Ejercicio de Movimiento Plano, Diciembre 2012 (F1 GIA)

Enunciado

Una barra rígida (sólido “2”) de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} realiza un movimiento plano cuando sus extremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} deslizan, respectivamente, por un plano horizontal y otro inclinado (sólido “1”) que forman un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi/4} .

1. Describa la reducción cinemática del movimiento {21} en términos del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} y de su derivada temporal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}} , así como la posición del C.I.R.
2. Si el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} realiza un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} , obtenga el vector rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}} y su derivada temporal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}} , en función de la posición de la barra.
3. En las condiciones del apartado anterior, obtenga la expresión de la velocidad y la aceleración del extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} .

Solución

Reducción cinemática del movimiento

El movimiento de la barra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{AB}} (sólido “2”), respecto de las superficies no ortogonales (sólido “1”) por las que deslizan los extremos de aquélla, quedá completamente caracterizado en cada instante por el vector rotación instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}} , y la velocidad de un punto del sólido “2”; por ejemplo, la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^A} del extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la barra:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{21}(t)\equiv\big\{\vec{\omega}_{21}(t)\mathrm{;}\!\ \vec{v}_{21}^A(t)\big\}}

Para determinar estos elementos definimos sendos sistemas de referencia asociados a cada uno de los sólidos: un Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1Z_1} tal que el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Z_1} coincida con el plano horizontal del sólido “1”, tal como se indica en la figura. Para el sólido “2” definimos un sistema Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AX_2Y_2Z_2} tal que la propia barra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{AB}} coincida con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AY_2} , y el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AZ_2} sea en todo instante paralelo al Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} . Como consecuencia de esta elección, podemos obtener una condición sobre la dirección que ha de tener el vector rotación:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AZ_2\!\ \|\!\ OZ_1\mathrm{,}\;\;\forall\,t \quad\Longrightarrow\quad \vec{k}_2(t)=\vec{k}_1\quad\Longrightarrow\quad\frac{\mathrm{d}\vec{k}_2(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=\vec{0}=\vec{\omega}_{21}(t)\times\vec{k}_2(t)}

Para que se verifique este resultado en todo instante debe ocurrir que, o bien el vector rotación es nulo, o es siempre paralelo al vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_2 (t)} . La primera posibilidad ha de ser descartada, pues cuando la barra se mueve deslizando sus extremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} sobre los planos horizontal e inclinado, las velocidades de dichos puntos son estrictamente distintos. En consecuencia, dicho vector va a tener en todo instante la dirección de los vecotores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_2=\vec{k}_1} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^B(t)-\vec{v}_{21}^A(t)=\vec{\omega}_{21}(t)\times\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}\quad\Longrightarrow\quad\vec{\omega}_{21}(t)=\omega_{21}(t)\!\ \vec{k}_1}

Por otra parte, la elección de ejes es tal que el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la barra se desplace en todo momento a lo largo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} . Se tendrá, por tanto:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=\vec{r}_A(t)=x_A(t)\!\ \vec{\imath}_1\quad\Longrightarrow\quad S_{21}(t)\equiv\left\{\begin{array}{l}\vec{\omega}_{21}(t)=\omega_{21}(t)\!\ \vec{k}_1\\ \\ \vec{v}_{21}^A(t)=\dot{x}_A(t)\!\ \vec{\imath}_1=v_A(t)\!\ \vec{\imath}_1\end{array}\right.}

Nótese que esta reducción cinemática es características de un movimiento plano: en todo instante de tiempo el vector rotación instantánea tiene la misma dirección, a la cuál son siempre perpendiculares las velocidades instantáneas de todos los puntos del sólido:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}(t)\!\ \|\!\ \vec{k}_1 \!\ \perp\!\ \vec{v}_{21}^P(t)\mathrm{,}\;\; \forall\,P\mathrm{,}\!\ t }

En el enunciado se pide determinar las magnitudes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_A} en función de los valores de la varible geométrica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} y de su derivada instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}} . Para ello, aplicamos las propiedades del campo de velocidades del sólido rígido, que se sintetizan en el teorema de Chasles. Necesitamos, por tanto la expresión de la velocidad de otro punto de la barra, de la cuál conozcamos ciertas propiedades a priori. Esto ocurre con el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , que se desplaza siempre sobre el plano inclinado un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi/4} respecto de la horizontal, y siempre a distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} del extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Aplicando esta última propiedad, tenemos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=\vec{r}_B(t)-\vec{r}_A(t)=L\!\ \bigg[-\cos\theta(t)\!\ \vec{\imath}_1+\mathrm{sen}\!\ \theta(t)\!\ \vec{\jmath}_1\!\ \bigg]\quad\Longrightarrow\quad\frac{\mathrm{d}\vec{r}_B(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1-\!\ \frac{\mathrm{d}\vec{r}_A(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=\vec{v}_{21}^B(t)-\vec{v}_{21}^A(t)=L\!\ \dot{\theta}(t)\!\ \bigg[\mathrm{sen}\!\ \theta(t)\vec{\imath}_1+\cos\theta(t)\!\ \vec{\jmath}_1\!\ \bigg]}

