Disco articulado con una varilla (G.I.A.)

Enunciado

El mecanismo de la figura está formado por un disco (sólido "0"), de radio $R$; y por una varilla $OA$ (sólido "2"), de longitud $2R$, articulada en su extremo $O$ al centro del disco. El disco rueda sin deslizar sobre la recta fija (sólido "1") de ecuación $y_{1}=-R$, mientras que el extremo $A$ de la varilla está obligado a deslizar sobre el eje $O_{1}Y_{1}$. Sabiendo que el mecanismo se mueve conforme a la ley horaria $\theta (t)=\omega t$ (donde $\omega$ es una constante conocida), se pide:

1. Los vectores de posición, ${\overrightarrow {O_{1}A}}={\vec {r}}_{21}^{A}(t)$; velocidad, ${\vec {v}}_{21}^{A}(t)$; y aceleración ${\vec {a}}_{21}^{A}(t)$, del movimiento absoluto del extremo $A$ de la varilla. ¿Qué tipo de movimiento describe dicho punto?
2. Reducciones cinemáticas (vectores velocidad angular y velocidad de un punto) de los movimientos {21}, {01} y {20}.
3. Determinación gráfica y analítica de la posición del C.I.R. del movimiento {21}.

Solución

Cálculo del vector de posición, velocidad y aceleración del punto A en el movimiento {21}

El extremo $A$ de la varilla está situado siempre sobre el eje $O_{1}Y_{1}$. Su posición puede determinarse en la escuadra "1" como

${\vec {r}}_{21}^{A}={\overrightarrow {O_{1}A}}=2R\,\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}=2R\,\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Como esta expresión es válida en todo instante y está expresada en la base del sólido "1", podemos derivarla para calcular la velocidad y la aceleración pedidas

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{A}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{21}^{A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=2R\omega \,\cos(\omega t)\,{\vec {\jmath }}_{1}\\\\{\vec {a}}_{21}^{A}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{21}^{A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=-2R\omega ^{2}\,\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Para determinar el tipo de movimiento que realiza el punto $A$, observemos que se cumple

${\vec {a}}_{21}^{A}={\ddot {\vec {r}}}_{21}^{A}=-\omega ^{2}{\vec {r}}_{21}^{A}\Rightarrow {\ddot {y}}_{21}^{A}=-\omega ^{2}{y}_{21}^{A}$

Es decir, es un movimiento armónico simple a lo largo del eje $O_{1}Y_{1}$, centrado en $O_{1}$, de frecuencia $\omega$ y amplitud $2R$.

Reducciones cinemáticas de los movimientos

Movimiento {21}

Hemos calculado ${\vec {v}}_{21}^{A}$. Para determinar ${\vec {\omega }}_{21}$ necesitamos la velocidad en otro punto. Para ello vamos a expresar la posición del otro extremo de la varilla en la base de la escuadra $O_{1}X_{1}Y_{1}$. El punto $O$ se mueve siempre a lo largo del eje $O_{1}X_{1}$. Por trigonometría tenemos

${\overrightarrow {O_{1}O}}=-2R\,\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}=-2R\,\cos(\omega t)\,{\vec {\imath }}_{1}$

De nuevo podemos derivar esta expresión para calcular ${\vec {v}}_{21}^{O}$

${\vec {v}}_{21}^{O}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{21}^{O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=2R\omega \,\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}_{1}$

Teniendo en cuenta que ${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}$, la ecuación del campo de velocidades nos permite plantear la ecuación

${\begin{array}{c}{\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {v}}_{21}^{O}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OA}}={\vec {v}}_{21}^{O}+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}_{1}&{\vec {\jmath }}_{1}&{\vec {k}}_{1}\\0&0&\omega _{21}\\2R\cos(\omega t)&2R\,\mathrm {sen} \,(\omega t)&0\end{array}}\right|\Rightarrow \\\\\left({\begin{array}{c}0\\2R\omega \cos(\omega t)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}(w-\omega _{21})2R\cos(\omega t)\\2R\omega _{21}\cos(\omega t)\end{array}}\right)\end{array}}$

Por tanto $\omega _{21}=\omega$ y la reducción en el punto $O$ es

${\vec {\omega }}_{21}=\omega \,{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {v}}_{21}^{O}=2R\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}_{1}$

Movimiento {01}

El disco rueda sin deslizar sobre la línea $y_{1}=-R$. Por tanto el punto de contacto es el CIR y su velocidad en este movimiento es nula, ${\vec {v}}_{01}^{C}={\vec {0}}$. Por otro lado, aún no podemos determinar la velocidad angular de este movimiento. Por tanto lo que sabemos por ahora es

${\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}\,{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {v}}_{01}^{C}={\vec {0}}$

Movimiento {20}

El punto $O$ pertenece tanto al sólido "2" como al "0". Por tanto es un punto fijo en este movimiento. La reducción en $O$ es

${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {v}}_{20}^{O}={\vec {0}}$

Composición {21} = {20} + {01}

La velocidad ${\vec {v}}_{21}^{O}$ puede escribirse

${\vec {v}}_{21}^{O}={\vec {v}}_{20}^{O}+{\vec {v}}_{01}^{O}\Rightarrow {\vec {v}}_{01}^{O}={\vec {v}}_{21}^{O}-{\vec {v}}_{20}^{O}$

donde ${\vec {v}}_{21}^{O}$ y ${\vec {v}}_{20}^{O}$ son conocidas. Ahora podemos calcular ${\vec {v}}_{01}^{O}$

${\vec {v}}_{01}^{O}={\vec {v}}_{01}^{C}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {CO}}=(\omega _{01}\,{\vec {k}})\times (R\,{\vec {\jmath }}_{1})=-R\omega _{01}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Sustituyendo tenemos

$-R\omega _{01}\,{\vec {\imath }}_{1}=2R\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}_{1}\Rightarrow {\vec {\omega }}_{01}=-2\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {k}}$

Para obtener ${\vec {\omega }}_{20}$ recurrimos a la composición de velocidades angulares

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}\Rightarrow {\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}=\omega (1+2\,\mathrm {sen} \,(\omega t))\,{\vec {k}}$

Por tanto, las reducciones pedidas son

${\begin{array}{lclcl}\{21\}&\longrightarrow &{\vec {\omega }}_{21}=\omega \,{\vec {k}}&\qquad \qquad &{\vec {v}}_{21}^{O}=2R\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}_{1}\\&&&&\\\{20\}&\longrightarrow &{\vec {\omega }}_{20}=\omega (1+2\,\mathrm {sen} \,(\omega t))\,{\vec {k}}&\qquad \qquad &{\vec {v}}_{20}^{O}={\vec {0}}\\&&&&\\\{01\}&\longrightarrow &{\vec {\omega }}_{01}=-2\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {k}}&\qquad \qquad &{\vec {v}}_{01}^{C}={\vec {0}}\end{array}}$

Determinación del CIR del movimiento {21}

Gráfica

Tenemos ${\vec {v}}_{21}^{O}$ y ${\vec {v}}_{21}^{A}$. Si trazamos en cada punto la recta perpendicular a sus velocidades respectivas el punto de corte nos da $I_{21}$, como se indica en el dibujo

Analítica

Partiendo de ${\vec {v}}_{21}^{O}$, la posición de $I_{21}$ es

${\overrightarrow {OI}}_{21}={\dfrac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{O}}{|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}}}=2R\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Podemos comprobar que ambos métodos dan el mismo resultado.