Ejercicio de cinemática del sólido rígido, Febrero 2013 (F1 GIA)

Enunciado

Una pieza triangular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ABC} se mueve respecto de un sistema de referencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXYZ} , comportándose como un sólido rígido. Los vértices Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} de la pieza van recorriendo los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY} , respecti-vamente, mientras que el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} se desplaza siempre contenido en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} . En un determinado instante, cuando los vértices ocupan las posiciones de coordenadas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A(a,a,0)\mathrm{;}\quad B(0,2a,0)\mathrm{;}\quad C(0,0,2a)}

la velocidad instantánea del vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B=v_0\!\ \vec{\jmath}} . Determine, para dicho instante de tiempo:

1. Velocidad del vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y vector rotación instantánea.
2. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.
3. Derivada instantánea del vector rotación, sabiendo que el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} se mueve con velocidad instantánea constante.

Solución

Velocidad del vértice A y vector rotación

Para determinar la velocidad instantánea del vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} podemos utilizar las propiedades conocidas del movimiento de los tres vértices y la propiedad de equiproyectividad del campo de velocidades del sólido:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A=v_x\!\ \vec{\imath}+v_y\!\ \vec{\jmath}\,\mathrm{;}\,\quad\vec{v}^B=v_0\!\ \vec{\jmath}\,\mathrm{;}\,\quad\vec{v}^C=v_z\!\ \vec{k}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{lcr}\displaystyle\vec{v}^A\cdot \overrightarrow{AB}=a\!\ (v_y-v_x)=a\!\ v_0=\vec{v}^B\cdot \overrightarrow{AB}&\Longrightarrow & -v_x+v_y= v_0\\ \\ \displaystyle \vec{v}^A\cdot \overrightarrow{AC}=-a\!\ (v_x+v_y)=2a\!\ v_z=\vec{v}^C\cdot \overrightarrow{AC}&\Longrightarrow & v_x+v_y=-2\!\ v_z\\ \\ \displaystyle \vec{v}^C\cdot \overrightarrow{BC}=2a\!\ v_z=-2a\!\ v_0=\vec{v}^B\cdot \overrightarrow{BC}&\Longrightarrow & v_z=-v_0 \end{array}\right\}\quad\to\quad} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l}\vec{v}^C=-v_0\!\ \vec{k}\\ \\ \displaystyle \vec{v}^A=\frac{v_0}{2}\!\ \bigg( \vec{\imath}+ 3\!\ \vec{\jmath}\!\ \bigg)\end{array}}

Para calcular las componentes cartesianas del vector rotación que caracteriza el movimiento del sólido en el instante considerado, podemos utilizar el teorema de Chasles:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\omega_x\!\ \vec{\imath}+\omega_y\!\ \vec{\jmath}+\omega_z\!\ \vec{k}\,\mathrm{,}\,\quad\mathrm{tal}\;\,\mathrm{que}\quad\left\{ \begin{array}{l}\vec{v}^C-\vec{v}^B=\vec{\omega}\times\overrightarrow{BC}\\ \\ \vec{v}^C-\vec{v}^A=\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}\end{array}\right\} \quad\longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle 0=2a\!\ \big( \omega_y+\omega_z \big)\\ \\ \displaystyle -v_0=-2a\!\ \omega_x \\ \\ \displaystyle -v_0=-2a\!\ \omega_z\end{array}\right. }

Resolviendo este sistema algebraico se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=\frac{v_0}{2a}\bigg(\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}\!\ \bigg)}

Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento

En el instante bajo estudio, el invariante escalar del campo de velocidades es no nulo, por tanto, el movimiento instantáneo del sólido es un movimiento helicoidal tangente. Es decir, en dicho instante, el sólido rígido ejecuta una rotación instantánea alrededor de un eje, a la vez que todos los puntos del sólido realizan una traslación instantánea paralela a dicho eje. Es éste el eje instantáneo de rotación y mínimo desplazamiento, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_\mathrm{EIRMD}} , cuya ecuación vectorial es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_\mathrm{EIRMD}:\ \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OI^*}+\lambda\!\ \vec{\omega}\,\mathrm{;}\,\quad\lambda\in \mathrm{I}\!\mathrm{R}}

