Ejemplos de movimiento rectílineo

Enunciado

Una partícula se mueve sobre el eje $OX$ según el movimiento dado por la siguientes expresiones. En todos los casos asumimos que el movimiento comienza en $t=0$.

1. $x(t)=A\,t$.
2. $x(t)=B\,(-1+t^{2}/T^{2})$.
3. $x(t)=C\,(1-t/T)(4-t^{2}/T^{2})$.
4. $x(t)=D\,\mathrm {sen} \,(2\pi t/T)$.
5. $x(t)=D\,\left(1-e^{-t/T}\right)$.

Para cada caso, haz un dibujo aproximado de la gráfica que representa el movimiento. Determina en cada caso los instantes de tiempo en los que la partícula se encuentra en el origen, en la parte positiva y en la parte negativa del eje. Si $x$ se mide en metros y $t$ en segundos, determina las unidades de las constantes que aparecen en las expresiones.

Solución

Caso 1

$x(t)=A\,t$

Las unidades de $A$ deben ser las adecuadas para hacer coherente dimensionalmente la expresión de $x(t)$. Como $x$ se mide ne metros y $t$ en segundos tenemos

$[A]=m/s$

Esta curva es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente $A$. Para que el punto esté en el origen debe ocurrir

$x(t)=At=0\Longrightarrow t=0$

Sólo está en el origen en el instante inicial. El resto del tiempo la coordenada $x$ es positiva.

La velocidad es

$v(t)={\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=A.$

La partícula no se para nunca, pues $v(t)$ nunca es cero.

La aceleración es

$a(t)={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=0.$

El diferencial de posición es

$\mathrm {d} x=v\,\mathrm {d} t=A\,\mathrm {d} t.$

El diferencial de velocidad es

$\mathrm {d} v=a\,\mathrm {d} t=0.$

La velocidad no cambia nunca.

Caso 2

$x(t)=B\,(-1+t^{2}/T^{2})$

Las unidades de las constantes son

$[B]=m,\qquad \qquad [T]=s$

Esta curva es una parábola pues es una función cuadrática en $t$. Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica

• En $t=0$ tenemos $x(0)=-B$.

• Veamos para que instante se halla la partícula en el origen

$x(t)=0\Longrightarrow t=\pm T\Longrightarrow t=T$

Escogemos el valor positivo pues el movimiento ocurre en $t\geq 0$. Tenemos

$t<T\to x(t)<0,\qquad \qquad t>T\to x(t)>0$

• Buscamos los máximos y mínimos. La derivada se anula en

$x'(t)={\dfrac {2B}{T^{2}}}t=0\Longrightarrow t=0$

Es un mínimo pues

$\left.x''(t)\right|_{t=0}={\dfrac {2B}{T}}>0$

La velocidad es

$v(t)={\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=2B{\dfrac {t}{T^{2}}}.$

La velocidad sólo es cero en el instante inicial $t=0$.

La aceleración es

$a(t)={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {2B}{T^{2}}}.$

La aceleración es constante y nunca se anula.

El diferencial de posición es

$\mathrm {d} x=v\,\mathrm {d} t=2B{\dfrac {t}{T^{2}}}\,\mathrm {d} t.$

El de velocidad es

$\mathrm {d} v=a\,\mathrm {d} t={\dfrac {2B}{T^{2}}}\,\mathrm {d} t.$

Este movimiento es rectilíneo y uniformemente acelerado. La gráfica muestra las curvas correspondientes a la posición (una parábola), la velocidad (una línea recta) y la aceleración (una constante).

Caso 3

$x(t)=C(1-t/T)(4-t^{2}/T^{2})$

Las unidades de las constantes son

$[C]=m,\qquad \qquad [T]=s$

Esta curva es un polinomio de grado 3. Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica

• En $t=0$ tenemos $x(0)=4C$.

• Veamos para que instante se halla la partícula en el origen

$x(t)=0\Longrightarrow t=\pm T,\pm 2T\Longrightarrow t=T,2T$

Escogemos los valores positivos pues el movimiento ocurre en $t\geq 0$. Tenemos

${\begin{array}{l}t<T\to x(t)>0\\T<t<2T\to x(t)<0\\t>2T\to x(t)>0\end{array}}$

• Buscamos los máximos y mínimos para $t\geq 0$. La derivada se anula en

$x'(t)={\dfrac {C}{T^{3}}}(3t^{2}-2tT-4T^{2})=0\Longrightarrow t=1.54T$

Es un mínimo pues

$\left.x''(t)\right|_{t=1.54T}=\left.{\dfrac {A}{T^{3}}}(6t-2T)\right|_{t=1.54T}=7.21{\dfrac {A}{T^{3}}}>0$

La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de $x(t)$

$v(t)=x'(t)=\left({\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)={\dfrac {C}{T^{3}}}(3t^{2}-2tT-4T^{2})$

La partícula está en reposo cuando su derivada es cero

$v(t)==0\Longrightarrow t=1.54T.$

De las dos soluciones hemos escogido la que corresponde al intervalo $t\geq 0$.

