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Disco girando sujeto por un muelle, Enero 2015 (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un disco homógeneo de masa M y radio R puede girar en torno al punto O de su borde. El extremo superior del disco está unido al punto A con un resorte ideal de longitud natural nula y constante elástica k. En el instante inicial se encuentra en posición vertical, de modo que el punto B del disco coincide con el punto A donde está anclado el resorte. En t = 0 empieza a girar hacia la derecha, de modo que su velocidad angular inicial es 0.

  1. Sabiendo que el momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a su plano que pasa por su centro es MR2 / 2, determina el momento de inercia respecto a un eje perpendicular a su plano que pasa por el punto O.
  2. Calcula la velocidad del centro del disco C en el instante en el que está sobre el eje X.

2 Solución

2.1 Momento de inercia

El teorema de los ejes paralelos (o de Steiner) dice que, dado el momento de inercia respecto a un eje que pase por el centro de masas, ICM, el momento de inercia respecto a otro eje paralelo a él, Δseparado una distancia h del primero es

IΔ = ICM + MΔ2

En este caso tenemos I_{CM} = \dfrac{1}{2}MR^2 . El eje Δ pasa por O, por lo que la distancia entre los dos ejes esh = R. Por tanto


I_O = I_{CM} + MR^2 = \dfrac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \dfrac{3}{2}MR^2

2.2 Velocidad del centro

Lo resolvemos usando la conservación de energía mecánica. Las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre el disco son el peso y el muelle. La fuerza de reacción vincular en el punto O no realiza trabajo. Entonces la energía mecánica se conserva. Tomamos como origen de energía potencial gravitatoria el eje OX. En el instante inicial, cuando el punto B del disco coincide con el punto A, la energía cinética es cero y el muelle está totalmente contraído (tiene longitud natural nula). Entonces la energía mecánica es igual a la energía potencial gravitatoria

E = MgR

Es la posición del centro de masas del disco la que determina la energía potencial gravitatoria.

Cuando el centro del disco está sobre el eje OX, la energía potencial gravitatoria es nula. El disco gira con una velocidad angular ω, por lo que su energía cinética de rotación es


T = \dfrac{1}{2}I_O\omega^2

La energía potencial elástica del muelle es


U_k = \dfrac{1}{2}k((2R)^2 + (2R)^2) = 4kR^2

La energía mecánica en este instante es


E = \dfrac{1}{2}I_O\omega^2 + 4kR^2

Igualando con la expresión inicial de la energía mecánica tenemos


mgR = \dfrac{1}{2}I_O\omega^2 + 4kR^2

Despejando la velocidad de rotación, y teniendo en cuenta el valor de IO del apartado anterior, tenemos


\omega^2 = \dfrac{4g}{3R}\,\left(1-\dfrac{4kR}{Mg}\right)

La velocidad angular y la velocidad del punto C se relacionan por

vC = ωR

Por tanto, la velocidad de C es


v_C = \sqrt{\dfrac{4gR}{3}\,\left(1-\dfrac{4kR}{Mg}\right)}

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