Dos discos y barra rodando sin deslizar

Enunciado

Sendos discos de radios radios $2R$ y $R$ (sólidos “0” y “2”, respectivamente) se encuentran siempre contenidos en el mismo plano y en contacto puntual sobre el sólido fijo “1”. Además, hay una barra rígida (sólido “3”), también contenida en el plano de los discos y en contacto puntual con éstos. El sistema se mueve de manera que los discos “0” y “2” ruedan sin deslizar de manera simultánea sobre los sólidos “1” y “3”.

1. Determine los C.I.R. de los diferentes movimientos relativos en el sistema descrito. ¿Cómo es el movimiento instantáneo de la barra “3” respecto del sólido fijo “1”?
2. Suponiendo que en el movimiento del disco de mayor radio respecto del sólido fijo la velocidad de su centro $C$ es un vector constante de valor conocido $\mathbf {v} _{0}$, determine las reducciones cinemáticas de los movimientos $\{01\}$, $\{31\}$ y $\{21\}$.
3. Determine la ley horaria que sigue la distancia $\displaystyle \Delta x$ entre los puntos de contacto de los discos con el sólido fijo. Supóngase que en el instante inicial esta distancia es $3R$.
4. Determine la reducción cinemática del movimiento relativo del disco pequeño respecto del grande, $\{20\}$. Calcule la aceleración instantánea del centro $D$ en dicho movimiento.

C.I.R. de los movimientos

Las posiciones que en un instante dado ocupan los centros instantáneos de rotación (C.I.R.) de los movimientos planos realizados por los discos “0” y “2” respecto del sólido fijo “1” y de la barra “3” se determinan de manera inmediata: en la descripción del movimiento del sistema se indica que los discos siempre ruedan sin deslizar sobre sólido y fijo y barra. Por tanto, las velocidades relativas de los puntos de contacto son nulas y, en consecuencia, éstos coinciden con los C.I.R. correspondientes a dichos movimientos.

Denominemos $\displaystyle I_{ij}$ al C.I.R. del movimiento $\displaystyle \{ij\}$; si en un determinado instante $A$ y $B$ son los puntos de contacto de los discos “0” y “2” con la barra “3”, y los puntos $E$ y $F$ donde aquéllos establecen contacto con el sólido fijo “1”, se tendrá:

$\mathbf {v} _{03}^{A}=\mathbf {0} \;\;\Longrightarrow \;\;I_{03}\equiv A$  $\mathbf {v} _{01}^{E}=\mathbf {0} \;\;\Longrightarrow \;\;I_{01}\equiv E$

$\mathbf {v} _{23}^{B}=\mathbf {0} \;\;\Longrightarrow \;\;I_{23}\equiv B$  $\mathbf {v} _{21}^{F}=\mathbf {0} \;\;\Longrightarrow \;\;I_{21}\equiv F$

Aún quedan por obtener los C.I.R. $\displaystyle I_{20}$ e $\displaystyle I_{31}$ correspondientes al movimiento relativo del del disco pequeño respecto del grande, y al de la barra respecto del sólido fijo de referencia, respectivamente. La posición de estos puntos en el instante arbitrario reflejado en la figura puede ser fácilmente determinada mediante el teorema de los tres centros.

Aplicación del Teorema de los tres centros

Como sabemos, dicho teorema establece que si tres sólidos realizan movimientos relativos planos, con idéntico plano director, las posiciones que ocupan los C.I.R. en un instante están alineadas. En el sistema bajo estudio esto significa que el C.I.R. del movimiento $\displaystyle \{20\}$ (punto $\displaystyle I_{20}$) debe estar en la misma recta que los de los movimientos $\displaystyle \{21\}$ y $\displaystyle \{01\}$; es decir, en el instante de la figura debe estar en la recta $\Delta (E,F)$, definida por los puntos $E$ y $F$. Pero, simultáneamente, $\displaystyle I_{20}$ debe pertenecer a la recta $\Delta (A,B)$, que pasa por los puntos de contacto $A$ y $B$, pues son las posiciones de los C.I.R. de los movimientos $\displaystyle I_{23}$ y $\displaystyle I_{30}$. Por tanto, el C.I.R. $\displaystyle I_{20}$ se encuentra en la intersección de dichas rectas (ver figura):

