Dos discos y barra rodando sin deslizar

Enunciado

Sendos discos de radios radios Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2R} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} (sólidos “0” y “2”, respectivamente) se encuentran siempre contenidos en el mismo plano y en contacto puntual sobre el sólido fijo “1”. Además, hay una barra rígida (sólido “3”), también contenida en el plano de los discos y en contacto puntual con éstos. El sistema se mueve de manera que los discos “0” y “2” ruedan sin deslizar de manera simultánea sobre los sólidos “1” y “3”.

1. Determine los C.I.R. de los diferentes movimientos relativos en el sistema descrito. ¿Cómo es el movimiento instantáneo de la barra “3” respecto del sólido fijo “1”?
2. Suponiendo que en el movimiento del disco de mayor radio respecto del sólido fijo la velocidad de su centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} es un vector constante de valor conocido Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_0} , determine las reducciones cinemáticas de los movimientos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{01\}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{31\}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\}} .
3. Determine la ley horaria que sigue la distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle\Delta x} entre los puntos de contacto de los discos con el sólido fijo. Supóngase que en el instante inicial esta distancia es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3R} .
4. Determine la reducción cinemática del movimiento relativo del disco pequeño respecto del grande, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{20\}} . Calcule la aceleración instantánea del centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} en dicho movimiento.

C.I.R. de los movimientos

Las posiciones que en un instante dado ocupan los centros instantáneos de rotación (C.I.R.) de los movimientos planos realizados por los discos “0” y “2” respecto del sólido fijo “1” y de la barra “3” se determinan de manera inmediata: en la descripción del movimiento del sistema se indica que los discos siempre ruedan sin deslizar sobre sólido y fijo y barra. Por tanto, las velocidades relativas de los puntos de contacto son nulas y, en consecuencia, éstos coinciden con los C.I.R. correspondientes a dichos movimientos.

Denominemos $\displaystyle I_{ij}$ al C.I.R. del movimiento $\displaystyle \{ij\}$; si en un determinado instante $A$ y $B$ son los puntos de contacto de los discos “0” y “2” con la barra “3”, y los puntos $E$ y $F$ donde aquéllos establecen contacto con el sólido fijo “1”, se tendrá:

$\mathbf {v} _{03}^{A}=\mathbf {0} \;\;\Longrightarrow \;\;I_{03}\equiv A$  $\mathbf {v} _{01}^{E}=\mathbf {0} \;\;\Longrightarrow \;\;I_{01}\equiv E$

$\mathbf {v} _{23}^{B}=\mathbf {0} \;\;\Longrightarrow \;\;I_{23}\equiv B$  $\mathbf {v} _{21}^{F}=\mathbf {0} \;\;\Longrightarrow \;\;I_{21}\equiv F$

Aún quedan por obtener los C.I.R. $\displaystyle I_{20}$ e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle I_{31}} correspondientes al movimiento relativo del del disco pequeño respecto del grande, y al de la barra respecto del sólido fijo de referencia, respectivamente. La posición de estos puntos en el instante arbitrario reflejado en la figura puede ser fácilmente determinada mediante el teorema de los tres centros.

Aplicación del Teorema de los tres centros

Como sabemos, dicho teorema establece que si tres sólidos realizan movimientos relativos planos, con idéntico plano director, las posiciones que ocupan los C.I.R. en un instante están alineadas. En el sistema bajo estudio esto significa que el C.I.R. del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle \{20\}} (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle I_{20}} ) debe estar en la misma recta que los de los movimientos $\displaystyle \{21\}$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle \{01\}} ; es decir, en el instante de la figura debe estar en la recta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta(E,F)} , definida por los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F} . Pero, simultáneamente, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle I_{20}} debe pertenecer a la recta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta(A,B)} , que pasa por los puntos de contacto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , pues son las posiciones de los C.I.R. de los movimientos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle I_{23}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle I_{30}} . Por tanto, el C.I.R. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle I_{20}} se encuentra en la intersección de dichas rectas (ver figura):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}I_{20}\in\Delta(E,F)\\ \\ I_{20}\in\Delta(A,B)\end{array}\right\}\quad}  ⇒   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}=\Delta(E,F)\bigcap\Delta(A,B)}

