Ejemplo de movimiento de precesión

Enunciado

El movimiento de precesión de una peonza puede describirse como una rotación en torno a un eje instantáneo que a su vez está rotando, manteniéndose fijo el punto de apoyo. Supongamos el caso particular

${\vec {v}}^{\,O}(t)={\vec {0}}\,\,;\qquad \qquad {\vec {\omega }}(t)=3\cos(t){\vec {\imath }}+3\,\mathrm {sen} (t){\vec {\jmath }}+4{\vec {k}}$

Consideremos el punto ${\overrightarrow {OA}}={\vec {k}}$

1. Determine la velocidad de este punto en cada instante.
2. Determine la aceleración de A en todo instante.
3. Halle, para cada instante, las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura en el mismo punto.

Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI.

Solución

Velocidad instantánea

Por tratarse de una rotación pura

${\vec {v}}^{A}=\overbrace {{\vec {v}}^{O}} ^{={\vec {0}}}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OA}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\3\cos(t)&3\,\mathrm {sen} (t)&4\\0&0&1\end{matrix}}\right|=3\,\mathrm {sen} (t){\vec {\imath }}-3\cos(t){\vec {\jmath }}$

Aceleración instantánea

El campo de aceleraciones tiene la expresión general

${\vec {a}}^{A}={\vec {a}}^{O}+{\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {OA}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OA}})={\vec {a}}^{O}+{\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {OA}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {v}}^{A}-{\vec {v}}^{O})$

En este caso la velocidad y la aceleración de O son nulas, por estar permanentemente en reposo, mientras que la aceleración angular vale

${\vec {v}}^{O}={\vec {0}}\,\,;$      ${\vec {a}}^{O}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}^{O}}{\mathrm {d} t}}={\vec {0}}\,\,;$      ${\vec {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=-3\,\mathrm {sen} (t){\vec {\imath }}+3\cos(t){\vec {\jmath }}$

Sustituyendo

$\,\,\,\,\,{\vec {a}}^{A}={\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {OA}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}^{A}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-3\,\mathrm {sen} (t)&3\cos(t)&0\\0&0&1\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\3\cos(t)&3\,\mathrm {sen} (t)&4\\3\,\mathrm {sen} (t)&-3\cos(t)&0\end{matrix}}\right|=$

$\,\,\,\,\,=15\cos(t){\vec {\imath }}+15\,\mathrm {sen} (t){\vec {\jmath }}-9{\vec {k}}$

Puede comprobarse de manera inmediata que

${\vec {a}}^{A}\neq {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}^{A}}{\mathrm {d} t}}=3\cos(t){\vec {\imath }}+3\,\mathrm {sen} (t){\vec {\jmath }}$

¿Por qué pasa esto si sabemos que la aceleración de una partícula es la derivada de su velocidad respecto al tiempo? La razón es que estamos considerando diferentes partículas. Cuando hallamos la velocidad del punto A en un instante dado, estamos calculando la velocidad de la partícula material que en ese momento ocupa el punto A. Pero esa partícula se está moviendo, por lo que un instante después se habrá desplazado a otro sitio, y otra partícula habrá ocupado su lugar. Cuando calculamos la cantidad

${\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}^{A}}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {v}}^{A}(t+\Delta t)-{\vec {v}}^{A}(t)}{\Delta t}}$

estamos restando las velocidades de partículas materiales diferentes (la que se halla en A en $t+\Delta t$ y la que se halla en A en el instante $t$) y por tanto el resultado no tiene por qué coincidir con la aceleración de ninguna de ellas.

El cálculo según la expresión del campo de aceleraciones, en cambio, sí nos da el valor correcto de la aceleración de la partícula que se halla en A en el instante $t$.

Componentes intrínsecas

Hemos obtenido que, para cada instante,

${\vec {v}}^{A}=3\,\mathrm {sen} (t){\vec {\imath }}-3\cos(t){\vec {\jmath }}\,\,;$      ${\vec {a}}^{A}=15\cos(t){\vec {\imath }}+15\,\mathrm {sen} (t){\vec {\jmath }}-9{\vec {k}}$

Una vez que tenemos los vectores velocidad y aceleración podemos hallar las componentes intrínsecas de la aceleración.

Aceleración tangencial

Proyectando sobre la velocidad

${\vec {a}}_{t}^{A}={\frac {({\vec {a}}^{A}\cdot {\vec {v}}^{A}){\vec {v}}^{A}}{(v^{A})^{2}}}={\vec {0}}$

Aceleración normal

Puesto que la aceleración tangencial es nula, toda la aceleración es normal

${\vec {a}}_{n}^{A}={\vec {a}}^{A}=15\cos(t){\vec {\imath }}+15\,\mathrm {sen} (t){\vec {\jmath }}-9{\vec {k}}$

Radio de curvatura

Es inmediato conocida la aceleración normal y la celeridad

$R_{\kappa }={\frac {(v^{A})^{2}}{a_{n}^{A}}}={\frac {3}{\sqrt {34}}}$