$\left.{\begin{array}{l}I_{20}\in \Delta (E,F)\\\\I_{20}\in \Delta (A,B)\end{array}}\right\}\quad$ ⇒   $I_{20}=\Delta (E,F)\bigcap \Delta (A,B)$

Análogamente, el C.I.R. del movimiento $\displaystyle \{31\}$ (punto $\displaystyle I_{31}$) debe estar alineado con los puntos $A$ y $E$, al coincidir éstos con los C.I.R. de los movimientos $\displaystyle \{30\}$ y $\displaystyle \{01\}$ (recuérdese que $\displaystyle I_{ij}=I_{ji}$). Pero además, dicho punto debe estar en la recta $\Delta (A,F)$, que pasa por los centros de los movimientos $\displaystyle \{32\}$ y $\displaystyle \{21\}$. Por tanto, el C.I.R. $I_{31}$ se encuentra en la intersección de las rectas $\Delta (BF)$ y $\Delta (AE)$. Pero estas rectas son paralelas. Esto puede deducirse del hecho de que los triángulos $I_{20}FB$ y $I_{20}EA$ son semejantes, pues el ángulo en el vértice $I_{20}$ es el mismo y los lados concurrentes en ese vértice son proporcionales. Dos rectas paralelas se cortan en el infinito. Es decir, El C.I.R. $I_{31}$ se encuentra en el infinito en dirección de la recta $\Delta (BF)$. Por tanto el movimiento $\displaystyle \{31\}$ es una traslación instantánea.

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

Al ser un movimiento plano la velocidad angular está en la dirección del eje $OZ$. Por tanto

${\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}\,{\vec {k}}$

Del enunciado del problema conocemos la velocidad del centro del disco "0" (${\vec {v}}_{01}^{C}=v_{0}{\vec {\imath }}_{1}$) y del punto de contacto del disco con el suelo ( ${\vec {v}}_{01}^{E}={\vec {0}}$, pues rueda sin deslizar). Usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01} para relacionar la velocidad de estos dos puntos

${\vec {v}}_{01}^{C}={\vec {v}}_{01}^{E}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {CE}}=0+(\omega _{01}{\vec {k}})\times (2R\,{\vec {\jmath }}_{1})=-\omega _{01}2R\,{\vec {\imath }}$

Es decir, la reducción en el punto $C$ es

${\vec {\omega }}_{01}=-{\frac {\displaystyle v_{0}}{\displaystyle 2R}}\,{\vec {k}}\qquad \qquad \qquad {\vec {v}}_{01}^{C}=v_{0}{\vec {\imath }}_{1}$

Movimiento {31}

Este movimiento es una traslación instantánea. Por tanto

${\vec {\omega }}_{31}={\vec {0}}$

Basta determinar la velocidad en uno de los puntos del sólido "3". Lo más sencillo es hacerlo en el punto $A$, pues este punto es el C.I.R. $I_{30}$ y por tanto ${\vec {v}}_{30}^{A}={\vec {0}}$. Usando la composición de movimientos {31}={30}+{01} tenemos

${\vec {v}}_{31}^{A}={\vec {v}}_{30}^{A}+{\vec {v}}_{01}^{A}={\vec {v}}_{01}^{A}$

Utilizando la reducción cinemática del movimiento {01}

${\vec {v}}_{01}^{A}={\vec {v}}_{01}^{C}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {CA}}$

A partir del dibujo tenemos

${\overrightarrow {CA}}=-2R\mathrm {sen} \,{(2\alpha )}\,{\vec {\imath }}_{1}+2R\cos(2\alpha )\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Por tanto, la reducción es