Análogamente, el C.I.R. del movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle \{31\}} (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle I_{31}} ) debe estar alineado con los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E} , al coincidir éstos con los C.I.R. de los movimientos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle \{30\}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle \{01\}} (recuérdese que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle I_{ij}=I_{ji}} ). Pero además, dicho punto debe estar en la recta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta (A,F)} , que pasa por los centros de los movimientos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle \{32\}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle \{21\}} . Por tanto, el C.I.R. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{31} } se encuentra en la intersección de las rectas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta(BF) } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta(AE) } . Pero estas rectas son paralelas. Esto puede deducirse del hecho de que los triángulos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}FB } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}EA } son semejantes, pues el ángulo en el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20} } es el mismo y los lados concurrentes en ese vértice son proporcionales. Dos rectas paralelas se cortan en el infinito. Es decir, El C.I.R. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{31} } se encuentra en el infinito en dirección de la recta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta(BF) } . Por tanto el movimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle\{31\} } es una traslación instantánea.

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

Al ser un movimiento plano la velocidad angular está en la dirección del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ } . Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = \omega_{01}\,\vec{k} }

Del enunciado del problema conocemos la velocidad del centro del disco "0" (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{01}^C=v_0\vec{\imath}_1 } ) y del punto de contacto del disco con el suelo ( Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{01}^E=\vec{0} } , pues rueda sin deslizar). Usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01} para relacionar la velocidad de estos dos puntos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{01}^C=\vec{v}_{01}^E+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CE} = 0 + (\omega_{01}\vec{k})\times(2R\,\vec{\jmath}_1) = -\omega_{01}2R\,\vec{\imath} }

Es decir, la reducción en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = -\frac{\displaystyle v_0}{\displaystyle 2R}\,\vec{k}\qquad\qquad\qquad \vec{v}_{01}^C = v_0\vec{\imath}_1 }

Movimiento {31}

Este movimiento es una traslación instantánea. Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{31} = \vec{0} }

Basta determinar la velocidad en uno de los puntos del sólido "3". Lo más sencillo es hacerlo en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , pues este punto es el C.I.R. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{30} } y por tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{30}^A = \vec{0} } . Usando la composición de movimientos {31}={30}+{01} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{31}^A = \vec{v}_{30}^A + \vec{v}_{01}^A = \vec{v}_{01}^A }

Utilizando la reducción cinemática del movimiento {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{01}^A = \vec{v}_{01}^C + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CA} }

A partir del dibujo tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CA} = -2R\mathrm{sen}\,{(2\alpha)}\,\vec{\imath}_1 + 2R\cos(2\alpha)\,\vec{\jmath}_1 }

Por tanto, la reducción es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{31} = \vec{0} \qquad \qquad \qquad \vec{v}_{31} = \vec{v}_{31}^A = v_0(1+\cos(2\alpha))\,\vec{\imath}_1 + v_0\mathrm{sen}\,(2\alpha)\,\vec{\jmath}_1 }

Podemos ver que el resultado es razonable considerando el caso en el que el radio de los dos discos fuese el mismo. En ese caso tendríamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=0 } y la velocidad de la barra sería Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{31}=2v_0\,\vec{\imath}_1 } , es decir, la del punto superior del disco "0" , como debe ser, pues el movimiento de la barra sería puramente horizontal.

Movimiento {21}

El vector rotación es de la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\vec{k} }

Para determinar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21} } necesitamos la velocidad en dos puntos. Dado que el disco "2" rueda sin deslizar sobre el suelo tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^F =\vec{0} }

Por otro lado, el punto de contacto entre la barra y el disco "2" es el C.I.R. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{32} } , por lo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{23}^B=\vec{0} } . Usando la composición de movimientos {21}={23}+{31} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^B = \vec{v}_{23}^B + \vec{v}_{31}^B = \vec{v}_{31}^B=\vec{v}_{31} = v_0(1+\cos(2\alpha))\,\vec{\imath}_1 + v_0\mathrm{sen}\,(2\alpha)\,\vec{\jmath}_1 }

Hemos utilizado que el movimiento {31} es una traslación y la velocidad es la misma en todos los puntos. Ahora usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para relacionar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^B } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^F } .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^B = \vec{v}_{21}^F + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{FB} = \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{FB} }

Del dibujo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{DB} = -R\,\mathrm{sen}\,(2\alpha)\,\vec{\imath}_1 + R(1+\cos(2\alpha))\,\vec{\jmath}_1 }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^B = \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{FB} = -\omega_{21}R(1+\cos(2\alpha))\,\vec{\imath}_1 - \omega_{21}R\,\mathrm{sen}\,(2\alpha)\,\vec{\jmath}_1 }

