Dos rodillos con deslizamiento

Enunciado

Un rodillo de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=60\,\mathrm{cm}} (sólido “0”) rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal “1” de forma que su centro C avanza con una celeridad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0=30\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}} respecto al suelo. En su marcha, este rodillo empuja a un segundo rodillo de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r=15\,\mathrm{cm}} (sólido “2”), que se ve obligado a rodar sin deslizar sobre el mismo suelo, manteniéndose tangente al primer rodillo (ver figura).

1. Calcule las velocidades angulares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}} .
2. Halle la velocidad relativa de deslizamiento en el punto A de contacto entre los dos sólidos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{20}} . ¿Cuál es la rapidez de este deslizamiento?
3. Determine la posición del centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} por los procedimientos siguientes: (i) analíticamente (con ayuda del resultado del apartado anterior); (ii) gráficamente.

Solución

Velocidades angulares

Movimiento {01}

El movimiento {01} es uno de rodadura sin deslizamiento alrededor del punto O de contacto del rodillo 0 con el suelo 1. La velocidad del punto C en este movimiento es igual a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}}

donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{01}=v_0\vec{\imath}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\vec{k}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}=R\vec{\jmath}}

Sustituyendo en la expresión anterior

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0\vec{\imath}=(\omega_{01}\vec{k})\times(R\vec{\jmath})=-\omega_{01}R\vec{\imath}}

de donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{01}=-\frac{v_0}{R}=-\frac{30\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}}{60\,\mathrm{cm}}= -0.5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}

Movimiento {21}

Al ser empujado por el rodillo 0, el centro del rodillo 2 se ve forzado a avanzar con la misma rapidez, de forma que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{21}=v_0\vec{\imath}}

Al rodar sin deslizar sobre la superficie horizontal, el rodillo 2 efectúa un movimiento {21} de rotación en torno al punto D de contacto del rodillo con el suelo. Operando del mismo modo que en el caso anterior obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21}=-\frac{v_0}{r} = -2.0\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}

Movimiento {20}

La velocidad angular con la que un rodillo gira respecto al otro la obtenemos aplicando la ley de composición de las velocidades angulares

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\omega_{21}-\omega_{01}=-1.5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}

Velocidad de deslizamiento

El contacto entre los dos rodillos no es solo de rodadura, sino también de deslizamiento. En el punto en que son tangentes, el punto A del rodillo 0 se está moviendo hacia abajo, mientras que el punto A del rodillo 2 lo hace hacia arriba, con lo que existe una cierta velocidad relativa. El valor de esta velocidad es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{20} =\vec{v}^A_{21}-\vec{v}^A_{01}}

La velocidad del punto A en el movimiento {21} es igual a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\vec{v}^B_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BA}}

El vector de posición relativo cumple la relación de proporcionalidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BA}=-\frac{r}{R+r}\overrightarrow{CB}= -\frac{\overrightarrow{CB}}{5.0}}

siendo el vector de posición relativo entre los ejes de la forma

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La distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d} entre los puntos de contacto la obtenemos por aplicación del teorema de Pitágoras

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d^2+(R-r)^2 = (R+r)^2\,}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d=2\sqrt{Rr}=60\,\mathrm{cm}}

lo que nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BA}=(-12\vec{\imath}+9\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}}

y la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\left(30\vec{\imath}+ (-2.0\vec{k})\times(-12\vec{\imath}+9\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}= \left(48\vec{\imath}+24\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} }

Esta velocidad puede también hallarse reduciendo en el punto D, que es el CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DA}}

donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}= (-12\vec{\imath}+24\vec{\jmath})\,\mathrm{cm} }

La velocidad en el movimiento {01} se calcula de manera similar. Reduciendo en el centro del rodillo 0

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{01}=\vec{v}^C_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CA}}

siendo ahora el vector de posición relativo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CA}=\frac{R}{R+r}\overrightarrow{CB}= (48\vec{\imath}-36\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}}

lo que resulta en la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{01}=\left(30\vec{\imath}+ (-0.5\vec{k})\times(48\vec{\imath}-36\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}= \left(12\vec{\imath}-24\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} }

Esta velocidad también puede calcularse como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}}

La velocidad de deslizamiento es la diferencia entre estas dos velocidades

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{20}=\vec{v}^A_{21}-\vec{v}^A_{01} = \left(36\vec{\imath}+48\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} }

Esta velocidad relativa es tangente a la superficie de contacto y tiene por módulo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v^A_{20}=\sqrt{36^2+48^2}\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=60\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} }

El que resulte el doble de la velocidad de avance de los rodillos no es casual ni dependiente de las dimensiones concretas de estos. Podemos demostrarlo de forma sencilla:

Observemos que los centros C y B se encuentran en todo momento a la misma distancia entre ellos, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R+r} . Por tanto, podemos imaginarnos un cuarto sólido, “3”, formado por una barra que une los dos centros. ¿Cómo son los diferentes movimientos respecto a esta barra?

