Ejemplo de construcción de una base

Enunciado

Dados los vectores

${\vec {v}}={\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}$    ${\vec {a}}=6{\vec {\imath }}+9{\vec {\jmath }}+6{\vec {k}}$

Construya una base ortonormal dextrógira cuyos vectores cumplan las siguientes condiciones:

• El primer vector tiene la dirección y sentido de ${\vec {v}}$
• El segundo vector está contenido en el plano definido por ${\vec {v}}$ y ${\vec {a}}$, y apunta hacia el mismo semiplano (respecto de ${\vec {v}}$) que el vector ${\vec {a}}$.
• El tercer vector es perpendicular a los dos anteriores, y está orientado según la regla de la mano derecha.

Primer vector

Obtenemos el primer vector normalizando el vector ${\vec {v}}$, esto es, hallando el unitario en su dirección y sentido, lo que se consigue dividiendo este vector por su módulo

${\vec {u}}_{1}={\frac {\vec {v}}{v}}$

Hallamos el módulo de ${\vec {v}}$

$v={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}={\sqrt {1^{2}+2^{2}+2^{2}}}=3$

por lo que

${\vec {u}}_{1}={\frac {1}{3}}{\vec {\imath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {\jmath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {k}}$

Segundo vector

El segundo vector debe estar en el plano definido por ${\vec {v}}$ y ${\vec {a}}$, por lo que debe ser una combinación lineal de ambos

${\vec {u}}_{2}=\lambda {\vec {v}}+\mu {\vec {a}}$

además debe ser ortogonal a ${\vec {u}}_{1}$ (y por tanto, a ${\vec {v}}$)

${\vec {u}}_{2}\cdot {\vec {u}}_{1}=0={\vec {u}}_{2}\cdot {\vec {v}}$

y debe ser unitario

${\vec {u}}_{2}\cdot {\vec {u}}_{2}=1$

El procedimiento sistemático consiste en hallar la componente de ${\vec {a}}$ perpendicular a ${\vec {v}}$ y posteriormente normalizar el resultado.

La proyección normal la calculamos con ayuda del doble producto vectorial

${\vec {a}}_{n}={\frac {({\vec {v}}\times {\vec {a}})\times {\vec {v}}}{v^{2}}}$

Calculamos el primer producto vectorial

${\vec {v}}\times {\vec {a}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\1&2&2\\6&9&6\end{matrix}}\right|=-6{\vec {\imath }}+6{\vec {\jmath }}-3{\vec {k}}$

Hallamos el segundo

$({\vec {v}}\times {\vec {a}})\times {\vec {v}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-6&6&-3\\1&2&2\end{matrix}}\right|=18{\vec {\imath }}+9{\vec {\jmath }}-18{\vec {k}}$

Dividiendo por el módulo de ${\vec {v}}$ al cuadrado obtenemos la componente normal

${\vec {a}}_{n}={\frac {(18{\vec {\imath }}+9{\vec {\jmath }}-18{\vec {k}})}{9}}=2{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-2{\vec {k}}$

Alternativamente, podemos hallar esta proyección ortogonal restando al vector completo la parte paralela

${\vec {a}}_{n}={\vec {a}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {u}}_{1}){\vec {u}}_{1}$

Normalizando esta cantidad obtenemos el segundo vector de la base

${\vec {u}}_{2}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{a_{n}}}={\frac {2}{3}}{\vec {\imath }}+{\frac {1}{3}}{\vec {\jmath }}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}$

Tercer vector

El tercer vector lo obtenemos como el producto vectorial de los dos primeros

${\vec {u}}_{3}={\vec {u}}_{1}\times {\vec {u}}_{2}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\1/3&2/3&2/3\\2/3&1/3&-2/3\end{matrix}}\right|={\frac {1}{9}}\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\1&2&2\\2&1&-2\end{matrix}}\right|=-{\frac {2}{3}}{\vec {\imath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {\jmath }}-{\frac {1}{3}}{\vec {k}}$

Por tanto, la base ortonormal dextrógira está formada por los vectores

${\begin{array}{lcr}{\vec {u}}_{1}&=&\displaystyle {\frac {1}{3}}{\vec {\imath }}+\displaystyle {\frac {2}{3}}{\vec {\jmath }}+\displaystyle {\frac {2}{3}}{\vec {k}}\\&&\\{\vec {u}}_{2}&=&\displaystyle {\frac {2}{3}}{\vec {\imath }}+\displaystyle {\frac {1}{3}}{\vec {\jmath }}-\displaystyle {\frac {2}{3}}{\vec {k}}\\&&\\{\vec {u}}_{3}&=&-\displaystyle {\frac {2}{3}}{\vec {\imath }}+\displaystyle {\frac {2}{3}}{\vec {\jmath }}-\displaystyle {\frac {1}{3}}{\vec {k}}\end{array}}$

Forma alternativa

Podemos acortar un poco el proceso invirtiendo el orden de cálculo.

El tercer vector de la base es ortogonal a los dos primeros. También es ortogonal a cualquier combinación lineal de los dos primeros, en particular a los dos vectores del enunciado ${\vec {v}}$ y ${\vec {a}}$. Por ello, podemos calcular el tercer vector como

${\vec {u}}_{3}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {a}}}{|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}}$

El producto vectorial vale

${\vec {v}}\times {\vec {a}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\1&2&2\\6&9&6\end{matrix}}\right|=-6{\vec {\imath }}+6{\vec {\jmath }}-3{\vec {k}}$

con módulo

$\left|{\vec {v}}\times {\vec {a}}\right|={\sqrt {6^{2}+6^{2}+3^{2}}}=9$

resultando el unitario

${\vec {u}}_{3}=-{\frac {2}{3}}{\vec {\imath }}+{\frac {2}{3}}{\vec {\jmath }}-{\frac {1}{3}}{\vec {k}}$

El segundo vector lo obtenemos del producto vectorial del primero y el tercero, teniendo en cuenta el cambio de signo debido a la inversión del orden

${\vec {u}}_{2}=-{\vec {u}}_{1}\times {\vec {u}}_{3}=-\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\1/3&2/3&2/3\\-2/3&2/3&-1/3\end{matrix}}\right|=-{\frac {1}{9}}\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\1&2&2\\-2&2&-1\end{matrix}}\right|={\frac {2}{3}}{\vec {\imath }}+{\frac {1}{3}}{\vec {\jmath }}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}$