Ecuación para las ondas en una cuerda tensa

Objetivo

Al principio de este tema se estudia la ecuación de onda en su forma matemática, pero para que esa ecuación sea útil, hay que demostrar que aparece realmente en situaciones físicas.

En esta sección vamos a probar que las ondas que se transmiten por una cuerda tensa verifican, en condiciones adecuadas, la ecuación de onda unidimensional.

Suponemos que tenemos una cuerda de gran longitud L, de sección uniforme S y con una densidad de masa por unidad de longitud μ (que será igual a su densidad de masa por unidad de volumen, ρ, multiplicada por la sección de la cuerda μ = ρS).

Esta cuerda está sometida a tensión, por ejemplo, atando uno de sus extremos a una pared y colgando un peso del otro extremo.

Por efecto de las perturbaciones esta cuerda vibra transversalmente, de forma que un punto de ella, de coordenada x se desplaza una cantidad y en la dirección perpendicular a la cuerda.

Supondremos que las deformaciones son de pequeña amplitud, de forma que puede suponerse que la longitud de la cuerda no se ve afectada por la curvatura, y que cada punto de la cuerda se mueve solo transversalmente y no hacia adelante o hacia atrás.

Dinámica de un elemento de cuerda

Consideremos un trozo de cuerda de longitud infinitesimal, comprendido entre las posiciones $x$ y $x+\Delta x$. Este trozo tendrá una masa muy pequeña

$\Delta m=\mu \,\Delta x$

Esta masa, aunque dibujada de forma exagerada como un segmento largo de cuerda, puede tratarse como una partícula que se mueve exclusivamente en la dirección vertical, según hemos supuesto, de forma que la velocidad y aceleración de esta masa es

$\mathbf {v} ={\frac {\partial y}{\partial t}}\mathbf {j}$    $\mathbf {a} ={\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}\mathbf {j}$

El uso de la derivada parcial, en vez de la total, indicada normalmente con uno (${\dot {y}}$) o dos puntos (${\ddot {y}})$ sobre la variable, se debe a que $y$ depende realmente de dos variables, $x$ y $t$. La velocidad y la aceleración corresponden a un movimiento vertical (variación en $t$) sin que se modifique la posición horizontal ($x$ constante). Esta es justamente la definición de derivada parcial.

Este trozo infinitesimal de cuerda se mueve sometida a la acción de las fuerzas ejercidas por los trozos de cuerda adyacentes, a través de la tensión $\mathbf {F} _{T}$ con que tiran de ella. De esta forma, la segunda ley de Newton para esta masa puntual se escribirá

$\Delta m\,\mathbf {a} =\mu \,\Delta x\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}\mathbf {j} =\mathbf {F} _{T}(x+\Delta x)-\mathbf {F} _{T}(x)$

El signo menos en la segunda tensión se debe a que consideramos la tensión siempre como la que el elemento situado en $x+\Delta x$ tira del elemento anterior, situado en $x$. Si consideramos la fuerza con la que un elemento tira del siguiente, en vez del anterior, habrá que cambiarle el signo.

Veamos cada componente de esta ecuación vectorial por separado.

Componente longitudinal

Si consideramos la dirección longitudinal, paralela a la cuerda, tenemos que en esta dirección la aceleración es nula (pues la onda es transversal), así que la segunda ley de Newton se reduce a

$F_{Tx}(x+\Delta x)-F_{Tx}(x)=0\,$

siendo $F_{Tx}$ las componentes de la tensión (que, como toda fuerza, es un vector) en la dirección longitudinal. Podemos relacionar estas componentes con el módulo de la tensión, $F_{T}=|\mathbf {F} _{T}|$, y el ángulo $\theta$ que forma con la dirección longitudinal

$F_{Tx}=\left|\mathbf {F} _{T}\right|\cos(\theta )\,$

con lo que nos queda

$F_{T}(x+\Delta x)\cos(\theta (x+\Delta x))-F_{T}(x)\cos(\theta (x))=0\,$

Ahora bien, por ser pequeña la amplitud de las oscilaciones, este ángulo \theta es siempre muy pequeño, de forma que podemos hacer la aproximación

