Dos máquinas térmicas en serie

Enunciado

Una central eléctrica de ciclo combinado está formada por dos máquinas térmicas puestas en serie, de manera que el calor de desecho de la primera se emplea para alimentar la segunda. Si el rendimiento de la primera vale $\eta _{1}$ y el de la segunda vale $\eta _{2}$, ¿cuánto vale el rendimiento del conjunto?

Suponga que, en un caso concreto la primera máquina toma 600 MW de calor de una caldera y tiene un rendimiento de un 40%, mientras que la segunda tiene un rendimiento de 1/3. ¿Cuál es la potencia eléctrica que produce cada una de las máquinas y cuál es la del conjunto?

Solución

La primera máquina toma el calor de la caldera y a partir de él realiza un trabajo

$W_{\mathrm {out1} }=\eta _{1}Q_{\mathrm {in} }$

El calor de desecho que produce es

$Q_{\mathrm {out1} }=Q_{\mathrm {in} }-W_{\mathrm {out1} }=(1-\eta _{1})Q_{\mathrm {in} }$

Este calor es el de entrada a la segunda máquina

$Q_{\mathrm {in2} }=Q_{\mathrm {out1} }=(1-\eta _{1})Q_{\mathrm {in} }$

y el trabajo que produce esta máquina es

$W_{\mathrm {out2} }=\eta _{2}Q_{\mathrm {in2} }=\eta _{2}(1-\eta _{1})Q_{\mathrm {in} }$

El trabajo total que produce la asociaqción es la suma de los dos

$W_{\mathrm {out} }=W_{\mathrm {out1} }+W_{\mathrm {out2} }=\eta _{1}Q_{\mathrm {in} }+\eta _{2}(1-\eta _{1})Q_{\mathrm {in} }$

lo que nos da el rendimiento de la asociación

$\eta ={\frac {W_{\mathrm {out} }}{Q_{\mathrm {in} }}}=\eta _{1}+\eta _{2}(1-\eta _{1})=\eta _{1}+\eta _{2}-\eta _{1}\eta _{2}$

Podemos comprobar que si una de las máquinas es perfecta ($\eta _{i}=1$) la asociación es perfecta. Igualmente, si una de las máquinas no funciona ($\eta _{i}=0$) el rendimiento de la asociación es el de la otra máquina.

En el caso particular indicado, la primera máquina toma 600 MW y produce un flujo de trabajo de salida

${\dot {W}}_{\mathrm {out1} }=\eta _{1}{\dot {Q}}_{\mathrm {in} }=0.40\cdot 600\,\mathrm {MW} =240\,\mathrm {MW}$

y un flujo de calor de desecho

${\dot {Q}}_{\mathrm {out1} }={\dot {Q}}_{\mathrm {in} }-{\dot {W}}_{\mathrm {out1} }=360\,\mathrm {MW}$

La segunda máquina toma este calor y produce una potencia

${\dot {W}}_{\mathrm {out2} }=\eta _{2}{\dot {Q}}_{\mathrm {in2} }={\frac {1}{3}}360\,\mathrm {mW} =120\,\mathrm {MW}$

La potencia total desarrollada por la asociación es

${\dot {W}}_{\mathrm {out} }={\dot {W}}_{\mathrm {out1} }+{\dot {W}}_{\mathrm {out2} }=240\,\mathrm {MW} +120\,\mathrm {MW} =360\,\mathrm {MW}$

El rendimiento del conjunto es

$\eta ={\frac {{\dot {W}}_{\mathrm {out} }}{{\dot {Q}}_{\mathrm {in} }}}={\frac {360}{600}}=0.60=60\%$

Este rendimiento también se puede calcular como

$\eta =\eta _{1}+\eta _{2}-\eta _{1}\eta _{2}={\frac {2}{5}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {2}{5}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {6+5-2}{15}}={\frac {3}{5}}=60\%$