Ejemplo de movimiento helicoidal (CMR)

Enunciado

El movimiento de un pájaro en una corriente térmica es aproximadamente helicoidal, compuesto de un movimiento ascensional y uno de giro alrededor del eje de subida, de forma que la velocidad en cada punto de la trayectoria puede escribirse como

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {\omega }}_{0}\times {\vec {r}}$

siendo

${\vec {v}}_{0}=v_{0}{\vec {k}}\qquad {\vec {\omega }}_{0}=\omega _{0}{\vec {k}}$

dos vectores constantes. Si la posición inicial es ${\vec {r}}_{0}=A{\vec {\imath }}$

1. Determine la velocidad en cada punto expresada en la base de coordenadas cilíndricas.
2. Determine las ecuaciones horarias $\rho =\rho (t)$, $\theta =\theta (t)$ y $z=z(t)$. ¿Cuánto vale el paso de rosca de la hélice, esto es, lo que sube en el tiempo que da una vuelta alrededor del eje?
3. Calcule la aceleración del movimiento, así como sus componentes intrínsecas en cada punto del movimiento.
4. Determine el radio de curvatura de la trayectoria en cualquier instante.

Velocidad

La velocidad en cada punto la obtenemos simplemente sustituyendo en la expresión indicada

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {\omega }}_{0}\times {\vec {r}}$

donde ${\vec {r}}$ es el vector de posición del pájaro, que en coordenadas cilíndricas se expresa

${\vec {r}}=\rho {\vec {u}}_{\rho }+z{\vec {k}}$

Sustituyendo nos queda

${\vec {v}}=v_{0}{\vec {k}}+\omega _{0}{\vec {k}}\times \left(\rho {\vec {u}}_{\rho }+z{\vec {k}}\right)$

La base asociada a las coordenadas cilíndricas forma un triedro ortonormal y dextrógiro, por lo que cumple

${\vec {k}}\times {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }$

y queda la velocidad

${\vec {v}}=\omega _{0}\rho {\vec {u}}_{\theta }+v_{0}{\vec {k}}$

Vemos que posee una componente acimutal (correspondiente al giro) y una vertical, asociada a la ascensión.

Ecuaciones horarias

Por otra parte, la velocidad de una partícula, expresada en coordenadas cilíndricas, es

${\vec {v}}={\dot {\rho }}{\vec {u}}_{\rho }+\rho {\dot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}{\vec {k}}$

Igualando componente a componente, nos quedan las igualdades

${\dot {\rho }}=0\qquad \rho {\dot {\theta }}=\omega _{0}\rho \qquad {\dot {z}}=v_{0}$

La integración de estas tres ecuaciones es inmediata, ya que cada una de las derivadas es una constante o nula.

$\rho =\rho _{0}\qquad \theta =\omega _{0}t+\theta _{0}\qquad z=v_{0}t+z_{0}$

Los valores de las constantes de integración los obtenemos de la posición inicial. sabemos que en $t=0$ la partícula se encuentra en

${\vec {r}}_{0}=A{\vec {\imath }}$

que corresponde a las coordenadas cilíndricas

$\rho _{0}=A\qquad \theta _{0}=0\qquad z_{0}=0$

por tanto las ecuaciones horarias del movimiento son

$\rho =A\qquad \theta =\omega _{0}t\qquad z=v_{0}t$

En coordenadas cartesianas, estas ecuaciones horarias quedan

$x=\rho \cos(\theta )=A\cos(\omega _{0}t)\qquad y=\rho \,\mathrm {sen} (\theta )=A\,\mathrm {sen} (\omega _{0}t)\qquad z=v_{0}t$

Aceleración

Vector aceleración

Podemos hallar la aceleración a partir de su expresión en cartesianas

${\vec {a}}={\ddot {x}}{\vec {\imath }}+{\ddot {y}}{\vec {\jmath }}+{\ddot {z}}{\vec {k}}$

o la correspondiente en cilíndricas

${\vec {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\theta }}^{2})\,{\vec {u}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho {\ddot {\theta }})\,{\vec {u}}_{\theta }+{\ddot {z}}{\vec {k}}$

Para aplicar esta última, hallamos las segundas derivadas,

${\ddot {\rho }}=0\qquad {\ddot {\theta }}=0\qquad {\ddot {z}}=0$

y la aceleración se reduce a

${\vec {a}}=-\omega _{0}^{2}A{\vec {u}}_{\rho }$

Resulta una aceleración puramente radial y hacia adentro.

Aceleración tangencial

La aceleración que acabamos de hallar es puramente ortogonal a la velocidad, ya que una es radial, mientras que la otra posee solo componentes acimutal y vertical

${\vec {a}}\cdot {\vec {v}}=\left(-\omega _{0}^{2}A{\vec {u}}_{\rho }\right)\cdot \left(\omega _{0}\rho {\vec {u}}_{\theta }+v_{0}{\vec {k}}\right)=0$

Por tanto, la aceleración tangencial es nula

$a_{t}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{|{\vec {v}}|}}=0$

Esto nos dice también que el movimiento es uniforme y la celeridad es constante

$|{\vec {v}}|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}={\sqrt {\omega _{0}^{2}A^{2}+v_{0}^{2}}}$

Aceleración normal

Si la aceleración tangencial es nula, toda la aceleración es normal

${\vec {a}}_{n}={\vec {a}}=-\omega _{0}^{2}A{\vec {u}}_{\rho }$

y, en forma escalar,

$a_{n}=|{\vec {a}}_{n}|=\omega _{0}^{2}A$

Radio de curvatura

Una vez que tenemos la aceleración normal y la rapidez, el radio de curvatura es inmediato

$R={\frac {|{\vec {v}}|^{2}}{a_{n}}}={\frac {\omega _{0}^{2}A^{2}+v_{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}A}}=A+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}A}}$

Resulta un radio de curvatura mayor que el radio de la hélice (que vale A) ya que una hélice viene a ser un arco circular que se estira verticalmente.