$\cos(\theta )\simeq 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\simeq 1$

de forma que la ecuación de movimiento en la dirección longitudinal se reduce a

$F_{T}(x+\Delta x)=F_{T}(x)\,$

o, lo que es lo mismo, la tensión es la misma, en módulo, para todos los puntos de la cuerda. Por ello se puede hablar de la “tensión de la cuerda” sin especificar a qué punto nos referimos. Hay que recordar, no obstante, que este resultado es aproximado, consecuencia de haber supuesto pequeñas amplitudes.

Componente transversal

En la dirección transversal sí debemos considerar la aceleración del elemento de masa, de forma que nos queda

$\mu \,\Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=F_{Ty}(x+\Delta x)-F_{Ty}(x)$

Relacionando de nuevo las componentes con el módulo (del cual ya sabemos que es constante) y el ángulo nos queda

$\mu \,\Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=F_{T}\,\mathrm {sen} \,(\theta (x+\Delta x))-F_{T}\,\mathrm {sen} \,(\theta (x))$

Aplicando de nuevo que el ángulo es pequeño, podemos hacer una doble aproximación

$\theta \ll 1$ ⇒ $\mathrm {sen} \,(\theta )\simeq \theta \simeq \,\mathrm {tg} \,\theta$

(recordemos que el coseno vale prácticamente la unidad). Esto nos convierte la ecuación para la componente transversal en

$\mu \,\Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=F_{T}\left(\,\mathrm {tg} \,(\theta (x+\Delta x))-\,\mathrm {tg} \,(\theta (x))\right)$

Ahora bien, la tangente del ángulo $\theta$ es justamente la pendiente de la recta tangente a la curva, esto es, la derivada con respecto a $x$

$\mathrm {tg} \,\theta ={\frac {\partial y}{\partial x}}$

así que la ecuación anterior la podemos escribir como (pasando $\Delta x$ al segundo miembro)

$\mu \,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=F_{T}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {\partial y}{\partial x}}(x+\Delta x)-{\frac {\partial y}{\partial x}}(x)\right)$

pero, para una función cualquiera en un instante dado, si $\Delta x$ es infinitesimal

${\frac {1}{\Delta x}}\left(f(x+\Delta x)-f(x)\right)\equiv {\frac {\partial f}{\partial x}}$

así que nos queda finalmente

$\mu \,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=F_{T}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}$

que es la ecuación de onda que buscábamos.

Velocidad de las ondas

La ecuación de onda anterior la podemos escribir en la forma

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{F_{T}}}\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}$

que, comparándola con la forma general

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}$

nos dice que la velocidad con la que se propagan las ondas por una cuerda tensa es

$v={\sqrt {\frac {F_{T}}{\mu }}}$

Según esto, la velocidad es mayor cuanto más tensa esté la cuerda y menor cuanto mayor sea su masa. Para el caso de que la cuerda sea un cable circular de diámetro D de un material de densidad volumétrica ρ, esta velocidad vale

$v={\sqrt {\frac {F_{T}}{\rho \,S}}}={\frac {2}{D}}{\sqrt {\frac {F_{T}}{\pi \rho }}}$

Según esto, para dos hilos del mismo material sometidos a la misma tensión, si uno es el doble de grueso que el otro, la velocidad de las ondas en él será la mitad.

Como ejemplo numérico, consideremos un cuerda de piano, de acero (ρ = 7.85 g/cm³), de diámetro 1.224 mm y sometida a una tensión de 700 N. Las ondas en esta cuerda se propagarán a la velocidad

$v={\frac {2}{1.224\times 10^{-3}}}{\sqrt {\frac {700}{7850\pi }}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=275\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\simeq 1000\,{\frac {\mathrm {km} }{\mathrm {h} }}$