Disco deslizando sobre hilo rotante, Noviembre 2015 (MR G.I.C.)

Enunciado

Un hilo rígido (sólido "0") de longitud $L$ rota alrededor del eje $OZ_{1}$ con velocidad angular constante $\Omega _{0}$, de modo que el punto $A$ está fijo y el punto $B$ describe una circunferencia sobre el plano $OX_{1}Y_{1}$. El hilo forma un ángulo $\pi /4$ con el plano $OX_{1}Y_{1}$. Un disco plano de masa $m$ y radio $R$ desliza por el hilo a la vez que rota alrededor de él con velocidad angular constante $\omega _{0}$. En el instante inicial el centro del disco estaba en el punto $A$. Se escoge un sólido "0" de modo que el plano $OX_{0}Z_{0}$ contiene siempre al hilo. El sistema "2", solidario con el disco, se escoge de modo que el eje $GZ_{2}$ coincide con su eje de simetría y el eje $GY_{2}$ es paralelo al eje $OY_{0}$. El punto $G$ del disco se mueve sobre el hilo con rapidez uniforme $v_{0}$, como se indica en la figura.

1. Calcula ${\vec {\omega }}_{21}$ y ${\vec {\alpha }}_{21}$.
2. Calcula la velocidad absoluta del centro del disco en el instante inicial.
3. ¿Qué condición tiene que cumplirse para que el movimiento {21} sea una rotación pura en el instante inicial?
4. Supongamos que $\omega _{0}=0$. En este caso, el momento cinético del disco respecto de su centro de masas y su energía cinética en el instante en el que el punto $G$ está en el punto $B$.

Solución

Cálculo de ${\vec {\omega }}_{21}$ y ${\vec {\alpha }}_{21}$

Movimiento {01}

Tenemos

${\vec {\omega }}_{01}=\Omega _{0}\,{\vec {k}}_{0},\qquad \qquad {\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}.$

La derivada temporal es

${\vec {\alpha }}_{01}={\vec {0}},\qquad \qquad {\vec {a}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}.$

Movimiento {20}

Tenemos

${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{0}\,{\vec {k}}_{2}\qquad \qquad {\vec {v}}_{20}=-v_{0}\,{\vec {k}}_{2}$

La derivada temporal es

${\vec {\alpha }}_{20}={\vec {0}},\qquad \qquad {\vec {a}}_{20}={\vec {0}}.$

No ponemos letra en la velocidad y aceleración pues es una traslación.

Movimiento {21}

Usando la composición {21}={20} + {01} tenemos

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=\Omega _{0}\,{\vec {k}}_{0}+\omega _{0}\,{\vec {k}}_{2}$

Expresamos el vector ${\vec {k}}_{2}$ en la base "0"

${\vec {k}}_{2}=-{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {k}}_{0}$

Por tanto

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dfrac {\omega _{0}}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}_{0}+\left(\Omega _{0}+{\dfrac {\omega _{0}}{\sqrt {2}}}\right)\,{\vec {k}}_{0}.$

También tenemos

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=-{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,\omega _{0}\Omega _{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

Nótese que aunque {20} y {01} son dos rotaciones con aceleración angular nula, su composición tiene aceleración angular no nula.

Velocidad del centro del disco en el instante inicial

Usando la misma composición

${\vec {v}}_{21}^{\,G}={\vec {v}}_{20}^{\,G}+{\vec {v}}_{01}^{\,G}.$

En el instante inicial el punto $G$ está en el eje de giro del movimiento {01}, en el punto $A$. Por tanto

${\vec {v}}_{01}^{\,G}(t=0)={\vec {v}}^{\,G}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}={\vec {0}}.$

El primer sumando es cero pues ${\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}$, y el segundo también pues ${\vec {\omega }}_{01}$ y ${\overrightarrow {OA}}$ son paralelos. Entonces

${\vec {v}}_{21}^{\,G}(t=0)={\vec {v}}_{20}^{\,G}=-v_{0}\,{\vec {k}}_{2}={\dfrac {v_{0}}{\sqrt {2}}}\,\left({\vec {\imath }}_{0}-{\vec {k}}_{0}\right).$