donde hemos tenido en cuenta que las anteriores derivadas temporales son las definiciones de las velocidades instantáneas de los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , respectivamente. Si aplicamos el teorema de Chasles para dichas velocidades, teniendo en cuenta la dirección conocida del vector rotación, se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^B(t)-\vec{v}_{21}^A(t)=\vec{\omega}_{21}(t)\times\overrightarrow{AB}=-L\!\ \omega_{21}(t) \!\ \bigg[\mathrm{sen}\!\ \theta(t)\vec{\imath}_1+\cos\theta(t)\!\ \vec{\jmath}_1\!\ \bigg]}

Identificando las dos expresiones obtenidas para la diferencia entre las velocidades de los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , determinamos la expresión del vector rotación en términos del valor de la derivada instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}(t)=-\dot{\theta}(t)\!\ \vec{k}_1}

Obsérvese que el signo (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -} ) que aparece en la expresión del vector rotación es clave para describir correctamente el movimiento del sólido “2”. Cuando el movimiento instantáneo de la barra es un giro en sentido antihorario, el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} indicado en la figura disminuye su valor; en consecuencia, se tendrá que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}} es un número negativo y el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}} es estrictamente paralelo al vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_1} . Por el contrario, si la barra se mueve girando en sentido horario, el parámetro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} crece en el tiempo y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}} será positivo. En este caso, el vector rotación será antiparalelo al vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_1} , lo cual se corresponde con el sentido de giro propuesto.

Para obtener la expresión de la magnitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_A} , utilizaremos la propiedad del movimiento de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , mencionada anteriormente: como este punto se desplaza siempre sobre el plano inclinado, la dirección de su velocidad está predeterminada:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^B(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\!\ v_B(t)\!\ \bigg[\vec{\imath}_1\!\ -\!\ \vec{\jmath}_1\!\ \bigg]\quad\Longrightarrow\quad\vec{v}_{21}^B(t)\!\ -\!\ \vec{v}_{21}^A(t)=\bigg[\frac{v_B(t)}{\sqrt{2}}\!\ -\!\ v_A(t)\bigg]\!\ \vec{\imath}_1\!\ -\!\ \frac{v_B(t)}{\sqrt{2}}\!\ \vec{\jmath}_1}

Las componentes de este vector deben ser iguales a las de las anteriores expresiones obtenidas para la diferencia de velocidades; es decir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}\displaystyle \frac{v_B(t)}{\sqrt{2}}\!\ -\!\ v_A(t)=L\!\ \dot{\theta}(t)\!\ \mathrm{sen}\!\ \theta(t)\\ \\ \displaystyle-\frac{v_B(t)}{\sqrt{2}}=L\!\ \dot{\theta}(t)\!\ \cos\theta(t)\end{array}\right\}\quad\to\quad} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^A(t)=-L\!\ \dot{\theta}(t)\!\ \bigg[\cos\theta(t)+\mathrm{sen}\!\ \theta(t)\bigg]\!\ \vec{\imath}_1}

Posición del C.I.R.

Una vez obtenidas las expresiones de los elementos de la reducción cinemática, podemos obtener la correspondiente posición del centro instantáneo de rotación (C.I.R.) del movimiento {21}, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} , mediante un procedimiento analítico. La posición relativa, respecto del centro de reducción Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , del punto geométrico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I=I_{21}} , que coincide en un determinado instante con dicho C.I.R., viene dada por el segmento orientado:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AI}(t)=\frac{\vec{\omega}_{21}(t)\times\vec{v}_{21}^A(t)}{|\vec{\omega}_{21}(t)|^2}=\frac{L\!\ \dot{\theta}^2(t)\!\ \big[\cos\theta(t)+\mathrm{sen}\!\ \theta(t)\big]\!\ \vec{k}_1\times\vec{\imath}_1}{\dot{\theta}^2(t)}\qquad\Rightarrow\qquad} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AI}(\theta)=L\!\ \big[\cos\theta+\mathrm{sen}\!\ \theta\big]\!\ \vec{\jmath}_1}

La consecuencia de este resultado es que, en todo instante de tiempo, la posición relativa del C.I.R. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} , respecto de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , está determinada por el valor del parámetro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} , y no depende del valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}} . Es decir, la posición del C.I.R. depende de la posición de la barra (sólido “2”), pero no de cómo se mueve ésta.

