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Ejemplos de puntos materiales

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Analiza cuantitativamente en que situaciones de los siguientes movimientos el objeto que se mueve puede considerarse un punto material. Busca en internet los valores de las longitudes que necesites.

  1. Una jugadora de tenis recibe un saque.
  2. Un jugador de baloncesto lanza un triple.
  3. La Luna vista desde el Apollo XI.
  4. El cometa Halley visto desde el Sol.

2 Solución

2.1 Jugadora de tenis

En esta situación el objeto que queremos modelar como un punto material es la pelota de tenis. Podemos escoger su diámetro como longitud que la caracterice. Según la Federación Internacional de Tenis la pelota debe ser mayor de 6.54 cm y menor de 6.86 cm. Como el objetivo es un cálculo de orden de magnitud escogemos d=7\,\mathrm{cm} para caracterizar la pelota.

2.1.1 Recepción del saque

Cuando la jugadora va a recibir el saque la distancia entre ella y la pelota es la longitud de la pista. El valor oficial es 23.77 m. Escogemos el valor L_1=24\,\mathrm{m} para caracterizarla. Entonces, el cociente entre las dos longitudes es


\lambda =  \dfrac{d}{L_1}=\dfrac{7\,\mathrm{cm}}{24\,\mathrm{m}} = \dfrac{0.07\,\mathrm{m}}{24\,\mathrm{m}} 
\simeq 0.003 = 3\times 10^{-3}\ll 1.

Como este cociente es muy pequeño, concluimos que en la situación de recepción del saque la jugadora puede modelar la pelota como una partícula material.

2.1.2 Golpeo del resto

En este caso los sistemas que interaccionan son la pelota y la raqueta. La longitud estándar de las raquetas de tenis es de 68.5 cm. Escogemos L_2=70\,\mathrm{cm} como longitud característica de la raqueta. El cociente ahora es


\lambda = \dfrac{d}{L_2} =\dfrac{7\,\mathrm{cm}}{70\,\mathrm{cm}}  = 0.1.

Este es un caso límite. La pelota es bastante más pequeña que la raqueta pero no mucho mas pequeña. Si tenemos en cuenta que el resultado del golpe depende de la forma de golpear la pelota (cortada, plana, liftada) y, sobre todo, con que punto exacto del cordaje se realiza, en este caso no se puede modelar la pelota como un punto material.

2.2 Jugador de baloncesto

Según la FIBA el tamaño de una pelota de baloncesto es de 23-24 cm. Escogemos d=24\,\mathrm{cm} como longitud característica del balón.

2.2.1 Lanzamiento del triple

En esta situación los sistemas que interaccionan son la mano y la pelota. El promedio de una mano de un hombre adulto es de 189 mm, mientras que la longitud media de una mano femenina adulta es de 172 mm. Escogemos L_1=180\,\mathrm{mm} como tamaño característico. El cociente entre las dos longitudes es


\lambda = \dfrac{d}{L_1} = \dfrac{23\,\mathrm{cm}}{180\,\mathrm{mm}}
=
\dfrac{230\,\mathrm{mm}}{180\,\mathrm{mm}} \simeq 1.

Los tamaños son similares. Claramente la pelota no se puede modelar como un punto material en el lanzamiento.

2.2.2 Llegada de la pelota a la canasta

La distancia de la línea de tres puntos a la canasta es de 6.75 m. El cociente ahora es


\lambda = \dfrac{d}{L_2} = \dfrac{24\,\mathrm{cm}}{6.75\,\mathrm{m}}
=
\dfrac{0.24\,\mathrm{m}}{6.75\,\mathrm{m}} \simeq 0.04.

Al ser muy pequeño el movimiento de la pelota se puede modelar como un punto material desde el punto de vista del jugador.

2.2.3 Relación entre la pelota y la canasta

El diámetro de una canasta de baloncesto debe estar entre 450 y 459 mm. Si escogemos L_3=460\,\mathrm{mm}, el cociente relevante es


\lambda =
 \dfrac{d}{L_3} = \dfrac{24\,\mathrm{cm}}{460\,\mathrm{mm}}
=
 \dfrac{240\,\mathrm{cm}}{460\,\mathrm{mm}}
\simeq 0.5.

Son de tamaños similares, por lo que ninguno de los dos objetos se puede modelar como un punto material en esta interacción.

2.3 Apolo XI

2.3.1 Viaje hacia la Luna

EL diámetro de la Luna es d=3472\,\mathrm{km}. La distancia promedio Tierra-Luna es L_1 = 384000\,\mathrm{km}. El cociente entre estos dos valores es


\lambda = \dfrac{d}{L_1} = \dfrac{3472\,\mathrm{km}}{384000\,\mathrm{km}} \simeq 0.01.

Como es muy pequeño la Luna puede considerarse un punto material durante casi todo el viaje.

2.3.2 Alunizaje

El Apolo XI usó el cohete Saturno V para salir de la Tierra. Sin embargo, este cohete se quedaba en la Tierra y durante el viaje la nave consistía en los módulos de Mando y de Servicio. La longitud de los dos módulos unidos era de 11 m. Esta es la longitud L2 que escogemos para caracterizar la nave. El ratio relevante es


\lambda = \dfrac{d}{L_2} = 
\dfrac{3472\,\mathrm{km}}{11\,\mathrm{m}} =
\dfrac{3472\times 10^{3}\,\mathrm{m}}{11\,\mathrm{m}} \simeq 3\times10^{5} \gg 1.

Este cociente es enorme. Esta claro que la Luna no se puede considerar un punto material durante el alunizaje.

2.4 Cometa Halley

El diámetro del cometa Halley es d=5.5\,\mathrm{km}. Su órbita es elíptica con una excentricidad alta. Esto quiere decir que es muy aplastada. El punto más cercano al Sol es el perihelio L=0.6\,\mathrm{UA}. Una UA es una Unidad Astronómica, la distancia media entre la Tierra y el Sol, \mathrm{UA} \simeq 150\times10^6\mathrm{km} Si hacemos el cociente entre esos dos valores obtenemos


\lambda = \dfrac{d}{L} = \dfrac{5.5\,\mathrm{km}}{150\times10^{6}\,\mathrm{km}} \simeq 4\times10^{-8} \ll 1.

Este número es pequeñísimo incluso en el punto de máximo acercamiento. Por tanto, desde el punto de vista del Sol el cometa Halley se puede tratar como un punto material durante todo su movimiento.

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