La posición del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I^*} del EIRMD, está completamente determinada por los elementos de la reducción cinemática. Así, si se toma como centro de reducción el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , se tendrá:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BI^*}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}^B}{|\vec{\omega}|^2}=\frac{2\!\ a}{3}\!\ \bigg(-\vec{\imath}+ \vec{k}\!\ \bigg)\qquad\to\qquad} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BI^*}=\frac{2\!\ a}{3}\!\ \bigg(-\vec{\imath}+ 3\!\ \vec{\jmath}+ \vec{k}\!\ \bigg)}

La velocidad instantánea de cualquier punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} de sólido rígido puede escribirse como la suma de dos términos vectoriales que se corresponden con la composición de los movimientos de traslación y rotación anteriormente descritos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P=\vec{v}^I+\omega\times \overrightarrow{IP}}

En los puntos del sólido rígido (reales o virtuales) que se encuentran sobre el EIRMD, la velocidad sólo tiene la componente de traslación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^I} , paralela a dicho eje y al vector rotación instantánea. Además, éstos son los puntos del campo de velocidades en que dicha magnitud tiene módulo mínimo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall\, X\in \Delta_\mathrm{EIRMD}\,\mathrm{,}\,\;\,\vec{v}^X=\vec{v}^I\!\ \|\!\ \vec{\omega}\qquad\to\qquad} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^I=\frac{v_\mathrm{min}}{\sqrt{3}}\ \bigg(\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}\!\ \bigg)\,\mathrm{,}\,\;\,\mathrm{con}\,\;\, v_\mathrm{min}=\frac{\vec{\omega}\cdot \vec{v}^B}{|\vec{\omega}|}=-\frac{\sqrt{3}v_0}{3}}

Derivada instantánea del vector rotación

Para determinar las componentes de esta magnitud instantánea vectorial,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}=\alpha_x\!\ \vec{\imath}+\alpha_y\!\ \vec{\jmath}+\alpha_z\!\ \vec{k}}

podemos aplicar las propiedades del campo de aceleración del sólido rígido, del cual sabemos lo siguiente: el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} se mueve con velocidad constante y, por tanto, su aceleración es nula; el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} puede estar acelerado, pero sólo tiene componente en la dirección del unitario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}} , y la aceleración del vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} no puede tener componente en la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}} ; es decir...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B=\vec{0}\,\mathrm{;}\,\quad\vec{\imath}\cdot\vec{a}^C=\vec{\jmath}\cdot\vec{a}^C=\vec{k}\cdot\vec{a}^A=0}

Combinando estas propiedades con las expresiones vectoriales que determinan el campo de aceleraciones instantánteas, a partir de la aceleración de un punto, el vector rotación y su derivada instantánea,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l}\vec{a}^A=\vec{a}^B+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{BA}+\vec{\omega}\times\big(\vec{\omega}\times\overrightarrow{BA}\big)\\ \\ \vec{a}^C=\vec{a}^B+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{BC}+\vec{\omega}\times\big(\vec{\omega}\times\overrightarrow{BC}\big)\end{array}}

... obtenemos un conjunto de ecuaciones que permiten determinar las componentes cartesianas de la derivada del vector rotación:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}\displaystyle 0=2\!\ a \big(\alpha_y+\alpha_z\big)+\frac{v_0^2}{a}\\ \\ \displaystyle 0=-2\!\ a \!\ \alpha_x+\frac{v_0^2}{2a}\\ \\ \displaystyle 0= a \big(\alpha_x+\alpha_y\big)-\frac{v_0^2}{2\!\ a}\end{array}\right\}}    ⇒   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}=\frac{v_0^2}{4\!\ a^2}\ \bigg( \vec{\imath}+ \vec{\jmath}-3\! \ \vec{k}\!\ \bigg)}