Obsérvese que, tal como debe cumplirse necesariamente, la posición instantánea del C.I.R. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} coincide con el punto de intersección de las rectas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_B} , contenidas en el plano director, que en cada instante pasan por los respectivos extremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} de la barra, y que son perpendiculares a la dirección de la velocidades del punto correspondiente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^I=\vec{0}\quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\vec{v}_{21}^A=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{IA}\\ \\ \vec{v}_{21}^B=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{IB}\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad I=I_{21}=\Delta_A\bigcap\Delta_B}

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_B} son tales que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\in\Delta_A\!\ \perp\!\ \vec{k}_1\mathrm{,}\!\ \vec{v}_{21}^A\mathrm{;}\qquad B\in\Delta_B\!\ \perp\!\ \vec{k}_1\mathrm{,}\!\ \vec{v}_{21}^B}

Caso de movimiento rectilíneo uniforme del extremo A

En el apartado anterior hemos obtenido la expresión general de la reducción cinemática, en términos de una ley horaria arbitraria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)} y de su derivada instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}(t)} . En éste y en el siguiente apartado se plantea un caso particular de movimiento de la barra, en el cuál, su extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} se desplaza a lo largo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} con un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad constante de valor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} . Es decir,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_A(t)=-L\!\ \dot{\theta}(t)\!\ \bigg[\cos\theta(t)+\mathrm{sen}\!\ \theta(t)\bigg]=v_0\mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}\quad\Longrightarrow\quad \dot{\theta}(t)=\frac{\mathrm{d}\theta(t)}{\mathrm{d}t}=-\frac{v_0}{L\!\ \big[\cos\theta(t)+\mathrm{sen}\!\ \theta(t)\big]}}

Obsérvese que esta última expresión es la ecuación diferencial que, una vez integrada, con las condiciones iniciales pertinentes, proporciona la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)} . Aunque no se solicita dicha ley en el enunciado, puede calcularse de manera relativamente fácil: en la ecuación diferencial separamos en términos distintos los factores que dependen del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} y del tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} y procedemos a integrar cada uno de dichos términos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\! \big(\cos\theta+\mathrm{sen}\!\ \theta\big)\!\ \mathrm{d}\theta=-\int\!\frac{v_0}{L}\ \mathrm{d}t \quad\longrightarrow\quad\theta(t)\mathrm{,}\;\;\;\mbox{tal que}\;\;\;\cos\theta(t)-\mathrm{sen}\!\ \theta(t)=\frac{v_0}{L}\ t+C}

El valor de la constante de integración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} depende de cúal fuese la posición en el instante inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} . Por ejemplo, si consideramos que en dicho instante la barra se encuentra completamente apoyada en el plano inclinado -es decir, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t=0)=\pi/4} -, con su extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} situado en el origen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , el valor de la constante es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C=0} .

Sin embargo, desde el punto de vista de las propiedades cinemáticas del movimiento de la barra, resulta mucho más interesante que podemos obtener una expresión de la reducción cinemática, estrictamente en términos de la posición de dicho sólido “2”, la cuál viene dada por el valor del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} en cada instante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{21}(\theta)\equiv\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\vec{\omega}_{21}(\theta)=\frac{v_0}{L\!\ \big(\cos\theta+\mathrm{sen}\!\ \theta\big)}\!\ \vec{k}_1 \\ \\ \displaystyle\vec{v}_{21}^A(\theta)=v_0\!\ \vec{\imath}_1\mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}\end{array}\right.}

Y con la información que disponemos, también podemos calcular los valores de las derivadas instantáneas de los elementos de la reducción, en función de la posición de la barra. Comenzando por el vector rotación, se tendrá:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=-\frac{\mathrm{d}\dot{\theta}(t)}{\mathrm{d}t}\ \vec{k}_1=-\ddot{\theta}(t)\!\ \vec{k}_1}

Aplicando la regla de la cadena en la expresión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}[\theta(t)]} del comienzo de este apartado, se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}(\theta)=\frac{v_0}{L}\ \frac{\big(\cos\theta-\mathrm{sen}\!\ \theta\big)}{\big(\cos\theta+\mathrm{sen}\!\ \theta\big)^2}\ \dot{\theta}(\theta)\qquad\Rightarrow\qquad} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}(t)=\frac{v_0^2}{L^2}\ \frac{\big(\cos\theta-\mathrm{sen}\!\ \theta\big)}{\big(\cos\theta+\mathrm{sen}\!\ \theta\big)^3}\!\ \vec{k}_1}

Por otra parte, como el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} realiza un movimiento rectilínea uniforme, su aceleración es nula en todo instante y para cualquier posición de la barra:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^A(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^A}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\,\theta(t)}