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo

$a(t)=v'(t)=\left({\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right)={\dfrac {C}{T^{3}}}(6t-2T)$

La aceleración es nula para

$a(t)==0\Longrightarrow t=0.33T.$

La figura de la derecha muestra las curvas correspondientes a $x(t)$, $v(t)$ y $a(t)$.

El diferencial de posición es

$\mathrm {d} x=\left({\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)\,\mathrm {d} x=v(t)\,\mathrm {d} x={\dfrac {C}{T^{3}}}(3t^{2}-2tT-4T^{2})\,\mathrm {d} t.$

Y el de velocidad

$\mathrm {d} v=\left({\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right)\,\mathrm {d} x=a(t)\,\mathrm {d} x={\dfrac {C}{T^{3}}}(6t-2T)\,\mathrm {d} t.$

Caso 4

$x(t)=D\,\mathrm {sen} \,(2\pi t/T)$

Esto es una sinusoide de período $T$. El argumento de las funciones trigonómetricas debe ser adimensional. Entonces las unidades de las constantes son

$[D]=m,\qquad [T]=s$

Buscamos los instantes en que la partícula está en el origen

$\mathrm {sen} \,\left({\dfrac {2\pi }{T}}t\right)=0\to {\dfrac {2\pi }{T}}t=n\pi \quad (n=0,1,2,\ldots )\to t_{n}=n{\dfrac {T}{2}}\quad (n=0,1,2,\ldots )$

La posición empieza siendo positiva en el primer intervalo y luego cambia de signo a cada intervalo de tiempo $T/2$.

La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de $x(t)$

$v(t)=x'(t)=\left({\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)={\dfrac {2\pi A}{T}}\cos \left({\dfrac {2\pi t}{T}}\right)$

La partícula está en reposo cuando $v(t)=0$, es decir

$\cos \left({\dfrac {2\pi }{T}}t\right)=0\to {\dfrac {2\pi }{T}}t=\left(n+{\dfrac {1}{2}}\right)\pi \quad (n=0,1,2,\ldots )\to t_{n}=\left(n+{\dfrac {1}{2}}\right){\dfrac {T}{2}}\quad (n=0,1,2,\ldots )$

La aceleración es la derivada respecto al tiempo de la velocidad

$a(t)=v'(t)=\left({\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right)=-{\dfrac {4\pi ^{2}A}{T^{2}}}\,\mathrm {sen} \,\left({\dfrac {2\pi t}{T}}\right)$

Se anula en los mismos instantes de tiempo que la posición, como se puede ver en la gráfica.

El diferencial de posición es

$\mathrm {d} x=v\,\mathrm {d} t={\dfrac {2\pi A}{T}}\cos \left({\dfrac {2\pi t}{T}}\right)\,\mathrm {d} t.$

Y el de velocidad

$\mathrm {d} v=a\,\mathrm {d} t=-{\dfrac {4\pi ^{2}A}{T^{2}}}\,\mathrm {sen} \,\left({\dfrac {2\pi t}{T}}\right)\mathrm {d} t.$

Caso 5

$x(t)=D\,\left(1-e^{-t/T}\right)$

Esta curva involucra una exponencial. El argumento de exponenciales y logaritmos debe ser adimensional. Entonces las unidades de las constantes son

$[D]=m,\qquad [T]=s$

• Veamos cuando está la partícula en el origen

$x(t)=0\to e^{-t/T}=1\to t=0$

Sólo está en el origen en el instante inicial.

• Veamos los máximos y mínimos

$x'(t)=D{\dfrac {t}{T}}\,e^{-t/T}=0$

Eso no ocurre nunca, es decir la curva no tiene máximos ni mínimos. Ademas, es siempre creciente pues $x'(t)>0$ en todo instante.

• Pero también está acotada. Cuando $t\to \infty$, se tiene

$e^{-t/T}\to 0$. Entonces

$x(t)\leq D\qquad \forall t$

La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de $x(t)$

$v(t)=x'(t)=\left({\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)={\dfrac {D}{T}}\,e^{-t/T}.$

La partícula está en reposo cuando su derivada es cero.

$v(t)=0\Longrightarrow t\to \infty$

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo

$a(t)=v'(t)=\left({\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right)=-{\dfrac {D}{T^{2}}}\,e^{-t/T}.$

Es siempre negativa y sólo se anula en el infinito.

La figura de la derecha muestra las curvas correspondientes a $x(t)$, $v(t)$ y $a(t)$. Podemos ver de la figura que cuando $t=5T$ el valor de $x$ es casi indistinguible del de la asíntota. La constante $T$ da una idea de cuando tarda la función en alcanzar el valor asintótico, es decir, nos da la escala de tiempo típica del sistema.

El diferencial de posición es

$\mathrm {d} x=\left({\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)\,\mathrm {d} x=v(t)\,\mathrm {d} x={\dfrac {D}{T}}e^{-t/T}\,\mathrm {d} t.$

Y el de velocidad

$\mathrm {d} v=\left({\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right)\,\mathrm {d} x=a(t)\,\mathrm {d} x=-{\dfrac {D}{T^{2}}}e^{-t/T}\,\mathrm {d} t.$