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Disco articulado con una varilla (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El mecanismo de la figura está formado por un disco (sólido "0"), de radio R; y por una varilla OA (sólido "2"), de longitud 2R, articulada en su extremo O al centro del disco. El disco rueda sin deslizar sobre la recta fija (sólido "1") de ecuación y1 = − R, mientras que el extremo A de la varilla está obligado a deslizar sobre el eje O1Y1. Sabiendo que el mecanismo se mueve conforme a la ley horaria θ(t) = ωt (donde ω es una constante conocida), se pide:

  1. Los vectores de posición, \overrightarrow{O_1A}=\vec{r}_{21}^A(t); velocidad, \vec{v}_{21}^A(t); y aceleración \vec{a}_{21}^A(t), del movimiento absoluto del extremo A de la varilla. ¿Qué tipo de movimiento describe dicho punto?
  2. Reducciones cinemáticas (vectores velocidad angular y velocidad de un punto) de los movimientos {21}, {01} y {20}.
  3. Determinación gráfica y analítica de la posición del C.I.R. del movimiento {21}.

2 Solución

2.1 Cálculo del vector de posición, velocidad y aceleración del punto A en el movimiento {21}

El extremo A de la varilla está situado siempre sobre el eje O1Y1. Su posición puede determinarse en la escuadra "1" como


  \vec{r}_{21}^A=\overrightarrow{O_1A} = 2R\,\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1=2R\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}_1

Como esta expresión es válida en todo instante y está expresada en la base del sólido "1", podemos derivarla para calcular la velocidad y la aceleración pedidas


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_{21}^A =
    \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}_{21}^A}{\mathrm{d}t}\right|_1=2R\omega\,\cos(\omega
    t)\,\vec{\jmath}_1\\ \\
    \vec{a}_{21}^A =
    \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^A}{\mathrm{d}t}\right|_1=-2R\omega^2\,\,\mathrm{sen}\,(\omega
    t)\,\vec{\jmath}_1
  \end{array}

Para determinar el tipo de movimiento que realiza el punto A, observemos que se cumple


  \vec{a}_{21}^A=\ddot{\vec{r}}_{21}^A=-\omega^2\vec{r}_{21}^A\Rightarrow
  \ddot{y}_{21}^A=-\omega^2{y}_{21}^A

Es decir, es un movimiento armónico simple a lo largo del eje O1Y1, centrado en O1, de frecuencia ω y amplitud 2R.

2.2 Reducciones cinemáticas de los movimientos

2.2.1 Movimiento {21}

Hemos calculado \vec{v}_{21}^A. Para determinar \vec{\omega}_{21} necesitamos la velocidad en otro punto. Para ello vamos a expresar la posición del otro extremo de la varilla en la base de la escuadra O1X1Y1. El punto O se mueve siempre a lo largo del eje O1X1. Por trigonometría tenemos


  \overrightarrow{O_1O} = -2R\,\cos\theta\,\vec{\imath}_1=-2R\,\cos(\omega t)\,\vec{\imath}_1

De nuevo podemos derivar esta expresión para calcular \vec{v}_{21}^O


  \vec{v}_{21}^O=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^O}{\mathrm{d}t}\right|_1=2R\omega\,\,\mathrm{sen}\,(\omega
    t)\,\vec{\imath}_1

Teniendo en cuenta que \vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}, la ecuación del campo de velocidades nos permite plantear la ecuación


  \begin{array}{c}
  \vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{21}^O+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA}=
  \vec{v}_{21}^O+
  \left|
    \begin{array}{ccc}
      \vec{\imath}_1&\vec{\jmath}_1&\vec{k}_1\\0&0&\omega_{21}\\2R\cos(\omega t)&2R\,\mathrm{sen}\,(\omega t)&0
    \end{array}
  \right|\Rightarrow\\ \\
  \left(
    \begin{array}{c}
      0\\2R\omega\cos(\omega t)
    \end{array}
  \right)=
  \left(
    \begin{array}{c}
      (w-\omega_{21})2R\cos(\omega t)\\2R\omega_{21}\cos(\omega t)
    \end{array}
  \right)
  \end{array}

Por tanto ω21 = ω y la reducción en el punto O es


  \vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{21}^O=2R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath}_1

2.2.2 Movimiento {01}

El disco rueda sin deslizar sobre la línea y1 = − R. Por tanto el punto de contacto es el CIR y su velocidad en este movimiento es nula, \vec{v}_{01}^C=\vec{0}. Por otro lado, aún no podemos determinar la velocidad angular de este movimiento. Por tanto lo que sabemos por ahora es


  \vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{01}^C=\vec{0}

2.2.3 Movimiento {20}

El punto O pertenece tanto al sólido "2" como al "0". Por tanto es un punto fijo en este movimiento. La reducción en O es


  \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{20}^O=\vec{0}

2.2.4 Composición {21} = {20} + {01}

La velocidad \vec{v}_{21}^O puede escribirse


  \vec{v}_{21}^O=\vec{v}_{20}^O+\vec{v}_{01}^O\Rightarrow  \vec{v}_{01}^O=\vec{v}_{21}^O-\vec{v}_{20}^O

donde \vec{v}_{21}^O y \vec{v}_{20}^O son conocidas. Ahora podemos calcular \vec{v}_{01}^O


  \vec{v}_{01}^O=\vec{v}_{01}^C+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CO}=(\omega_{01}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_1)=-R\omega_{01}\,\vec{\imath}_1

Sustituyendo tenemos


  -R\omega_{01}\,\vec{\imath}_1=2R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath}_1 \Rightarrow
  \vec{\omega}_{01}=-2\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{k}

Para obtener \vec{\omega}_{20} recurrimos a la composición de velocidades angulares


  \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\Rightarrow\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=\omega(1+2\,\mathrm{sen}\,(\omega t))\,\vec{k}

Por tanto, las reducciones pedidas son


  \begin{array}{lclcl}
    \{21\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{k}&\qquad\qquad&\vec{v}_{21}^O=2R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega
    t)\,\vec{\imath}_1\\
    &&&&\\
    \{20\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{20}=\omega(1+2\,\mathrm{sen}\,(\omega t))\,\vec{k}&\qquad\qquad&\vec{v}_{20}^O=\vec{0}\\
    &&&&\\ 
    \{01\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{01}=-2\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{k}&\qquad\qquad&\vec{v}_{01}^C=\vec{0}
  \end{array}

2.3 Determinación del CIR del movimiento {21}

2.3.1 Gráfica

Tenemos \vec{v}_{21}^O y \vec{v}_{21}^A. Si trazamos en cada punto la recta perpendicular a sus velocidades respectivas el punto de corte nos da I21, como se indica en el dibujo

2.3.2 Analítica

Partiendo de \vec{v}_{21}^O, la posición de I21 es


  \overrightarrow{OI}_{21} =
  \dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^O}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=2R\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}_1

Podemos comprobar que ambos métodos dan el mismo resultado.

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