Movimiento del extremo B en las condiciones del apartado anterior

Una vez obtenida la reducción cinemática que describe el movimiento {21} en cualquier instante de tiempo, y las derivadas de sus elementos, tenemos determinado los campos de velocidades y aceleraciones de la barra cuando se mueve respecto del sólido fijo (sólido “1”). Así, la velocidad y aceleración instantáneas de cualquier punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} del sólido “2”, han de ser:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l}\vec{v}_{21}^P(t)=\vec{v}_{21}^A(t)+\vec{\omega}_{21}(t)\times\overrightarrow{AP}\\ \\ \vec{a}_{21}^P(t)=\vec{a}_{21}^A(t)+\vec{\alpha}_{21}(t)\times\overrightarrow{AP}+\vec{\omega}_{21}(t)\times\bigg[\vec{\omega}_{21}(t)\times\overrightarrow{AP}\bigg]=\vec{a}_{21}^A(t)+\vec{\alpha}_{21}(t)\times\overrightarrow{AP}-|\vec{\omega}_{21}(t)|^2\ \overrightarrow{AP}\end{array}}

Para las condiciones del apartado anterior (movimiento rectilíneo uniforme del extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la barra), obtuvimos expresiones para los elementos de la reducción y sus derivadas, en términos de la posición de la barra dada por el parámetro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} . La velocidad del extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , en función de la posición se obtendría del siguiente cálculo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^B(\theta)=\vec{v}_{21}^A(\theta)+\vec{\omega}_{21}( \theta)\times\overrightarrow{AB}}

Pero también podemos obtenerla a partir de la expresión general de la velocidad de dicho punto, que obtuvimos en el apartado 2.1:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^B(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\!\ v_B(t)\!\ \bigg[\vec{\imath}_1\!\ -\!\ \vec{\jmath}_1\!\ \bigg]\mathrm{;}\quad\mbox{con}\quad v_B(t)=-\sqrt{2}\!\ L\!\ \dot{\theta}(t)\!\ \cos\theta(t) }

Sustituyendo la expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}(\theta)} obtenida en el apartado anterior...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^B(\theta)=\frac{v_0\!\ \cos\theta}{\cos\theta+\mathrm{sen}\!\ \theta}\!\ \big[\vec{\imath}_1\!\ -\!\ \vec{\jmath}_1\!\ \big]}

Para calcular la aceleración intantánea del extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , podríamos derivar con respecto al tiempo teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\theta(t)} y que conocemos el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}} en cada instante o para cada posición de la barra. No obstante, apliquemos la expresión del campo de aceleraciones en este caso:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}\displaystyle \vec{a}_{21}^B(\theta)=\overbrace{\vec{a}_{21}^A(\theta)}^{=\vec{0}}+\vec{\alpha}_{21}(\theta)\times\overrightarrow{AB}-|\vec{\omega}_{21}(\theta)|^2\ \overrightarrow{AB}\\ \\ \displaystyle\overrightarrow{AB}=L\!\ \big[-\cos\theta\!\ \vec{\imath}_1+\mathrm{sen}\!\ \theta\!\ \vec{\jmath}_1\!\ \big]=L\!\ \vec{\jmath}_2(\theta)\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad \vec{a}_{21}^B(\theta)=- \frac{v_0^2}{L}\ \frac{\big(\cos\theta-\mathrm{sen}\!\ \theta\big)}{\big(\cos\theta+\mathrm{sen}\!\ \theta\big)^3}\ \vec{\imath}_2(\theta)\!\ -\!\ \frac{v_0^2}{L\!\ \big(\cos\theta+\mathrm{sen}\!\ \theta\big)^2}\ \vec{\jmath}_2(\theta) }

... Y teniendo en cuenta la expresión de los vectores unitarios del sistema de referencia ligado al sólido “2”, en términos función de los del sólido “1”, se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}\displaystyle \vec{\imath}_{2}(\theta)=\mathrm{sen}\!\ \theta\!\ \vec{\imath}_1\!\ + \!\ \cos\theta\!\ \vec{\jmath}_1\\ \\ \displaystyle\vec{\jmath}_{2}(\theta)=-\cos\theta \!\ \vec{\imath}_1\!\ + \!\ \mathrm{sen}\!\ \theta\!\ \vec{\jmath}_1 \end{array}\right\} \qquad\Rightarrow\qquad} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^B(\theta)=\frac{v_0^2}{L\!\ \big(\cos\theta+\mathrm{sen}\!\ \theta\big)^3}\ \big[\vec{\imath}_1\!\ - \!\ \vec{\jmath}_1\!\ \big]}