• El sólido “1” el suelo se mueve hacia atrás con rapidez Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} .
• El disco “0” gira alrededor de su centro C con una velocidad angular tal que el punto O se mueve hacia atrás con celeridad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} .
• El disco “2” gira alrededor de su centro B con una velocidad angular tal que el punto D se mueve hacia atrás con celeridad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} .

La velocidad de deslizamiento en A será la diferencia

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{20}=\vec{v}^A_{23} -\vec{v}^A_{03}}

Ahora bien, en estos dos movimientos de rotación las velocidades de A son tangentes a la línea de contacto entre discos, las dos tienen módulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} y poseen sentidos opuestos. Por tanto, su diferencia será un vector también tangente y de módulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0-(-v_0) = 2v_0} . Este resultado es independiente de los radios de los discos.

Centro instantáneo de rotación

Método analítico

La posición del CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} puede obtenerse analíticamente conocida la velocidad de un punto y la velocidad angular. La posición del CIR respecto al punto A es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AI}_{20}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}}{\omega_{20}}= \frac{\vec{k}\times\left(36\vec{\imath}+48\vec{\jmath}\right)}{-1.5}\,\mathrm{cm}= \left(32\vec{\imath}-24\vec{\jmath}\right)\mathrm{cm}}

y respecto al punto O

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{20}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}_{20} =80\vec{\imath}\,\mathrm{cm}}

Métodos geométricos

Geométricamente, podemos determinar la posición del CIR {20} de diferentes formas.

Una posibilidad consiste en hallar en primer lugar la velocidad de un segundo punto, en adición del que ya conocemos. Si consideramos la velocidad del punto O en el movimiento {20} obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\overbrace{\vec{v}^O_{10}}^{=\vec{0}}= \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DO}}

La velocidad de arrastre se anula por ser O el CIR del movimiento {10}. La segunda expresión nos dice que la velocidad de O en el movimiento {20} es perpendicular a la recta que pasa por D y O.

El CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} se encuentra entonces en la intersección de la recta horizontal, que pasa por D y O, con la recta que une los centros C y B (perpendicular a la velocidad de deslizamiento en A).

Alternativamente, podemos observar que la distancia entre B y C permanece constante en todo momento, por lo que podemos imaginar un cuarto sólido 3, que une estos dos centros (una barra, por ejemplo). Los movimientos de los dos rodillos respecto al sólido 3 son rotaciones alrededor de los respectivos ejes B y C.

Aplicando ahora el teorema de los tres centros tenemos que el CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} debe estar en la intersección de la recta que pasa por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01} (O)} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} (D), con la recta que pasa por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{03}} (C) e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{23}} (B), llegándose al resultado ya conocido.

Otra forma consiste en, si no se ha calculado la velocidad de deslizamiento en A, buscar otro punto cuya velocidad {20} sea fácil de calcular. El más simple es D, para el que tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^D_{20}=\overbrace{\vec{v}^D_{21}}^{=\vec{0}}-\vec{v}^D_{01}= -\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OD}}

Sustituyendo los valores numéricos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^D_{20}= \frac{v_0d}{R}\vec{\jmath}=30\vec{\jmath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}}

Que junto con el resultado anterior

${\vec {v}}_{20}^{O}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {DO}}={\frac {v_{0}d}{r}}{\vec {\jmath }}=120{\vec {\jmath }}\,{\frac {\mathrm {cm} }{\mathrm {s} }}$

permite aplicar el método geométrico de determinación del CIR para el caso de que tengamos dos velocidades paralelas.

También puede hallarse gráficamente con ayuda del sólido “3” introducido en el apartado anterior. Según hemos dicho, por el teorema de los tres centros, el CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} debe estar en la intersección de la recta que pasa por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01} (O)} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} (D). Además debe estar sobre la recta que pasa por el CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{03}} (que es el centro del rodillo “0”, C) y con el CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{23}} (que es el centro B del rodillo “2”). De nuevo llegamos a que debe estar en la intersección de la recta que pasa por O y D con la que pasa por B y C.