Condición para que el movimiento {21} sea una rotación pura en el instante inicial

La condición que debe cumplirse es, que en ese instante, el invariante escalar del movimiento sea nulo, es decir

${\vec {v}}_{21}^{\,G}\cdot {\vec {\omega }}_{21}=0\Longrightarrow {\sqrt {2}}\,\omega _{0}+\Omega _{0}=0.$

Cálculo del momento angular y la energía cinética

Con la condición $\omega _{0}=0$ tenemos

${\vec {\omega }}_{21}=\Omega _{0}\,{\vec {k}}_{0}={\dfrac {\Omega _{0}}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}_{2}+{\dfrac {\Omega _{0}}{\sqrt {2}}}\,{\vec {k}}_{2}.$

El momento angular respecto al centro de masas es

${\vec {L}}_{G}={\overset {\leftrightarrow }{I}}_{G}\cdot {\vec {\omega }}_{21}$

El tensor de inercia es

${\overset {\leftrightarrow }{I}}_{G}=I\left[{\begin{array}{ccc}1/2&0&0\\0&1/2&0\\0&0&1\end{array}}\right]_{2}$

con $I=mR^{2}/2$. El momento de inercia buscado es

${\vec {L}}_{G}=I\left[{\begin{array}{ccc}1/2&0&0\\0&1/2&0\\0&0&1\end{array}}\right]_{2}\left[{\begin{array}{c}\Omega _{0}/{\sqrt {2}}\\0\\\Omega _{0}/{\sqrt {2}}\end{array}}\right]_{2}={\dfrac {I\Omega _{0}}{\sqrt {2}}}\,\left({\dfrac {1}{2}}\,{\vec {\imath }}_{2}+{\vec {k}}_{2}\right).$

Volvemos a la base "0", teniendo en cuenta que

${\begin{array}{l}{\vec {\imath }}_{2}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,{\vec {k}}_{0}\\{\vec {k}}_{2}=-{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}{\vec {\imath }}_{0}+{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}{\vec {k}}_{0}\end{array}}$

con lo que obtenemos

${\vec {L}}_{G}=-{\dfrac {1}{8}}mR^{2}\Omega _{0}\,({\vec {\imath }}_{0}-3{\vec {k}}_{0}).$

Hay que señalar que, para resolver la pregunta, hemos escogido los ejes del sólido "2" de modo que en el instante en que el centro del disco esté en el punto $B$, el eje $X_{2}$ esté en el plano $OX_{0}Z_{0}$. Siempre podemos hacer esto, gracias a la degeneración diametral del disco.

Para calcular la energía cinética aplicamos el Teorema de Koening

$T=T_{tras}+T_{rot}.$

Tenemos

$T_{tras}={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}.$

En el instante pedido

${\vec {v}}_{21}^{\,G}={\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{20}^{\,B}+{\vec {v}}_{01}^{\,B}$

Tenemos

${\vec {v}}_{20}^{B}=-v_{0}\,{\vec {k}}_{2}$

y

${\vec {v}}_{01}^{\,B}={\vec {v}}_{01}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}}={\dfrac {L\Omega _{0}}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

Por tanto

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\dfrac {v_{0}}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\dfrac {L\Omega _{0}}{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}_{0}-{\dfrac {v_{0}}{\sqrt {2}}}\,{\vec {k}}_{0}.$

y

$T_{tras}={\dfrac {1}{2}}m\,\left(v_{0}^{2}+{\dfrac {L^{2}\Omega _{0}^{2}}{2}}\right).$

Para la energía cinética de rotación tenemos

$T_{rot}={\dfrac {1}{2}}{\vec {L}}_{G}\cdot {\vec {\omega }}_{21}={\dfrac {3}{16}}mR^{2}\Omega _{0}^{2}.$

La energía cinética total es

$T={\dfrac {1}{16}}m\,\left(8v_{0}^{2}+(4L^{2}+3R^{2})\Omega _{0}^{2}\right).$