${\vec {\omega }}_{31}={\vec {0}}\qquad \qquad \qquad {\vec {v}}_{31}={\vec {v}}_{31}^{A}=v_{0}(1+\cos(2\alpha ))\,{\vec {\imath }}_{1}+v_{0}\mathrm {sen} \,(2\alpha )\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Podemos ver que el resultado es razonable considerando el caso en el que el radio de los dos discos fuese el mismo. En ese caso tendríamos $\alpha =0$ y la velocidad de la barra sería ${\vec {v}}_{31}=2v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$, es decir, la del punto superior del disco "0" , como debe ser, pues el movimiento de la barra sería puramente horizontal.

Movimiento {21}

El vector rotación es de la forma

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}{\vec {k}}$

Para determinar $\omega _{21}$ necesitamos la velocidad en dos puntos. Dado que el disco "2" rueda sin deslizar sobre el suelo tenemos

${\vec {v}}_{21}^{F}={\vec {0}}$

Por otro lado, el punto de contacto entre la barra y el disco "2" es el C.I.R. $I_{32}$, por lo que ${\vec {v}}_{23}^{B}={\vec {0}}$. Usando la composición de movimientos {21}={23}+{31} tenemos

${\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {v}}_{23}^{B}+{\vec {v}}_{31}^{B}={\vec {v}}_{31}^{B}={\vec {v}}_{31}=v_{0}(1+\cos(2\alpha ))\,{\vec {\imath }}_{1}+v_{0}\mathrm {sen} \,(2\alpha )\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Hemos utilizado que el movimiento {31} es una traslación y la velocidad es la misma en todos los puntos. Ahora usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para relacionar ${\vec {v}}_{21}^{B}$ y ${\vec {v}}_{21}^{F}$.

${\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {v}}_{21}^{F}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {FB}}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {FB}}$

Del dibujo

${\overrightarrow {FB}}={\overrightarrow {FD}}+{\overrightarrow {DB}}=-R\,\mathrm {sen} \,(2\alpha )\,{\vec {\imath }}_{1}+R(1+\cos(2\alpha ))\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Por tanto

${\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {FB}}=-\omega _{21}R(1+\cos(2\alpha ))\,{\vec {\imath }}_{1}-\omega _{21}R\,\mathrm {sen} \,(2\alpha )\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Comparando con la expresión anterior de ${\vec {v}}_{21}^{B}$ obtenemos $\omega _{21}=-v_{0}/R$. La reducción cinemática en el punto $F$ es

${\vec {\omega }}_{21}~=-{\frac {\displaystyle v_{0}}{R}}{\vec {k}}\qquad \qquad \qquad {\vec {v}}_{21}^{F}={\vec {0}}$

Nos interesa obtener ${\vec {v}}_{21}^{D}$. A partir de la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} tenemos

${\vec {v}}_{21}^{D}={\vec {v}}_{21}^{F}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {FD}}=\left(-{\frac {\displaystyle v_{0}}{\displaystyle R}}\right){\vec {k}}\times (R\,{\vec {\jmath }}_{1})=v_{0}{\vec {\imath }}_{1}$

Otra forma de obtener esta reducción es relacionar ${\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {v}}_{31}$ con ${\vec {v}}_{21}^{D}$, sabiendo que, como se indica en el dibujo, ${\vec {v}}_{21}^{D}=v_{21}^{D}{\vec {\imath }}_{1}$. De la ecuación del campo de velocidades se obtienen dos ecuaciones para dos incógnitas, $\omega _{21}$ y $v_{21}^{D}$. Resolviéndolas se obtiene el mismo resultado.

