuevo se desprecia el peso, pero los muelles $A$ y $B$ son iguales entre sí y con un valor de la constante mucho mayor que la del muelle $C$. La situación de equilibrio es

$\left.{\begin{array}{ccccc}x=0&\qquad \qquad &y={\dfrac {k_{C}}{2k+k_{C}}}a&\qquad \qquad &z=0\end{array}}\right.$

Al ser mucho más fuertes los muelles en $A$ y $B$ deben tirar con más fuerza de la partícula. El valor de equilibrio $y$ de puede escribirse

$y=a{\dfrac {k_{C}}{2k}}\left(1+{\dfrac {k_{C}}{2k}}\right)^{-1}$

Usamos ahora el desarrollo de Taylor de la función $(1+x)^{n}$. Cuando $x$ es mucho menor que 1 se tiene

$(1+x)^{n}\simeq 1+nx+O(x^{2})$

La expresión $O(x^{2})$ significa que los términos despreciados en el desarrollo son del orden de $x^{2}$ o potencias mayores de $x$. Estos términos son despreciables pues si $x\ll 1$ cualquier potencia de $x$ es todavía más pequeña. En la expresión de $y$ tenemos que $x=k_{C}/2k$ y $n=-1$. Por tanto, si $k_{C}\ll k$ podemos escribir

$y\simeq a{\dfrac {k_{C}}{2k}}\left(1-{\dfrac {k_{C}}{2k}}\right)$

Como $(k_{C}/2k)\ll 1$, este valor de $y$ es mucho menor que $a$. Es decir, en la posición de equilibrio la partícula se encuentra muy próxima a la línea que une los puntos de anclaje de los muelles $A$ y $B$. Esto es coherente con el hecho de que esos dos muelles tienen constantes elásticas mucho mayores que la del muelle en $C$, y por tanto tiran con más fuerza de la partícula.

Caso c

Ahora los tres muelles tienen la misma constante elástica y tenemos en cuenta la gravedad. La posición de equilibrio viene dada por

$\left.{\begin{array}{ccccc}x=0&\qquad \qquad &y={\dfrac {ka-mg}{3k}}&\qquad \qquad &z=0\end{array}}\right.$

El enunciado nos dice que la masa es muy grande. En concreto, la condición es $m\gg ka/g$. El valor de la coordenada $y$ puede escribirse

$y=-a{\dfrac {mg}{3ka}}\left(1-{\dfrac {ka}{mg}}\right)$

La condición del enunciado implica también $ka\ll mg$ y $mg\gg ka$. Por tanto

$y\simeq -a{\dfrac {mg}{3ka}}$

Es decir, la posición de equilibrio de la partícula corresponde a valores negativos de la coordenada $y$ y con valor absoluto mucho mayor que $a$. (En realidad sería mucho mayor que $a/3$, pero en orden de magnitud es equivalente)