Dos bloques superpuestos conectados a un muelle, Enero 2017 (G.I.C.)

Enunciado

Un bloque de masa $m_{2}$ desliza sin rozamiento sobre una superficie horizontal. El bloque está conectado a un muelle de constante elástica $k$. El muelle se encuentra relajado cuando la coordenada $x$ de la figura es cero. Encima de este bloque se pone otro de masa $m_{1}$. El contacto entre los dos bloques es rugoso, caracterizado por un coeficiente de rozamiento estático $\mu$. Los bloques están sometidos a la acción de la gravedad.

1. Dibuja el diagrama de fuerzas de cada bloque. Exprésalas en el sistema de ejes de la figura.
2. Suponiendo que los dos bloques se mueven a la vez, encuentra la ecuación diferencial para $x(t)$, así como los valores de todas las fuerzas. (Pueden quedar en función de $x(t)$)
3. Si las condiciones iniciales son $x(0)=0$ y ${\dot {x}}(0)=v_{0}$, con $v_{0}$ una constante positiva, encuentra la posición y velocidad de los bloques en función del tiempo.
4. ¿Cuál es el valor máximo de $v_{0}$ para que el bloque de arriba no deslice respecto al de abajo?

Solución

Diagrama de fuerzas

El dibujo de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada bloque. Las fuerzas con el mismo color forman pares de acción-reacción. Es decir, ${\vec {\Phi }}_{1\to 2}=-{\vec {\Phi }}_{2\to 1}$ y ${\vec {F}}_{1\to 2}^{R}=-{\vec {F}}_{2\to 1}^{R}$. Para la masa $m_{2}$ tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {P}}_{2}=-m_{2}g\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {F}}_{k}=-kx\,{\vec {\imath }},\\{\vec {N}}_{2}=N\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {\Phi }}_{1\to 2}=\Phi \,{\vec {\jmath }},\\{\vec {F}}_{1\to 2}^{R}=f\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Para la masa 1

${\begin{array}{l}{\vec {P}}_{1}=-m_{1}g\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {\Phi }}_{2\to 1}=-\Phi \,{\vec {\jmath }},\\{\vec {F}}_{2\to 1}^{R}=-f\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Ecuación de movimiento

Aplicamos la Segunda Ley de Newton para cada masa por separado. Para la masa 2 tenemos

$m_{2}{\vec {a}}_{2}={\vec {P}}_{2}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {N}}_{2}+{\vec {\Phi }}_{1\to 2}+{\vec {F}}_{1\to 2}^{R}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}(X)&\to &m_{2}a_{2}=-kx+f,&(1)\\(Y)&\to &0=-m_{2}g+N+\Phi .&(2)\end{array}}\right.$

Para la masa 1

$m_{1}{\vec {a}}_{1}={\vec {P}}_{1}+{\vec {\Phi }}_{2\to 1}+{\vec {F}}_{2\to 1}^{R}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}(X)&\to &m_{1}a_{1}=-f,&(3)\\(Y)&\to &0=-m_{1}g-\Phi .&(4)\end{array}}\right.$

Como las dos masas se mueven juntas tenemos

$a_{1}=a_{2}={\ddot {x}}.$

Sumando las ecuaciones (1) y (3) tenemos la ecuación de movimiento

$(m_{1}+m_{2}){\ddot {x}}=-kx\Longrightarrow \qquad {\ddot {x}}=-\omega ^{2}x\qquad w={\sqrt {\dfrac {k}{m_{1}+m_{2}}}}.$

De las otra ecuaciones obtenemos las fuerzas que actúan sobre las masas. Sobre la masa 2 tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {N}}_{2}=(m_{1}+m_{2})g\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {\Phi }}_{1\to 2}=-m_{1}g\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {F}}_{1\to 2}^{R}={\dfrac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\,kx\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

Y sobre la masa 1

${\begin{array}{l}{\vec {\Phi }}_{2\to 1}=m_{1}g\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {F}}_{2\to 1}^{R}=-{\dfrac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\,kx\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

Solución alternativa para la ecuación de movimiento

Como los dos bloques están siempre juntos, podemos considerarlos como un única masa $M=m_{1}+m_{2}$. Ahora sólo hay que considerar las fuerzas externas a las dos masas, las fuerzas que se ejercen entre ellas no intervienen. La Segunda Ley de Newton aplicada al sistema es

$M{\vec {a}}={\vec {P}}_{1}+{\vec {P}}_{2}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {N}}_{2}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}(X)&\to &M{\ddot {x}}=-kx,&(5)\\(Y)&\to &0=-m_{2}g-m_{1}g+N.&(6)\end{array}}\right.$

La primera ecuación es la de movimiento. La segunda nos da la fuerza que ejerce el suelo.

Solución para un movimiento concreto

Buscamos una solución de la ecuación de movimiento de la forma

$x(t)=A\cos(\omega t+\phi )$

La velocidad es

$v(t)={\dot {x}}=-\omega A\,\mathrm {sen} \,(\omega t+\phi )$

Aplicando las condiciones iniciales

${\begin{array}{lcl}x(0)=0&\to &A\cos(\phi )=0\to \phi =\pm \pi /2,\\v(0)=v_{0}&\to &-\omega A\,\mathrm {sen} \,(\phi )=v_{0}.\end{array}}$

Si escogemos $\phi =\pi /2$ tenemos

$x(t)=-{\dfrac {v_{0}}{\omega }}\cos \left(\omega t+{\dfrac {\pi }{2}}\right)={\dfrac {v_{0}}{\omega }}\,\mathrm {sen} \,(\omega t).$

Si hubiésemos escogido $\phi =-\pi /2$ el resultado sería el mismo.

Condición para que las masas no se separen

Para que no haya movimiento relativo entre las masas debe ocurrir

$|{\vec {F}}_{2\to 1}^{R}|\leq \mu |{\vec {\Phi }}_{2\to 1}|\quad \Longrightarrow {\dfrac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}kx_{max}\leq \mu m_{1}g$

El valor máximo de $x$ es $x_{max}=v_{0}/\omega$. Por tanto la condición es

$v_{0}\leq \mu g{\sqrt {\dfrac {m_{1}+m_{2}}{k}}}.$

Errores comunes detectados en la corrección

1. Al aplicar la Segunda Ley de Newton, cada masa sólo ve las fuerzas que actúan directamente sobre ella. Por ejemplo, la masa 1 no ve el muelle, sólo el peso y las fuerzas que ejerce la masa 2 sobre ella. No se pueden mezclar fuerzas aplicadas sobre masas diferentes.
2. Mucha gente ha puesto la fuerza de rozamiento actuando sólo sobre la masa 1. Esa fuerza la ejerce la masa 2, por tanto hay una reacción, de igual módulo y dirección pero de sentido contrario, ejercida por la masa 1 sobre la masa 2.
3. El muelle está relajado cuando $x=0$. Por tanto la fuerza del muelle es${\vec {F}}_{k}=-kx\,{\vec {\imath }}$. No aparece la longitud natural del muelle. Esto se vio en el tema de movimiento oscilatorio.