Comparando con la expresión anterior de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^B } obtenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21}= -v_0/R } . La reducción cinemática en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}~= -\frac{\displaystyle v_0}{R}\vec{k}\qquad\qquad\qquad \vec{v}_{21}^F = \vec{0} }

Nos interesa obtener Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^D } . A partir de la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^D = \vec{v}_{21}^F+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{FD} = \left(-\frac{\displaystyle v_0}{\displaystyle R}\right)\vec{k}\times(R\,\vec{\jmath}_1) = v_0\vec{\imath}_1 }

Otra forma de obtener esta reducción es relacionar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^B=\vec{v}_{31} } con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^D } , sabiendo que, como se indica en el dibujo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^D = v_{21}^D\vec{\imath}_1 } . De la ecuación del campo de velocidades se obtienen dos ecuaciones para dos incógnitas, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21} } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{21}^D } . Resolviéndolas se obtiene el mismo resultado.

Ley horaria de los centros de los discos

Como hemos visto en el apartado anterior, las velocidades absolutas de los centros de los discos son iguales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^D = \vec{v}_{01}^C = v_0\vec{\imath}_1 }

Como se mueven con la misma velocidad, la distancia entre esos dos puntos permanece constante e igual a la inicial. La ley horaria es

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Movimiento relativo de los discos

Reducción del movimiento {20}

Para determinar la reducción cinemática del movimiento {20} usamos la composición

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Para la velocidad angular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} \Longrightarrow \vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = -\frac{\displaystyle v_0}{\displaystyle 2R}\vec{k} }

Buscamos ahora la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{20}^D } . Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^D = \vec{v}_{20}^D + \vec{v}_{01}^D \Longrightarrow \vec{v}_{20}^D = \vec{v}_{21}^D - \vec{v}_{01}^D }

De los apartados anteriores tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lll} \vec{v}_{21}^D &=& v_0\,\vec{\imath}_1 \\ \vec{v}_{01}^D &=& \vec{v}_{01}^C + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CD}= \frac{\displaystyle v_0}{\displaystyle 2}\,\vec{\imath}_1 + \frac{\displaystyle 3v_0}{\displaystyle 2}\,\vec{\jmath}_1 \\ &&\\ && \vec{v}_{01}^C = v_0\,\vec{\imath}_1\\ &&\\ && \overrightarrow{CD} = -3R\,\vec{\imath}_1 - R\,\vec{\jmath}_1 \Longrightarrow \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CD} = -\frac{\displaystyle v_0}{\displaystyle 2}\,\vec{\imath}_1 + \frac{\displaystyle 3v_0}{\displaystyle 2}\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }

De este modo la reducción en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20} = -\frac{\displaystyle v_0}{\displaystyle 2R}\,\vec{k} \qquad\qquad\qquad \vec{v}_{20}^D = \frac{\displaystyle v_0}{\displaystyle 2}\,\vec{\imath}_1 - \frac{\displaystyle 3v_0}{\displaystyle 2}\,\vec{\jmath}_1 }

Cálculo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{20}^D }

Usando la misma composición de movimientos tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^D = \vec{a}_{20}^D + \vec{a}_{01}^D + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^D \Longrightarrow \vec{a}_{20}^D = \vec{a}_{21}^D - \vec{a}_{01}^D - 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^D }

Veamos cuanto valen cada uno de los sumandos.

Dado que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^D=v_0\,\vec{\imath}_1 } es un vector constante, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^D=\vec{0} } .

Por la misma razon, como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{01}^C=v_0\,\vec{\imath}_1 } es un vector constante, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{01}^C=\vec{0} } y también Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01}=\vec{0} } . Usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}, teniendo en cuenta que es un movimiento plano, tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{01}^D = \vec{a}_{01}^C + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{CD} - \omega_{01}^2\overrightarrow{CD} = \frac{\displaystyle 3v_0^2}{\displaystyle 4R}\,\vec{\imath}_1 + \frac{\displaystyle v_0^2}{\displaystyle 4R}\,\vec{\jmath}_1 }

Por último tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^D = -\frac{\displaystyle 3v_0^2}{\displaystyle 2R}\,\vec{\imath}_1 - \frac{\displaystyle v_0^2}{\displaystyle 2R}\,\vec{\jmath}_1 }

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{20}^D = \frac{\displaystyle 3v_0^2}{\displaystyle 4R}\,\vec{\imath}_1 + \frac{\displaystyle v_0^2}{\displaystyle 4R}\,\vec{\jmath}_1 }