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Ecuaciones de movimiento de un péndulo usando el teorema del momento cinético (GIC)

De Laplace

1 Enunciado

Encuentra las ecuaciones que describen el móvimiento de un péndulo ideal utilizando la variación del momento angular.

2 Solución

La figura de la derecha muestra un péndulo formado por una masa m colgando de un hilo sin masa e inextensible de longitud R. La trayectoria que describe la masa es una circunferencia de radio R y con centro en O, punto del que cuelga la cuerda.

La masa está sometida a la acción de su peso y la tensión que ejerce la cuerda. Vamos a resolver el problema usando el momento angular de la masa y su derivada. El vector de posición de la partícula es


\vec{r} = \overrightarrow{OP} 
=
R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}

El movimiento circular que describe la partícula puede describirse con un vector rotación \vec{\omega} de la forma


\vec{\omega} = \dot{\theta}\,\vec{k}

La velocidad de la partícula es


\vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} = R\dot{\theta}\,(-\mathrm{sen}\theta\,\vec{\imath} + \cos\theta\,\vec{\jmath})

Esto también puede obtenerse derivando \vec{r} respecto del tiempo.

El movimiento circular de la partícula puede entenderse como una rotación alrededor del eje fijo OZ. Entonces, el momento de inercia de la partícula respecto de ese eje es

I = mR2

Y el momento angular respecto de O es


\vec{L}^O = I\vec{\omega} = I\dot{\theta}\,\vec{k}

La variación en el tiempo de \vec{L}^O es


\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}^O}{\mathrm{d}t} = \vec{M}^O
\Longrightarrow
I\dot{\vec{\omega}} = \vec{M}^O

donde \vec{M}^O es el momento neto de las fuerzas que actúan sobre la partícula respecto del punto O. En este caso las fuerzas son el peso y la tensión de la cuerda, es decir


\vec{M}^O = \overrightarrow{OP}\times(m\vec{g}) + \overrightarrow{OP}\times\vec{T}

El momento de la tensión de la cuerda es cero, pues \overrightarrow{OP} y \vec{T} son paralelos. Para el peso tenemos


\overrightarrow{OP}\times(m\vec{g})
=
(R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath})
\times
(mg\,\vec{\imath}) = -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}

Tenemos entonces


I\dot{\vec{\omega}} = I\ddot{\theta}\,\vec{k} = -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}

Por tanto, la ecuación diferencial para θ(t) es


\ddot{\theta} = -\dfrac{mgR}{I}\,\mathrm{sen}\,\theta

Teniendo en cuenta la expresión para I obtenemos


\ddot{\theta} = -\dfrac{g}{R}\,\mathrm{sen}\,\theta

que es la misma ecuación que obteníamos en el tema de dinámica de la partícula. Esta ecuación no la sabemos resolver, pero cuando el ángulo es pequeño podemos hacer la aproximación \mathrm{sen}\,\theta \approx\theta  y nos queda la ecuación de un oscilador armónico con frecuencia angular \omega = \sqrt{g/R} .

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