Ley horaria de los centros de los discos

Como hemos visto en el apartado anterior, las velocidades absolutas de los centros de los discos son iguales

${\vec {v}}_{21}^{D}={\vec {v}}_{01}^{C}=v_{0}{\vec {\imath }}_{1}$

Como se mueven con la misma velocidad, la distancia entre esos dos puntos permanece constante e igual a la inicial. La ley horaria es

$\Delta x(t)=\Delta x(t=0)=3R$

Movimiento relativo de los discos

Reducción del movimiento {20}

Para determinar la reducción cinemática del movimiento {20} usamos la composición

$\{21\}=\{20\}+\{01\}$

Para la velocidad angular

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}\Longrightarrow {\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}=-{\frac {\displaystyle v_{0}}{\displaystyle 2R}}{\vec {k}}$

Buscamos ahora la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{D}$. Tenemos

${\vec {v}}_{21}^{D}={\vec {v}}_{20}^{D}+{\vec {v}}_{01}^{D}\Longrightarrow {\vec {v}}_{20}^{D}={\vec {v}}_{21}^{D}-{\vec {v}}_{01}^{D}$

De los apartados anteriores tenemos

${\begin{array}{lll}{\vec {v}}_{21}^{D}&=&v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}\\{\vec {v}}_{01}^{D}&=&{\vec {v}}_{01}^{C}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {CD}}={\frac {\displaystyle v_{0}}{\displaystyle 2}}\,{\vec {\imath }}_{1}+{\frac {\displaystyle 3v_{0}}{\displaystyle 2}}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&&\\&&{\vec {v}}_{01}^{C}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}\\&&\\&&{\overrightarrow {CD}}=-3R\,{\vec {\imath }}_{1}-R\,{\vec {\jmath }}_{1}\Longrightarrow {\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {CD}}=-{\frac {\displaystyle v_{0}}{\displaystyle 2}}\,{\vec {\imath }}_{1}+{\frac {\displaystyle 3v_{0}}{\displaystyle 2}}\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

De este modo la reducción en el punto $D$ es

${\vec {\omega }}_{20}=-{\frac {\displaystyle v_{0}}{\displaystyle 2R}}\,{\vec {k}}\qquad \qquad \qquad {\vec {v}}_{20}^{D}={\frac {\displaystyle v_{0}}{\displaystyle 2}}\,{\vec {\imath }}_{1}-{\frac {\displaystyle 3v_{0}}{\displaystyle 2}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Cálculo de ${\vec {a}}_{20}^{D}$

Usando la misma composición de movimientos tenemos

${\vec {a}}_{21}^{D}={\vec {a}}_{20}^{D}+{\vec {a}}_{01}^{D}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{D}\Longrightarrow {\vec {a}}_{20}^{D}={\vec {a}}_{21}^{D}-{\vec {a}}_{01}^{D}-2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{D}$

Veamos cuanto valen cada uno de los sumandos.

Dado que ${\vec {v}}_{21}^{D}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$ es un vector constante, ${\vec {a}}_{21}^{D}={\vec {0}}$.

Por la misma razon, como ${\vec {v}}_{01}^{C}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$ es un vector constante, ${\vec {a}}_{01}^{C}={\vec {0}}$ y también ${\vec {\alpha }}_{01}={\vec {0}}$. Usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}, teniendo en cuenta que es un movimiento plano, tenemos

${\vec {a}}_{01}^{D}={\vec {a}}_{01}^{C}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {CD}}-\omega _{01}^{2}{\overrightarrow {CD}}={\frac {\displaystyle 3v_{0}^{2}}{\displaystyle 4R}}\,{\vec {\imath }}_{1}+{\frac {\displaystyle v_{0}^{2}}{\displaystyle 4R}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Por último tenemos

$2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{D}=-{\frac {\displaystyle 3v_{0}^{2}}{\displaystyle 2R}}\,{\vec {\imath }}_{1}-{\frac {\displaystyle v_{0}^{2}}{\displaystyle 2R}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Entonces

${\vec {a}}_{20}^{D}={\frac {\displaystyle 3v_{0}^{2}}{\displaystyle 4R}}\,{\vec {\imath }}_{1}+{\frac {\displaystyle v_{0}^{2}}{\displaystyle 4R}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$