Ejemplo de ecuación vectorial de un plano

Enunciado

Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}= 2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+6\vec{k}} y que contiene a un punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} , cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXYZ} viene dada por el radiovector ${\vec {r}}={\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}+3{\vec {k}}$. Calcule la distancia que separa a dicho plano del origen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . (Unidades del SI)

Ecuación del plano

La propiedad que caracteriza a cada punto Q del plano es que el vector que va del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} al Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q} es ortogonal al vector normal al plano, esto es,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\overrightarrow{PQ} = 0}

Si el vector de posición del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q} respecto al origen es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OQ}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}}

el vector de posición relativo al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} es (midiendo todas las distancias en metros)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{PQ}=(x-1\,\mathrm{m})\vec{\imath}+(y-5\,\mathrm{m})\vec{\jmath}+(z-3\,\mathrm{m})\vec{k}}

La condición de ortogonalidad al vector normal al plano la podemos desarrollar escribiendo el producto escalar como suma de productos de componentes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = \vec{a}\cdot\overrightarrow{PQ}=2(x-1\,\mathrm{m}) + 3(y-5\,\mathrm{m}) + 6(z-3\,\mathrm{m}) = 2x + 3y + 6z -35\,\mathrm{m}}

lo que nos da la ecuación implícita del plano

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2x + 3y + 6z = 35\,\mathrm{m}}

Alternativamente, podemos llegar a esta ecuación imponiendo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\overrightarrow{OQ} = \vec{a}\cdot\overrightarrow{OP}}

que, geométricamente, significa que para cada punto del plano tiene el mismo valor la proyección de su vector de posición sobre el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} .

Distancia al origen

La distancia de un punto O a un plano Π, se toma como la mínima de las distancias de O a los diferentes puntos del plano. El punto que se encuentra a la mínima distancia es el que se halla en la intersección del plano con la recta normal a él que pasa por O. Sea A este punto de intersección. Se cumple entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d = |\overrightarrow{OA}|}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\parallel\vec{a}}

Esta distancia coincide con el valor absoluto de la proyección del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}} sobre el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d = |\overrightarrow{OA}| = \left|\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\vec{a}}{a}\right|}

pero hemos dicho antes que la proyección sobre este vector es la misma para todos los puntos del plano, esto es, que no precisamos determinar la posición del punto A, sino que cualquier otro punto del plano nos vale para calcular esta distancia. Por ejemplo, el punto P que ya conocemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d = \left|\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\vec{a}}{a}\right|= \frac{\left|\overrightarrow{OP}\cdot\vec{a}\right|}{a}}

Sustituyendo los valores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d = \frac{35}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}\,\mathrm{m}= \frac{35}{7}\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{m}}